Varianz des weißen Gaußschen Rauschens

Es scheint eine einfache Frage zu sein, aber ich versuche, die Varianz des weißen Gaußschen Rauschens ohne Ergebnis zu berechnen.

Die Leistungsspektraldichte (PSD) des additiven weißen Gaußschen Rauschens (AWGN) beträgt während die Autokorrelation $\frac{N_0}{2}$ , also ist die Varianz unendlich? $\frac{N_0}{2}\delta(\tau)$

noise power-spectral-density random-process

— Mazzy
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Ist die Rauschleistung nicht die Varianz der Rauschspannung? Man könnte auch nach der Varianz (oder Standardabweichung) der über ein bestimmtes Zeitintervall gemessenen Leistung fragen. Ich denke, der zentrale Grenzwertsatz würde die Beziehung zwischen der Dauer der Messzeit und der Varianz der Ergebnisse beschreiben.

Antworten:

Weißes Gaußsches Rauschen ist im zeitkontinuierlichen Fall kein Prozess zweiter Ordnung (dh ist endlich), und daher ist die Varianz unendlich. Glücklicherweise können wir in der Natur niemals einen Prozess mit weißem Rauschen beobachten (ob Gauß oder nicht). es ist nur durch irgendeine Art von Vorrichtung beobachtbar, z. B. ein (BIBO-stabiles) lineares Filter mit Übertragungsfunktion In diesem Fall erhalten Sie einen stationären Gaußschen Prozess mit der spektralen Leistungsdichte $E[X^2(t)]$ $H(f)$ und endliche Varianz $\frac{N_0}{2}|H(f)|^2$

σ^{2} = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{N_{0}}{2} | H (f) |^{2} d f .

$\sigma^2 = \int_{-\infty}^\infty \frac{N_0}{2}|H(f)|^2\,\mathrm df.$

Mehr als das, was Sie wahrscheinlich über weißes Gaußsches Rauschen wissen möchten, finden Sie im Anhang dieses meiner Vorlesungsunterlagen .

— Dilip Sarwate
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Das Merkwürdige daran ist für mich, dass der

-Parameter, der als "Varianz" der Gaußschen Verteilung von

wird, nicht die Varianz der Sequenz ist. Wie Sie sagen, es ist, weil

unendlich ist. Danke für die klare Erklärung!

σ^{2}

$\sigma^2$

x (t)

$x(t)$

E [x^{2} (t)]

$E[x^2(t)]$

— Peter K.

@PeterK. Es gibt einen Unterschied zwischen den Begriffen des weißen Gaußschen Rauschens für die diskrete Zeit und für die kontinuierliche Zeit. Wenn ein zeitdiskretes Verfahren , wie in Betracht gezogen wird , Proben aus einem zeitkontinuierlichen Prozess dann, unter Berücksichtigung , dass der Probennehmer ein Gerät mit einer endlichen Bandbreite ist, wir eine Folge von unabhängiger Gaußschen Zufallsvariablen gemeinsamer Varianz erhalten

, welche , was Sie haben in Ihrer Antwort. Wenn Ihr

ist

σ^{2}

$\sigma^2$

Y [n]

$Y[n]$

Y [n] = \int_{(n - 1) T}^{n T} X (t) d t

$Y[n]=\int_{(n-1)T}^{nT}X(t)\,\mathrm dt$

X (t)

$X(t)$

σ_{Y [n]}^{2} = \frac{N_{0}}{2} T

$\sigma_{Y[n]}^2=\frac{N_0}{2}T$

\frac{N_{0}}{2}

$\frac{N_0}{2}$

T = 1

$T=1$ ).

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate I read your interesting appendix. But you say " One should not, however, infer that the random variables in the WGN process are themselves Gaussian random variables". I did not fully understand this. If the random variables aren't Gaussian (and this seems reasonable to me since they have infinite variance), why is the process named Gaussian?

— Surfer on the fall

@Surferonthefall Try writing down the probability density function

f_{X (t)} (x)

$f_{X(t)}(x)$ of the alleged Gaussian random variables in the white Gaussian noise process

{X (t) : - \infty < t < \infty}

$\{X(t)\colon -\infty < t < \infty\}$ . The density function has value

0

$0$ for all

x

$x$ . How can

X (t)

$X(t)$ be viewed as a Gaussian random variable? As I said repeatedly in the document you read, one should not look too closely at the random variables in a white noise process

{X (t) : - \infty < t < \infty}

$\{X(t)\colon -\infty < t < \infty\}$ . The process is a mythical one and it is defined by what it produces at the output of linear filter, not by anything else.

— Dilip Sarwate

Sorry, that should have read ".... take the limit as

σ \to \infty

$\sigma \to \infty$ " not as

σ \to 0

$\sigma \to 0$ .

— Dilip Sarwate

Suppose we have a discrete-time sequence $x[t]$ which is stationary, zero mean, white noise with variance $\sigma^2$ . Then the autocorrelation of $x$ is:

\begin{matrix} R_{x x} [τ] & = & E [x [t] x [t + τ]] \\ = & {\begin{matrix} E [x [t]^{2}], i f τ = 0 \\ 0, o t h e r w i s e \end{matrix} \\ = & σ^{2} δ [τ] \end{matrix}

$\begin{array} RR_{xx}[\tau] &=& E\left[ x[t] x[t+\tau] \right]\\ &=& \left \{ \begin{array} EE \left[ x[t]^2 \right], {\rm if\ }\tau=0 \\ 0, {\rm otherwise} \end{array} \right. \\ &=& \sigma^2 \delta[\tau] \end{array}$ where

δ [τ]

$\delta[\tau]$ is the Kronecker delta.

So, that implies that $\sigma^2 = \frac{N_0}{2}$ .

— Peter K.
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Yes it is: unless you take into account that infinite power is hard to come by in these post big-bang times. Actually all white noise processes end up in a physical implementation that has a capacitance and thus limits on the effective bandwidth. Consider the (reasonable) arguments leading to Johnson R noise: they would produce infinite energy; except there are always bandwidth limits in implementation. A similar situation applies at the opposite end: 1/F noise. Yes some processes fit 1/f noise very well over a long time; I have measured them. But in the end you are constrained by physical laws.

— rrogers
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