Was ist mit „stochastischer Probenahme“ gemeint?

Was genau ist mit "stochastischer Abtastung" gemeint und unterscheidet es sich grundlegend von dem regulären Nyquist-Shannon-Abtasttheorem ? Handelt es sich um eine Stichprobe eines stochastischen Prozesses?

sampling

— Phonon
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Die stochastische Abtastung hat nichts mit der Abtastung stochastischer Wellenformen zu tun. Dies bedeutet lediglich, dass die Wellenform nicht in regelmäßigen Abständen abgetastet, sondern zufällig abgetastet wird.

Es sei daran erinnert, dass in einem Abtastschema gemäß dem Nyquist-Shannon-Abtasttheorem ein kontinuierliches Signal auf abgetastet wird als , wobei das Abtastintervall und ist die Abtastfrequenz. Wenn die maximale Frequenz in dem Signal , dann muss so beschaffen sein , dass $x(t)$ $\mathbb{R}$ $x[n]=x(nT),\ n\in\mathbb{Z}$ $T$ $f_s=1/T$ $f_{max}$ $f_s$ , um Aliasing zu vermeiden. Um den Vergleich mit der stochastischen Stichprobe später in der Antwort zu vereinfachen, möchte ich die Stichprobe in einer etwas anderen Form als gewöhnlich definieren $f_s\geq 2f_{max}$

wobeidie Dirac-Delta-Funktion ist undnur im Intervallabgetastet wird.

\begin{aligned} s (t) & = \sum_{n = 0}^{f_{s} τ - 1} δ (t - n T) \\ x [n] & = x (t) \cdot s (t) \end{aligned}

$\begin{align} s(t)&=\sum_{n=0}^{f_s\tau -1}\delta(t-nT)\\ x[n]&=x(t)\cdot s(t) \end{align}$

δ (t)

$\delta(t)$

x (t)

$x(t)$

[0, τ]

$[0,\tau]$

Wenn Sie tatsächlich darüber nachdenken, ist die regelmäßige Probenahme in der Praxis ziemlich einschränkend. Aliasing tritt an mehreren Stellen auf, und ein bekannter und sichtbarer Effekt sind wahrscheinlich die Moiré-Muster, die zu Hause reproduziert werden können, indem ein Foto von regulären Mustern aufgenommen wird, die auf einem Fernseher angezeigt werden (Beispiele unten).

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Dies ist jedoch immer ein Problem bei Kameras, aber niemals bei Ihren Augen, wenn Sie das Muster direkt sehen würden! Der Grund dafür ist, dass die Fotorezeptoren in Ihrer Netzhaut im Gegensatz zum CCD in einer Kamera nicht in einem regelmäßigen Muster angeordnet sind. Die Idee hinter der stochastischen Abtastung (nicht unbedingt die Idee, die zu ihrer Entwicklung geführt hat) ist der unregelmäßigen Anordnung von Photorezeptoren im Auge sehr ähnlich. Es handelt sich um eine Anti-Aliasing-Technik, bei der die Regelmäßigkeit der Abtastung aufgehoben wird.

Bei der stochastischen Abtastung hat jeder Punkt im Signal eine Wahrscheinlichkeit ungleich Null, abgetastet zu werden (im Gegensatz zur regulären Abtastung, bei der bestimmte Abschnitte niemals abgetastet werden). Ein einfaches einheitliches stochastisches Abtastschema kann über das gleiche Intervall implementiert werden $[0,\tau]$

\begin{aligned} s (t) & = \sum_{n = 0}^{f_{s} τ - 1} δ (t - t_{n}), t_{n} \sim U (0, τ) \\ x [n] & = x (t) \cdot s (t) \end{aligned}

$\begin{align} s(t)&=\sum_{n=0}^{f_s \tau -1}\delta(t-t_n),\quad t_n\sim \mathcal{U}(0,\tau)\\ x[n]&=x(t)\cdot s(t) \end{align}$

$\mathcal{U}(0,\tau)$ $[0,\tau]$

Wenn Sie stochastisch abtasten, gibt es keine "Nyquist-Frequenz", über die Sie sprechen müssen, sodass Aliasing nach wie vor kein Problem mehr darstellt. Dies hat jedoch einen Preis. Was Sie durch Anti-Aliasing gewinnen, verlieren Sie durch Rauschen im System. Die stochastische Abtastung führt zu hochfrequentem Rauschen, obwohl Aliasing für einige Anwendungen (insbesondere in der Bildgebung) eine viel stärkere Störung darstellt als Rauschen (z. B. können Sie die Moiré-Muster in den obigen Bildern leicht erkennen, in geringerem Maße jedoch das Speckle-Rauschen ).

Soweit mir bekannt ist, werden stochastische Abtastschemata fast immer bei der räumlichen Abtastung (Bildverarbeitung, Computergrafik, Array-Verarbeitung usw.) verwendet, und die Abtastung im Zeitbereich ist immer noch überwiegend regelmäßig (ich bin nicht sicher, ob die Leute sich überhaupt darum kümmern) mit stochastischer Abtastung im Zeitbereich). Es gibt verschiedene stochastische Stichprobenverfahren wie Poisson-Stichproben, Jitter-Stichproben usw., die Sie bei Interesse nachschlagen können. Eine allgemeine Einführung in das Thema finden Sie unter

MAZ Dippé und EH Wold, "Antialiasing Through Stochastic Sampling" , SIGGRAPH, Bd. 19, No. 5, S. 69-78, 1985.

— Lorem Ipsum
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Es gibt einige Anwendungen stochastischer Stichprobenverfahren im Zeitbereich. zufällige Abtastintervalle können bei der komprimierten Abtastung verwendet werden , obwohl die Technik nicht universell anwendbar ist.

— Jason R

@ JasonR Danke. Ich kenne die Anwendung in der komprimierten Abtastung, aber sie funktioniert nur aufgrund der Sparsamkeitsbedingung, weshalb ich sie nicht erwähnt habe. (Außerdem sind die Beispiele, die ich in der komprimierten Abtastung gesehen habe, meistens auch Bilder / räumliche Abtastungen, aber das könnte nur meine

— Tendenz

könnte von einem Beispiel eines Bildes verbessert werden, das aus einer stochastischen Abtastung extrapoliert wurde.

— CyberMen