Bestimmen des Weißgrades von Lärm

Wie quantifiziert man, wie "weiß" etwas Rauschen ist? Gibt es statistische Kennzahlen oder andere Kennzahlen (zum Beispiel FFTs), mit denen quantifiziert werden kann, wie nahe eine bestimmte Stichprobe am weißen Rauschen liegt?

noise

— Kitchi
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Sind Sie an Vorschlägen zum Vergleichen verschiedener Rauschquellen / -signale interessiert oder suchen Sie eine Metrik nach "Industriestandard", die für die Menge an "Farbe" in einer Rauschquelle gilt? Mir ist keine allgemeine Metrik bekannt, aber Sie können den Grad der Färbung anhand der Rauschleistungsverteilung in einer FFT oder PSD (flacher = weißer) oder anhand der Autokorrelations-Fucitons (schmaler = flacher) vergleichen.

— user2718

Wenn ich Sie richtig verstehe, suchen Sie nach einem automatischen Black-Box-Rechner für den Weißgrad, richtig?

— Spacey

+1 zur Berechnung der spektralen Leistungsdichte der Quelle. Für die Aufzeichnung möchte ich hinzufügen, dass weißes Rauschen in der Praxis nicht abgetastet werden kann, da seine PSD flach in -∞ <f <∞ ist.

— Serge

@ Mohammad - Nicht unbedingt eine Blackbox zu berechnen. Ich bin nur neugierig, ob es einen mathematischen Schätzer für den Weißgrad gibt.

— Kitchi

@BruceZenone - Für eine echte Stichprobe von Daten, wie Serge betonte, wird die PSD nie ganz flach sein, oder? Aber ich vermute immer noch, je flacher es ist, desto näher kommt es dem "wahren" weißen Rauschen.

— Kitchi

Antworten:

Sie könnten einen statistischen Test auf der Grundlage der Autokorrelation der potenziell weißen Sequenz erstellen. Das Handbuch zur digitalen Signalverarbeitung schlägt Folgendes vor.

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Dies kann in Scilab wie folgt implementiert werden.

Wenn Sie diese Funktion über zwei Rauschsequenzen ausführen: eine mit weißem Rauschen und eine mit leicht gefiltertem weißem Rauschen, wird das folgende Diagramm angezeigt. Skript zur Generierung jeder Realisierung der Rauschsequenzen ist am Ende.

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Der Mittelwert der Statistik für das weiße Rauschen beträgt 9,79; Der Mittelwert der Statistik für das gefilterte Rauschen beträgt 343,3.

Wenn wir einen Chi-Quadrat-Tisch mit 10 Freiheitsgraden betrachten, erhalten wir:

$p=0.01$

function R = whiteness_test(x,m)
    N = length(x);
    XC = xcorr(x);
    len = length(XC);
    lags = len/2+1 + [1:m];
    R = N*sum(XC(lags).^2)/XC(len/2+1).^2;
 endfunction

X = rand(1,1000,'normal');
Y = filter(1,[1 -0.5],X)
R = [R; whiteness_test(X,10)];
R2 = [R2; whiteness_test(Y,10)];

— Peter K.
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Ich bin kein großer Statistiker ... Aber ich habe Bedenken hinsichtlich der allgemeinen Gültigkeit des oben genannten Tests für nicht-gaußsche Prozesse des weißen Rauschens: Soweit ich weiß, bedeutet weißes Rauschen nur, dass es keine Korrelation in der Zeit gibt und somit die Autokorrelation ist ein Impuls bei 0 Verzögerung. Weiß bedeutet nicht unbedingt, dass die Amplituden normalverteilt sind, was der Test annimmt ... Soweit ich weiß, gilt der Test für weißes Gauß-Rauschen (weil die Summe der quadratischen Gauß-Verteilungen Chi-Quadrat ist) und nicht für allgemeines weißes Rauschen? Habe ich recht oder gibt es irgendetwas Wr

— Fabian

@ Fabian: Ja und nein. Sie haben insofern Recht, als der Test davon ausgeht, dass die Autokorrelationswerte Gauß'sch sind. Wenn das ursprüngliche Rauschen nur eine Verteilung ist, bedeutet der zentrale Grenzwertsatz, dass die Verteilung der Autokorrelationsschätzungen Gaußsch ist. Es gibt einige pathologische Fälle, in denen die Autokorrelationskoeffizienten nicht Gauß sein werden, aber diese sind im Allgemeinen selten und weit voneinander entfernt (und möglicherweise ist die Autokorrelationsanalyse in diesen Fällen nicht das Beste).

— Peter K.

@ PeterK.Wäre es nicht ein "härterer" Test, die Ebenheit der PSD festzustellen? Auf diese Weise werden keine Annahmen getroffen und die Verteilung der Rauschproben ist irrelevant.

— Envidia

@Envidia: Die beiden sind doch gleichwertig, oder? Die PSD ist nur die DFT der Autokorrelationssequenz.

— Peter K.

@PeterK. In Ihrem Beispiel sind sie im Wesentlichen gleichwertig. Das Verfahren geht jedoch davon aus, dass die Proben wie üblich auf jede Art und Weise verteilt werden können. Ich verstehe, dass der zentrale Grenzwertsatz ins Spiel kommt und gültig ist, weshalb ich den Begriff "härter" verwende. Vielleicht wäre ein besserer Begriff "allgemein".

— Envidia

Ich würde die Autokorrelationseigenschaften oder die Flachheit der PSD des Signals verwenden, um dies zu bestimmen. Die Autokorrelation des theoretischen weißen Rauschens ist ein Impuls mit Verzögerung 0. Außerdem ist die PSD der Fouriertransformation der Autokorrelationsfunktion, die PSD des theoretischen weißen Rauschens, konstant.

Beides sollte Ihnen einen guten Eindruck von der Weißheit Ihres Geräusches vermitteln.

— Ätherisch
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Weiß ist gleichbedeutend mit Unabhängigkeit.

Sie können sich die eingefleischten https://en.m.wikipedia.org/wiki/Diehard_tests ansehen

Band 2 von Knuths Seminumerischen Algorithmen enthält einen Abschnitt über Zufallsgeneratoren und -tests.

Das Problem bei DFT-basierten Tests ist, dass es ein wenig spektrale Leckage gibt. Diese Technik führt eine Korrelation ein, die normalerweise vernachlässigt werden kann, wenn Sie Ihre Transformationen "lang" machen.

Es gibt auch Tests für zufällige Bitströme bei NIST

Ich habe vergessen zu sagen, Stan: +1 für diese harten Tests! Ich hatte diese Liste nicht gesehen. :-)

— Peter K.