PSD (Power Spectral Density) Erklärung

Ich versuche zu verstehen, wie die PSD berechnet wird. Ich habe in einigen meiner Lehrbücher für Kommunikationstechnik nachgesehen, aber ohne Erfolg. Ich habe auch online gesucht. Wikipedia scheint die beste Erklärung zu haben; Ich verliere mich jedoch an dem Punkt, an dem sie sich entscheiden, die CDF (Cumulative Distrubution Function) zu erstellen, und entscheide mich dann aus irgendeinem Grund, diese Funktion mit der Autokorrelationsfunktion in Verbindung zu bringen.

Ich vermute, was ich nicht verstehe, ist, wie Autokorrelation etwas mit der Berechnung der PSD zu tun hat. Ich hätte gedacht, dass die PSD einfach die Fourier-Transformation von (wobei die Potenz des Signals in Bezug auf die Zeit ist). $P(t)$ $P(t)$

power-spectral-density psd

— user968243
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Wie definieren Sie

P (t)

$P(t)$ ?

— Phonon

Ich definiere es nicht wirklich als irgendetwas. Es ist nur ein Stromsignal. Ich denke, wenn ich es definieren müsste, wäre es

... Ich denke, der Punkt ist, dass die PSD nicht

und es hat etwas mit Autokorrelation zu tun und ich verstehe nicht, was ...

P (t) = v (t) \cdot i (t)

$P(t) = v(t) \cdot i(t)$

F {P (t)}

$\mathcal{F}\{P(t)\}$

— user968243

Für beliebige Signale kann man eine solche Leistung nicht wirklich definieren. Es gibt keine Spannungs- und Stromkonzepte. Leistung ist in diesem Fall definiert als Leistung einer Welle (elektromagnetisch, wenn Sie möchten). Es ist also

, und es ist eine einzelne Zahl, keine sich zeitlich ändernde Größe.

\frac{1}{T} \int_{0}^{T} x^{2} (t) d t

$\frac{1}{T} \int_0^Tx^2(t)dt$

— Phonon

Lesen Sie mehr über das Wiener-Khinchin-Theorem . Sie wollen nicht verstehen, worauf Phonon Sie hinweist, dass die von Ihnen berechnete Grenze eine Konstante ist, und daher ist ihre Fourier-Transformation nur ein Impuls bei

im Frequenzbereich. Wenn das Ihr Boot schwimmt, versuchen Sie es, aber es ist nicht die spektrale Leistungsdichte, wie alle anderen es verstehen.

f = 0

$f=0$

— Dilip Sarwate

Ich habe über diesen Satz gelesen ... Und ich verstehe, wie er die Fouriertransformation mit Autokorrelation in Beziehung setzt. Und ich lehne es nicht ab zu verstehen, was Phonon gesagt hat ... Ich verstehe genau, was @Phonon gesagt hat. Ich verstehe nicht, warum die Autokorrelationsformel verwendet wird, und ich verstehe auch nicht, warum die Fouriertransformation verwendet wird. ... Ich habe keine Ahnung, warum dies zu einer PSD führen würde, und ich konnte keine anständige Ableitung finden.

— user968243

Antworten:

Sie haben recht, PSD hat mit der Berechnung der Fourier-Transformation der Signalleistung zu tun und zu erraten, was ... es tut. Aber schauen wir uns zuerst die mathematische Beziehung zwischen der PSD und der Autokorrelationsfunktion an.

Notationen:
- Fourier - Transformations-: $F [x (t)] = X (ω) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{- j ω t} d t$ $\mathcal{F}[ x(t)] = X(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-j\omega t}dt$
- (Time) Autokorrelationsfunktion: $R (τ) = x (τ) * x (- τ) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) x (t + τ) d t$ $R(\tau) = x(\tau) * x(-\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)x(t + \tau)dt$
Wir wollen beweisen, dass die Fourier-Transformation der Autokorrelationsfunktion tatsächlich der Leistungsspektraldichte unseres stochastischen Signals . $x(t)$

F [R (τ)] = \int_{- \infty}^{\infty} R (τ) e^{- j ω τ} d τ

$\mathcal{F}[ R(\tau)]= \int_{-\infty}^{\infty} R(\tau)e^{-j\omega \tau}d\tau$

= \int_{- \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} x (t) x (t + τ) e^{- j ω τ} d t d τ

$= \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} x(t)x(t + \tau) e^{-j\omega \tau} dtd\tau$

= \int_{- \infty}^{\infty} x (t) \underset{F [x (t + τ)] = X (ω) e^{j ω t}}{\underset{⏟}{\int_{- \infty}^{\infty} x (t + τ) e^{- j ω τ} d τ}} d t

$= \int_{-\infty}^{\infty}x(t) \underbrace{\int_{-\infty}^{\infty} x(t + \tau) e^{-j\omega \tau} d\tau}_{\mathcal{F}[x(t + \tau) ] = X(\omega)e^{j\omega t}} dt$

= X (ω) \int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{j ω t} d t

$= X(\omega) {\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{j\omega t} dt}$

= X (ω) X^{*} (ω) = | X (ω) |^{2}

$= X(\omega)X^*(\omega)= |X(\omega)|^2$

Was soll das alles heißen? Hinweis: Diese Erklärung ist ein bisschen "hacky". Aber hier geht es

$\mathcal{F}[x(t)]$

Was ist, wenn Sie dann den Erwartungswert der Fourier-Transformation nehmen? Das würde nicht funktionieren. Nehmen wir zum Beispiel ein Null-Mittelwert-Signal.

E {F [x (t)]} = F [E {x (t)}] = 0

$\mathbb{E}\{ \mathcal{F}[x(t)] \} = \mathcal{F}[\mathbb{E}\{ x(t) \}] = 0$

E {F [x^{2} (t)]} = F [\underset{Ein V. Macht des Signals}{\underset{⏟}{E {x^{2} (t)}}}]

$\mathbb{E}\{ \mathcal{F}[x^2(t)] \} = \mathcal{F}[\underbrace{\mathbb{E}\{ x^2(t) \}}_{\text{Av. Power of the Signal}}]$

$P(t)$

Verweise:

[1] Mitteilungen 1, PL. Dragotti, Imperial College London

[2] White Noise and Estimation, F. Tobar [unveröffentlichter Bericht]

— ssk08
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d t

$dt$

d τ

$d\tau$

\infty

$\infty$

\infty

$\infty$

ja, das ist richtig.

— ssk08

x (t)

$x(t)$

x^{2} (t)

$x^2(t)$

@ user968243 Betrachten Sie den Teil "Für jede Realisierung" folgendermaßen: Ihr ursprüngliches Signal, sagen wir mal Länge

N

$N$ , dass Sie die PSD finden möchten, ist ein zufälliger Vektor. Es ist also ein Vektor mit

N

$N$ Komponenten. Da dies ein Zufallsvektor ist, erhalten Sie bei jedem Würfeln unterschiedliche Werte für seine Komponenten. Eine Möglichkeit könnte [3 4 1 9 ...] sein. Eine andere Möglichkeit könnte [2.9 4.2 1.1 9.02 ...] sein. Das ist es, was er meint, wenn er sagt: "Für jede Realisierung eines zufälligen Prozesses (Ihres Vektors) erhalten Sie unterschiedliche Ausdrücke für" (die Fouriertransformation.

— Spacey

@Mohammad hat es perfekt zusammengefasst.

— ssk08

Schöne Ableitung, aber ich denke, Sie können dies noch einfacher tun

Autokorrelation $r(t) = x(t)*x(-t)$ , es ist die Faltung des Signals mit seiner Zeit spiegelte sich.

Faltung im Zeitbereich ist Multiplikation im Frequenzbereich.

Zeitumkehr im Zeitbereich ist "komplexes Konjugat" im Frequenzbereich.

Daher bekommen wir

R (ω) = F {r (t)} = F {x (t)} F {x (- t)} = X (ω) X^{*} (ω) = | X (ω) |^{2} = P S D

$R(\omega) = \mathcal{F}\{r(t)\} = \mathcal{F}\{x(t)\}\mathcal{F}\{x(-t)\} = X(\omega) X^*(\omega) = |X(\omega)|^2 = PSD$

— Hilmar
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Ist die Autokorrelation nicht die Faltung des Signals mit seinem komplexen konjugierten, zeitversetzten Selbst?

— Jim Clay

Ich denke, er geht davon aus, dass das Signal echt ist.

— ssk08

@ Jim & ssk08: Sie sind beide natürlich richtig. Vielen Dank, dass Sie die Gleichungen bereinigt haben.

— Hilmar

PSD (Power Spectral Density) Erklärung

P( t )P(t)P(t)

$P(t)$