Warum werden komplexe Zahlen als a + ib dargestellt und können nicht als (a, b) sein?

Ich bin verwirrt, warum wir die komplexen Zahlen mit der imaginären y-Achse darstellen müssen, wenn wir sie einfach als (x, y) darstellen können.

Ich habe gelesen, dass die Multiplikation mit i eine Drehung eines Viertelkreises gegen den Uhrzeigersinn um die y-Achse ist.

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Das Multiplizieren von 1 mit i ergibt i. Das erneute Multiplizieren von i mit i ergibt einen weiteren Viertelkreis und ergibt -1. Das Multiplizieren mit -1 bedeutet also eine Drehung eines Halbkreises. Das ist die Bedeutung von i * i = -1.

Was soll das heißen?

Angenommen, ich löse eine Gleichung und habe eine Antwort wie 3i erhalten. Bedeutet das, dass ich mich gegen den Uhrzeigersinn im Halbkreis von der x-Achse zur y-Achse bewegt habe? Ich konnte mir das nicht richtig vorstellen

signal-analysis

— Sufiyan Ghori
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Oft sehen Sie komplexe Zahlen, die als Punkt in der komplexen Ebene referenziert werden . Es ist nicht klar, was Ihre Frage ist; Sie scheinen die geometrische Interpretation der komplexen Ebene zu verstehen.

(x, y)

$(x,y)$

— Jason R

Die (x, y) -Darstellung funktioniert für Vektoren, die komplexen Zahlen ähnlich sind. Sie vermissen jedoch die ganze "imaginäre" Sache. Komplexe Zahlen eröffnen der Analyse eine neue Dimension, da sie die Quadratwurzel negativer Zahlen unterstützen. Als solche sind komplexe Zahlen wirklich andere Tiere als reelle Zahlen und können nicht einfach als zweidimensionale Vektoren reeller Zahlen dargestellt werden.

— user2718

Antworten:

Ja, bei der Signalverarbeitung werden komplexe Zahlen normalerweise auf der komplexen Ebene visualisiert, wie Sie gesagt haben.

Der Grund ist, dass Sie zwei wichtige Größen messen können, wenn Sie sie in ein Flugzeug setzen:

1) Größe , die ist $\sqrt{x^2 + y^2}$

2) Phase Winkel zwischen Punkt und dem Ursprung, gegeben durch $\tan^{-1} \frac{y}{x}$ .

Wenn Sie sie einfach als Punkt belassen, ( $x$ , $y$ ) könnten Sie diese Mengen nicht konkretisieren und einen Rahmen bilden.

Sie fragen sich vielleicht, warum diese Mengen wiederum wichtig sind? Bei der Signalverarbeitung handelt es sich natürlich um Signale, und physikalisch handelt es sich um "echte" Signale. Obwohl ein netter Trick, entspricht eine konstante Schwingung einer Größe im „realen“ Leben (wie eine Kosinuswelle) zwei Zeigern, die sich auf der komplexen Ebene in entgegengesetzte Richtungen drehen und sich addieren. Mit diesem Rahmen können wir sehen, dass sich die Phasenwinkel gegenseitig "aufheben" und dass die Größen ihrer Resultierenden uns die Größe unseres "realen" Signals geben.

Tatsächlich ist dies das, was eine der Formeln von Euler erfasst. Das ist:

\cos (2 π f t) = \frac{e^{j 2 π f t} + e^{- - j 2 π f t}}{2}

$\cos(2\pi ft) = \frac{e^{j2\pi ft} + e^{-j2\pi ft}}{2}$

Sie können hier sehen, wie wir ein Konzept der "realen" Welt, wie eine oszillierende Kosinuswelle, leicht mit der "komplexen" Welt der Zeiger in Beziehung setzen können, wie sie existieren und sich in der komplexen Ebene drehen.

Dies ist einer der Eckpfeiler von DSP.

— Spacey
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Für eine Definition komplexer Zahlen sind die Symbologie "a + ib" und "(a, b)" äquivalente Darstellungen, solange die Operationen an diesen Symbolen vollständig den Regeln für komplexe Arithmetik folgen (einschließlich Multiplikation, die eine Drehung impliziert).

Die Bedeutung ist, dass komplexe Arithmetik unter Verwendung solcher arithmetischer Regeln tatsächlich eine ganze Reihe von Theoremen und Berechnungen vereinfacht (einschließlich Lösungen von Polynomwurzeln, Konvergenz unendlicher Reihen usw.). Das Verhalten von Paaren realer Größen in der realen Welt kann manchmal durch Modelle unter Verwendung von Arithmetik nach solchen Regeln und durch Aufrufen einer der Größen "imaginär" entsprechend der im Modell verwendeten Computersymbolik eng angenähert werden.

Betrachten Sie es als einen mathematischen "Trick", der zu hilfreich ist, um ihn nicht zu verwenden. zB Cardano und andere italienische Mathematiker aus der Renaissance versuchten, kubische Gleichungen ohne die Verwendung komplexer oder imaginärer Zahlen zu lösen, und ihre Lösungen waren deshalb um einiges langwieriger.

— hotpaw2
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+1. hotpaw2, haben Sie ein Beispiel für Mathematiker aus Cardano und der Renaissance, die versuchen, kubische Gleichungen ohne komplexe Zahlen zu lösen und ihre langatmigen Antworten zu haben? Wenn Sie ein Beispiel kennen, würde dies einen großen Beitrag dazu leisten, die Schüler für die Bedeutung komplexer Zahlen in DSP zu motivieren.

— Spacey

Es gibt mehrere Bücher zur Geschichte der Mathematik, die diese Geschichten enthalten. IIRC, "An Imaginary Tale" von Nahin, ist eine von vielen.

— hotpaw2

Das Buch, das Sie vorgeschlagen haben, ist hier verfügbar :) Lesen Sie es jetzt .. scribd.com/doc/102614774/An-Imaginary-Tale-the-Story-of-i

— Sufiyan Ghori

@Mohammad IIRC, dieses Buch enthält ein ganzes Kapitel über den Cardano / Tartaglia-Konflikt um die Lösung der Kubik.

— Datageist

@datageist Ah! Fantastisch - gerade bestellt! :-)

— Spacey

Eine Möglichkeit, über komplexe Zahlen nachzudenken, ist das Anzeigen $i$ als "Einheitsvektor" in Richtung der imaginären Achse.

Tatsächlich wurde die Verwendung komplexer Zahlen als Einheitsvektoren später zur Grundlage für Quanternionen , die vor der Entwicklung der modernen Vektoranalyse durch Gibbs / Heaviside zur Darstellung von Vektorgrößen verwendet wurden .

— Robert L.
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