FIR Filter mit linearer Phase, 4 Typen

Ich kenne 4 Typen von FIR-Filtern mit linearer Phase, dh konstanter Gruppenverzögerung: (M = Länge der Impulsantwort)

1. Impulsantwort symmetrisch, M = ungerade

2. Imp. bzw. symmetrisch, M = gerade

3. Imp. bzw. antisymmetrisch, M = ungerade

4. Imp. bzw. antisymmetrisch, M = gerade

jedes mit seinen eigenschaften. Welcher dieser Typen wird am häufigsten in FIR-Filtern mit linearem Phasendesign verwendet und warum? :)

Bei der Auswahl eines dieser 4 Typen von linearen Phasenfiltern sind hauptsächlich 3 Dinge zu beachten:

1. Einschränkungen für die Nullstellen von bei z = 1 und z = - $H(z)$$z=1$$z=-1$

2. ganzzahlige / nicht ganzzahlige Gruppenverzögerung

3. Phasenverschiebung (abgesehen von der linearen Phase)

Für Typ - I - Filter (ungeradee Anzahl von Abgriffen, gerade Symmetrie) Es gibt keine Einschränkungen für die Nullstellen bei und z = - 1 , die Phasenverschiebung Null ist (abgesehen von der linearen Phase) und die Gruppenverzögerung für eine ganze Zahl Wert.$z=1$$z=-1$

Filter vom Typ II (gerade Anzahl von Abgriffen, gerade Symmetrie) haben immer eine Null bei (dh die Hälfte der Abtastfrequenz), sie haben eine Phasenverschiebung von Null und sie haben eine nicht ganzzahlige Gruppenverzögerung.$z=-1$

Filter vom Typ III (ungerade Anzahl von Abgriffen, ungerade Symmetrie) haben immer Nullen bei und z = - 1 (dh bei f = 0 und f = f s / 2 ), sie haben eine Phasenverschiebung von 90 Grad und eine ganze Zahl Gruppenverspätung.$z=1$$z=-1$$f=0$$f=f_s/2$

Filter vom Typ IV (gerade Anzahl von Abgriffen, ungerade Symmetrie) haben immer eine Null bei , eine Phasenverschiebung von 90 Grad und eine nicht ganzzahlige Gruppenverzögerung.$z=1$

Dies impliziert unter anderem Folgendes:

• Filter vom Typ I sind ziemlich universell, können jedoch nicht verwendet werden, wenn eine Phasenverschiebung von 90 Grad erforderlich ist, z. B. für Differenzierer oder Hilbert-Transformatoren.

• Filter vom Typ II würden normalerweise nicht für Hochpass- oder Bandsperrfilter verwendet, da die Null bei , dh bei f = f s / 2, liegt . Sie können auch nicht für Anwendungen verwendet werden, bei denen eine Phasenverschiebung von 90 Grad erforderlich ist.$z=-1$$f=f_s/2$

• Filter vom Typ III können nicht für frequenzselektive Standardfilter verwendet werden, da in diesen Fällen die Phasenverschiebung von 90 Grad normalerweise unerwünscht ist. Bei Hilbert-Transformatoren haben Filter vom Typ III aufgrund der Nullstellen bei und z = - 1 eine relativ schlechte Größenannäherung bei sehr niedrigen und sehr hohen Frequenzen . Andererseits kann ein Hilbert-Transformator vom Typ III effizienter implementiert werden als ein Hilbert-Transformator vom Typ IV, da in diesem Fall jeder zweite Abgriff Null ist.$z=1$$z=-1$

• $z=-1$

• In einigen Anwendungen ist eine Verzögerung durch ganzzahlige Gruppen wünschenswert. In diesen Fällen sind Filter vom Typ I oder Typ III bevorzugt.

$z=1$

Wenn es sich bei Ihrem Filter um einen Tiefpass handelt, gelten auch die Typen 1 und 2.

Dies hängt also von der Art des Filters ab, den Sie entwerfen müssen, und nicht davon, welcher Filter häufiger verwendet wird.

$e^{j\theta/2}$$\theta = \pi$

In Bezug auf die Implementierung können alle 4 Typen effizient implementiert werden, ohne die gleichen Koeffizienten zweimal zu wiederholen.

Sie benötigen natürlich die gesamte Verzögerungsleitung der Größe M. Anstatt jedoch jeden Abgriffsausgang mit seinem eigenen Koeffizienten zu multiplizieren, addieren (oder subtrahieren) Sie zuerst die beiden entsprechenden Ausgänge und multiplizieren dann nur einmal mit dem Koeffizienten.

$h[n] = a \delta[n] + b \delta[n-1] + a \delta[n-2]$$y[n] = a x[n] + b x[n-1] + a x[n-2]$$y[n] = a (x[n] + x[n-2]) + b x[n-1]$

Da es bereits zwei sehr schöne Antworten gibt, möchte ich einige sehr grundlegende Beispiele nennen, anhand derer die in den anderen Antworten angegebenen Eigenschaften auf ihre Richtigkeit überprüft werden können. Nullstellen und Phasenantworten sind direkt verfügbar.

symmetrisch, M = ungerade

$H(z) = 1\pm2z^{-1}+z^{-2} = (1\pm z^{-1})^2 \\ H(e^{j\omega}) = (1\pm e^{-j\omega})^2 = (e^{-j\omega/2}(e^{j\omega/2}\pm e^{-j\omega/2}))^2 = e^{-j\omega}(e^{j\omega/2}\pm e^{-j\omega/2})^2 = 4e^{-j\omega}\cos^2(\omega/2) \quad or \quad -4e^{-j\omega}\sin^2(\omega/2) = 4e^{-j(\omega-\pi)}\sin^2(\omega/2)$

$H(z) = 1+z^{-2} = (1 + jz^{-1})(1 - jz^{-1}) \\ H(e^{j\omega}) = (1 + e^{-j2\omega}) = e^{-j\omega}(e^{j\omega} + e^{-j\omega}) = 2e^{-j\omega}\cos(\omega)$

symmetrisch, M = gerade

$H(z) = 1 + z^{-1}\\ H(e^{j\omega}) = (1 + e^{-j\omega}) = e^{-j\omega/2}(e^{j\omega/2} + e^{-j\omega/2}) = 2e^{-j\omega/2}\cos(\omega/2)$

$H(z) = 1 + z^{-3} \\ H(e^{j\omega}) = (1 + e^{-j3\omega}) = e^{-j3\omega/2}(e^{j3\omega/2} + e^{-j3\omega/2}) = 2e^{-j3\omega/2}\cos(3\omega/2)$

$H(z) = 1 + 3z^{-1} + 3z^{-2} + z^{-3} = (1 + z^{-1})^3 = (1-e^{-2\pi/3}z^{-1})(1-e^{2\pi/3}z^{-1})(1+z^{-1})\\ H(e^{j\omega}) = (1 + e^{-j\omega})^3 = (e^{-j\omega/2}(e^{j\omega/2} + e^{-j\omega/2}))^3 = 8e^{-j3\omega/2}\cos(\omega/2)^3$

$h[N/2] = 0$

$H(z) = 1 - z^{-2} = (1 + z^{-1})(1 - z^{-1}) \\ H(e^{j\omega}) = 1 - e^{-j2\omega} = e^{-j\omega}(e^{j\omega} - e^{-j\omega}) = 2je^{-j\omega}\sin(\omega)=2e^{-j(\omega-\pi/2)}\sin(\omega)$

antisymmetrisch, M = gerade

$H(z) = 1 - z^{-1} \\ H(e^{j\omega}) = (1 - e^{-j\omega}) = e^{-j\omega/2}(e^{j\omega/2} - e^{-j\omega/2}) = 2je^{-j\omega/2}\sin(\omega/2)$

[1] eine gute referenz mitrappt