Warum erzeugt das Hinzufügen einer zeitverzögerten Version eines Signals zu sich selbst ein gefiltertes Signal?

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Diese Frage wurde mir gestellt und ich konnte vor Ort keine Antwort finden, die nicht den Frequenzbereich betraf (im Grunde genommen sind die Koeffizienten der Verzögerungssequenz die Impulsantwort eines FIR-Filters).

Hat jemand einen Einblick, der diesen Prozess "offensichtlich" macht?

filters

— Tom Kealy
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Wenn Sie ein Signal um Sekunden verzögern und zum Signal selbst hinzufügen, wird die Signalkomponente bei Frequenz aufgehoben oder auf Null gesetzt $T$ Hz, da diese Signalkomponente ihre Phase um genau: geändert hat $\frac{1}{2T}$ $\pi$ Ähnliches passiert bei ungeraden Vielfachen von

\begin{aligned} \sin (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) + \sin (2 π \frac{1}{2 T} (t - T) + θ) & = \sin (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) + \sin (2 π \frac{1}{2 T} t + θ - π) \\ = \sin (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) + \sin (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) \cos (π) \\ - \cos (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) \sin (π) \\ = \sin (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) - \sin (2 π \frac{1}{2 T} t + θ) - 0 \\ = 0. \end{aligned}

$\begin{align} \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right) + \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}(t-T) + \theta\right) &= \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right) + \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta - \pi\right)\\ &= \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right) +\sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right)\cos(\pi)\\ &\ \hspace{0.2in}-\cos\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right)\sin(\pi)\\ &= \sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right) -\sin\left(2\pi\frac{1}{2T}t + \theta\right)-0\\ &= 0. \end{align}$

Hz auch. Für nahe Frequenzen ist die Löschung nicht so vollständig und natürlich sogar bei Vielfachen von

\frac{1}{2 T}

$\frac{1}{2T}$

Hz wird der Wert der Signalkomponente verdoppelt, anstatt gelöscht zu werden. In ähnlicher Weise ist die Löschung bei

nicht vollständig, wenn die Amplitude des verzögerten Signals verringert wird

\frac{1}{2 T}

$\frac{1}{2T}$

Hz usw.

\frac{1}{2 T}

$\frac{1}{2T}$

Um es zusammenzufassen, das Signal wird gefiltert wird , da unterschiedliche Frequenzen mit unterschiedlichen Verstärkungen durchlaufen werden.

Wenn Sie die Frequenzbereichserklärung wünschen, ist die Übertragungsfunktion des Systems die Fourier-Transformation dessen, was Matts Antwort als Impulsantwort gab, nämlich. was eine nicht konstante Funktion von (tatsächlich variiert sinusförmig von maximal $H(f)$

F [δ (t) + δ (t - T)] = 1 + \exp (- j 2 π f T)

$\mathcal F\left[\delta(t) + \delta(t-T)\right] = 1+\exp(-j2\pi fT)$

f

$f$

| H (f) |

$|H(f)|$

2

$2$ auf ein Minimum von

wie oben diskutiert), und so weiter

0

$0$

kein skalares Vielfaches von

. Filtern!

Y (f) = H (f) X (f)

$Y(f)=H(f)X(f)$

X (f)

$X(f)$

— Dilip Sarwate
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Entschuldigen Sie die Verzögerung - wie würde ich von hier aus (diese Filterung ist Interferenz) zu der Notwendigkeit gehen, dass die Filterung die Faltung der beiden Signale ist? Ich kann es (algebraisch) aus der Summe zweier Kosinusformeln sehen, aber ich kann mir keinen Grund vorstellen, warum.

— Tom Kealy

Bitte erläutern Sie, was Sie unter "Filtern ist Interferenz" verstehen . Ich verstehe diese Vorstellung überhaupt nicht

— Dilip Sarwate

Nun, wir haben gerade festgestellt (oder haben wir?), Dass das Addieren von zwei Signalen zusammen mit unterschiedlichen Phasen dem Filtern mit einer Zeitverzögerung entspricht, da die Wellen interferieren. Wie würde ich (im Zeitbereich) von dort zur Faltung gehen?

— Tom Kealy

x (t) + x (t - T) = y (t)

$x(t)+x(t-T) = y(t)$

h (t) = δ (t) + δ (t - T)

$h(t) = \delta(t)+\delta(t-T)$

x (t)

$x(t)$

y (t) = x ⋆ h = \int_{- - \infty}^{\infty} x (t - - u) h (u) d u = \int_{- - \infty}^{\infty} x (t - - u) [δ (u) + δ (u - - T.)]] d u

$y(t) = x\star h = \int_{-\infty}^\infty x(t-u)h(u)\,du = \int_{-\infty}^\infty x(t-u)[\delta(u)+\delta(u-T)]\,du$

x (t) + x (t - T)

$x(t)+x(t-T)$

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$h(t)$

h (t) = δ (t) + δ (t - - T.)

$h(t) = \delta(t) + \delta(t-T)$

T

$T$

— Matt L.
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Wenn die Zeitverzögerung der verzögert hinzugefügten Version eines Signals genau einen Zyklus eines periodischen Inhalts beträgt, wird die Ausgabe additiv erhöht. Wenn die Verzögerung genau die Hälfte der Periode einer sinusförmigen Komponente beträgt, stört diese Komponente destruktiv und wird somit aus dem Ausgang auf Null gesetzt. Wenn die Verzögerung Null ist, wird das Signal verdoppelt. Bei Frequenz- / Phasenkombinationen, die zwischen vollständiger destruktiver Interferenz oder vollständiger Addition liegen, liegt das additive Ergebnis ebenfalls dazwischen.

Das Erhöhen und Verringern der Ausgabe in Abhängigkeit vom Frequenzinhalt der Eingabe ist eine typische Filterung.

— hotpaw2
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