Abtasten der Dirac-Funktion

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Ich möchte eine theoretische Frage zur Dirac-Funktion stellen. Die Fourier-Transformation der Dirac-Funktion ist der Wert 1 (DC) für jede Frequenz. Wenn wir den Abtastsatz betrachten, müssen wir eine maximale Frequenz im Signal , damit wir mit . Wie wir jedoch aus der Fourier-Transformation ersehen können, enthält die Dirac-Funktion jede Frequenz, sodass wir keine geeigneten . Meine Frage ist, kann aus theoretischer Sicht die Dirac-Funktion abgetastet werden? $\ f_{max}$ $\ f_s \ge \ 2f_{max}$ $f_s$

Edit: Danke für deine hilfreichen Antworten Jungs!

sampling

— George Tseres
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Im digitalen Land erledigt die Sequenz x [n] = (1, n = 0) (sonst 0) die meisten Aufgaben, die die Dirac-Verteilung in der analogen Welt erledigt. Es ist die Basisfunktion für die Faltung, hat einen flachen Frequenzgang und ist die Impulsantwort eines "Drahtes". Das ist eigentlich eine Sache, die in digital einfacher ist

— Hilmar

Ich persönlich denke, eine präzisere Antwort lautet: "Nein, ein Dirac-Impuls, , kann bei nicht abgetastet werden, da es keinen Wert gibt, den die Funktion (oder Verteilung) bei annimmt ." $\delta(t)$ $t=0$ $t=0$ In der physischen Welt gibt es keine Dirac-Delta-Funktion, nur Annäherungen daran. Es gibt also nichts zu probieren.

— Robert Bristow-Johnson

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Jedes Signal kann abgetastet werden, unabhängig davon, ob der Abtastsatz gilt oder nicht. Das Abtasttheorem sagt Ihnen, dass die Abtastwerte das vollständige ursprüngliche Signal darstellen, wenn die Abtastrate ausreicht.

Signale mit Diskontinuitäten oder, noch schlimmer, Verteilungen wie sind nicht bandbegrenzt, so dass die Hypothese des Abtasttheorems niemals gelten wird. $\delta(t)$

Beachten Sie auch, dass die übliche Demonstration des Abtasttheorems das Multiplizieren des Signals mit einer Impulsfolge beinhaltet. Ich glaube, dies schließt Signale als Verteilungen insgesamt aus, da die Produkte von Verteilungen nicht genau definiert sind .

Stellen Sie sich in der Praxis die Abtastung von bei . Dieses Beispiel hat einen undefinierten Wert. $\delta(t)$ $t=0$

— Juancho
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"Jedes Signal kann abgetastet werden" - nun, ein Abtastalgorithmus kann auf jedes Signal angewendet werden , ja, aber wenn Sie diesen Prozess tatsächlich als "Abtasten" bezeichnen, können Sie je nach Kontext bereits behaupten, dass Sie das Signal aus dem Signal rekonstruieren können Ergebnis, dh dass die Voraussetzungen für den Stichprobensatz erfüllt sind.

— links um

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$t$

\int_{- - \infty}^{\infty} δ (t) d t = 1

$\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)dt = 1$

\int_{- - \infty}^{\infty} δ (t - - t_{0}) f (t) d t = f (t_{0})

$\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t-t_0)f(t)dt = f(t_0)$

$\delta^2(t)$

\sum_{n} δ (t - - n T.) δ (t) = δ^{2} (t)

$\sum_n\delta(t-nT)\delta(t)=\delta^2(t)$

Dirac-Impulse sind ein praktisches Werkzeug zur Analyse linearer zeitinvarianter Systeme. Sie sollten jedoch mit Vorsicht behandelt werden, da übliche Arten der Verarbeitung gewöhnlicher Signale (z. B. Abtastung) bei Anwendung auf Dirac-Impulse zu undefinierten und bedeutungslosen Ergebnissen führen können.

— Matt L.
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Die von einem Dirac übertragenen Informationen sind seine Position und Intensität. Vetterli et al. zeigen, wie es möglich ist, ein Signal abzutasten, das durch die Summe von N Diracs gegeben ist:

$x(t)=\sum_{i=0}^{N-1}r_i\delta(t-t_i)$

$x(t)$ $r_i$ $t_i$ $i=0,\ldots,N-1$ $x(t)$

Blu, Thierry et al. "Sparse Sampling von Signalinnovationen." Signal Processing Magazine, IEEE 25.2 (2008): 31-40.

— Arrigo
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