Was ist die genaue Bedeutung eines instabilen Systems in DSP?

In physikalischen Systemen verstehe ich, was Stabilität oder Instabilität bedeutet. Ein Operationsverstärker zum Beispiel, wenn er mit positiver Rückkopplung arbeitet, wird entweder gesättigt oder beginnt zu verknöchern (dh er hat keinen stabilen Zustand). das ist mir klar.

Aber ich kann nicht verstehen, was genau wir meinen, wenn wir sagen, dass ein IIR-Filter (oder ein anderes digitales System) zum Beispiel sehr instabil werden kann.

• Was genau passiert im Digital Signal Proccessor, was passiert physisch mit dem Ausgang?
• Was genau meinen wir in diesem Zusammenhang mit instabilem System?

Instabil bedeutet normalerweise eine unbegrenzte Ausgabe für eine begrenzte Eingabe. Mit anderen Worten, die Ausgabe eines Filters kann unendlich groß werden, obwohl die Eingabe vollkommen in Ordnung und von "normaler" Größe ist. Ein einfaches Beispiel wäre die Differenzgleichung . Wenn wir die Sprungantwort berechnen, dh , erhalten wir y [0] = 1, y [1] = 2, y [2] = 3 ... Die Ausgabe wächst unendlich, obwohl die Der Eingang ist ein perfekt verhaltenes Signal, das durch 1 begrenzt ist.$y[n] = x[n] + y[n-1]$$x[n] = u[n]$

Ein instabiles IIR-Filter verhält sich wie eine instabile Operationsverstärkerschaltung, mit der Ausnahme, dass Eingang und Ausgang Zahlenströme anstelle von Spannungen sind.

Der Ausgang kann also schwingen, bei einem Min / Max-Wert hängen bleiben oder im Allgemeinen nur zusammengedrückt werden. Genau wie eine instabile Operationsverstärkerschaltung kann sie für einige Eingänge funktionieren und für andere oszillieren.

So ziemlich jede Art von System, bei dem es um Feedback geht, kann instabil sein, wenn es falsch ausgelegt ist. Dies liegt daran, dass ein Teil des Ausgangs in den Eingang zurückgeführt wird (daher Rückmeldung!), So dass ein instabiles System immer mehr Rückmeldungen gibt, bis es verrückt wird.

IIR-Filter haben nichts Besonderes im Vergleich zu Operationsverstärkerfiltern - beide haben eine Rückkopplung und können je nach den Polen, die den Rückkopplungsteil einer Übertragungsfunktion darstellen, stabil oder instabil sein.

Das ist eigentlich der Unterschied zwischen einem FIR-Digitalfilter und einem IIR-Digitalfilter: FIR-Filter haben keine Rückkopplung, daher können sie niemals instabil sein (der Nachteil hierbei ist, dass ein äquivalenter FIR-Filter normalerweise eine Tonne mehr Berechnung benötigt). Sie sind im Grunde reine Feed-Forward, anstatt Feedback (und wahrscheinlich auch Feedback) wie ein IIR zu haben.

Ein IIR-Filter hat Pole, was bedeutet, dass es eine Rückmeldung von der Systemausgabe hat, die in seine Ausgangsberechnungen einfließt. Die Pole eines zeitdiskreten Systems müssen eine absolute Größe kleiner als 1 haben, damit das System stabil ist. Dies bedeutet, dass die Pole innerhalb eines Einheitskreises in der komplexen Ebene liegen (im Allgemeinen bezogen auf die z-Ebene, die der z-Domänenübertragungsfunktion des Systems zugeordnet ist).

Die analoge Situation für "reale" Systeme (Systeme, die durch lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten modelliert werden können - also durch eine Übertragungsfunktion in der Laplace-Domäne oder der S-Domäne dargestellt werden können) ist, dass die Pole der Systemübertragungsfunktion müssen auf der linken Seite der S-Ebene sein.

Wenn bei diskreten Zeitsystemen die Pole außerhalb des Einheitskreises liegen, können die intern dargestellten Werte sowie die Systemleistung unbegrenzt wachsen. Wenn sich Pole auf dem Einheitskreis befinden, können systeminterne Werte sowie der Ausgang schwingen.

Für ein stabiles System wird erwartet, dass interne Werte und die Systemausgabe eine Funktion der Systemeingabe sind. Dies ist nicht der Fall, wenn das System oszillierend ist oder Werte aufweist, die die Größe der Zahlen überschreiten, die zur Darstellung interner Werte verwendet werden (Registerüberlauf).

Wenn die Pole zu nahe am Einheitskreis liegen, ist das System möglicherweise geringfügig stabil. In solchen Fällen verhält sich das System möglicherweise für einen begrenzten Satz von Eingabebedingungen, kann jedoch für andere Bedingungen unkontrolliert werden. Der Grund dafür ist, dass DSP-Systeme von Natur aus nicht linear sind. Interne Werte werden häufig mit Festkomma-Arithmetik dargestellt und immer in Registern endlicher Größe gespeichert. Wenn also die maximal darstellbaren Werte überschritten werden, tritt beim System eine Nichtlinearität auf. Ein weiteres Merkmal von DSP-Systemen ist, dass Signale quantisiert werden. Die Signalquantisierung fügt dem System nichtlineare Effekte mit niedrigem Pegel hinzu. Quantisierungsfehler werden häufig als Rauschen modelliert, können jedoch mit Systemwerten korrelieren und zu Schwingungen führen, die als Grenzzyklen bezeichnet werden.

Es muss darauf geachtet werden, dass in Festpunktdarstellungen keine Sättigung (Erreichen der absoluten Maximalwerte) auftritt. Im Allgemeinen wird es als besser angesehen, wenn Absolutwerte überschritten werden, die Darstellung auf dem Maximalwert zu halten, anstatt eine Vorzeichenumkehr des Werts zu verursachen. Dies wird als Sättigungsbegrenzung bezeichnet und bewahrt das Systemverhalten besser als Vorzeichenumkehrungen.

Im Allgemeinen wird ein instabiles DSP-System auf einen festen Wert sättigen oder aufgrund interner Nichtliteraturen chaotisch schwingen.

Wenn ein System instabil ist, kann die Ausgabe des Systems unendlich sein, obwohl die Eingabe in das System endlich war. Dies verursacht eine Reihe praktischer Probleme. Beispielsweise kann eine instabile Roboterarmsteuerung dazu führen, dass sich der Roboter gefährlich bewegt. Außerdem verursachen instabile Systeme häufig einen gewissen physischen Schaden, der kostspielig werden kann. Dennoch sind viele Systeme von Natur aus instabil - beispielsweise ein Kampfjet oder eine Rakete beim Abheben sind Beispiele für natürlich instabile Systeme. Obwohl wir Steuerungen entwerfen können, die das System stabilisieren, ist es zunächst wichtig zu verstehen, was Stabilität ist, wie sie bestimmt wird und warum sie wichtig ist.

Ein System wird als instabil bezeichnet, wenn sein Ausgang für ein angelegtes endliches Eingangssignal unendlich ist.