Warum ist die Fourier-Transformation so wichtig?

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Alle diskutieren die Fourier-Transformation, wenn es um Signalverarbeitung geht. Warum ist die Signalverarbeitung so wichtig und was sagt sie über das Signal aus?

Gilt es nur für die digitale Signalverarbeitung oder gilt es auch für analoge Signale?

fourier-transform

— Jcolebrand
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Kürzlich wurde eine Diskussion über Fourier-Transformationen auf math.SE wiederbelebt, und ich dachte, dass die Leute auf dieser Site einiges davon für lohnenswert halten und vielleicht sogar daran teilnehmen möchten.

— Dilip Sarwate

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vgl. Diese Antwort für einige ausgezeichnete historische Hintergründe. Fourier-Reihen reichen mindestens bis in die epizyklische Astronomie von Ptolemäus zurück . Durch Hinzufügen von mehr Exzentrikern und Epizyklen, ähnlich wie durch Hinzufügen von mehr Begriffen zu einer Fourier-Reihe, kann jede kontinuierliche Bewegung eines Objekts am Himmel berücksichtigt werden .

— Geremia

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Dies ist eine ziemlich breite Frage, und es ist in der Tat ziemlich schwer zu bestimmen, warum genau Fourier-Transformationen bei der Signalverarbeitung wichtig sind. Die einfachste Antwort, die man von Hand geben kann, besteht darin, dass es sich um ein äußerst leistungsfähiges mathematisches Werkzeug handelt, mit dem Sie Ihre Signale in einem anderen Bereich anzeigen können, in dem mehrere schwierige Probleme sehr einfach zu analysieren sind.

Seine Allgegenwart in nahezu allen Bereichen der Ingenieur- und Physikwissenschaften aus unterschiedlichen Gründen erschwert die Eingrenzung eines Grundes. Ich hoffe, dass ein Blick auf einige seiner Eigenschaften, die zu seiner weitverbreiteten Akzeptanz geführt haben, zusammen mit einigen praktischen Beispielen und einem Schuss Geschichte helfen könnte, seine Bedeutung zu verstehen.

Geschichte:

Um die Bedeutung der Fourier-Transformation zu verstehen, ist es wichtig, einen kleinen Schritt zurückzutreten und die Kraft der von Joseph Fourier vorgestellten Fourier-Reihe zu würdigen. In einer Nussschale kann jede periodische Funktion in der Domäne ist, als eine unendliche Summe von Sinus und Cosinus als geschrieben werden $g(x)$ $\mathcal{D}=[-\pi,\pi]$

g (x) = \sum_{k = - \infty}^{\infty} τ_{k} e^{ȷ k x}

$g(x)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\tau_k e^{\jmath k x}$

τ_{k} = \frac{1}{2 π} \int_{D} g (x) e^{- ȷ k x} d x

$\tau_k=\frac{1}{2\pi}\int_{\mathcal{D}}g(x)e^{-\jmath k x}\ dx$

wobei . Diese Vorstellung, dass eine Funktion in ihre konstituierenden Frequenzen (dh in Sinus und Cosinus aller Frequenzen) zerlegt werden könnte, war sehr mächtig und bildet das Rückgrat der Fourier-Transformation. $e^{\imath\theta}=\cos(\theta)+\jmath\sin(\theta)$

Die Fourier-Transformation:

Die Fourier-Transformation kann als Erweiterung der obigen Fourier-Reihe auf nichtperiodische Funktionen angesehen werden. Der Vollständigkeit halber und der Klarheit halber werde ich hier die Fourier-Transformation definieren. Wenn ein kontinuierliches integrierbares Signal ist, dann ist seine Fouriertransformation gegeben durch $x(t)$ $X(f)$

X (f) = \int_{R} x (t) e^{- ȷ 2 π f t} d t, \forall f \in R

$X(f)=\int_{\mathbb{R}}x(t)e^{-\jmath 2\pi f t}\ dt,\quad \forall f\in\mathbb{R}$

und die inverse Transformation ist gegeben durch

x (t) = \int_{R} X (f) e^{ȷ 2 π f t} d f, \forall t \in R

$x(t)=\int_{\mathbb{R}}X(f)e^{\jmath 2\pi f t}\ df,\quad \forall t\in\mathbb{R}$

Bedeutung in der Signalverarbeitung:

In erster Linie zeigt eine Fourier-Transformation eines Signals an, welche Frequenzen in welchem Verhältnis in Ihrem Signal vorhanden sind .

Beispiel: Ist Ihnen jemals aufgefallen, dass die Nummerntasten Ihres Telefons beim Drücken während eines Anrufs unterschiedlich klingen und dass sie für jedes Telefonmodell gleich klingen? Das liegt daran, dass sie jeweils aus zwei verschiedenen Sinuskurven bestehen, mit denen die Taste eindeutig identifiziert werden kann. Wenn Sie mit Ihrem Telefon Kombinationen eingeben, um durch ein Menü zu navigieren, weiß der andere Teilnehmer, welche Tasten Sie gedrückt haben, indem Sie eine Fourier-Transformation der Eingabe durchführen und die vorhandenen Frequenzen anzeigen.

Abgesehen von einigen sehr nützlichen elementaren Eigenschaften , die die Mathematik vereinfachen, sind einige der anderen Gründe, warum sie in der Signalverarbeitung eine so weit verbreitete Bedeutung hat, folgende:

Das Betragsquadrat der Fourier-Transformation, , gibt uns sofort Auskunft darüber, wie viel Leistung das Signal bei einer bestimmten Frequenz . $\vert X(f)\vert^2$ $x(t)$ $f$
Aus dem Satz von Parseval (allgemeiner Plancherels Satz) ergibt sich was bedeutet, dass die Gesamtenergie in einem Signal über alle Frequenzen hinweg gleich der Gesamtenergie in der Transformation ist . Somit ist die Transformation energiesparend. $\int_{R} | x (t) |^{2} d t = \int_{R} | X (f) |^{2} d f$ $\int_\mathbb{R}\vert x(t)\vert^2\ dt = \int_\mathbb{R}\vert X(f)\vert^2\ df$
Faltungen im Zeitbereich sind gleichbedeutend mit Multiplikationen im Frequenzbereich, dh wenn zwei Signale und , dann wenn $x(t)$ $y(t)$

$z (t) = x (t) ⋆ y (t)$ $z(t)=x(t)\star y(t)$ wobei die Faltung bezeichnet, dann ist die Fouriertransformation von lediglich $\star$ $z(t)$
$Z (f) = X (f) \cdot Y (f)$ $Z(f)=X(f)\cdot Y(f)$
Bei diskreten Signalen ist es mit der Entwicklung effizienter FFT-Algorithmen fast immer schneller, eine Faltungsoperation im Frequenzbereich als im Zeitbereich zu implementieren.
Ähnlich wie bei der Faltungsoperation können Kreuzkorrelationen auch im Frequenzbereich leicht als implementiert werden , wobei komplexes Konjugat bezeichnet. $Z(f)=X(f)^*Y(f)$ $^*$
Indem man Signale in ihre Teilfrequenzen aufteilen kann, kann man leicht bestimmte Frequenzen selektiv blockieren, indem man ihre Beiträge aufhebt.

Beispiel: Wenn Sie ein Fußballfan sind, hat Sie vielleicht die ständige Drohne der Vuvuzelas geärgert, die alle Kommentare während der Weltmeisterschaft 2010 in Südafrika so ziemlich übertönt hat. Die Vuvuzela hat jedoch eine konstante Tonhöhe von ~ 235 Hz, was es den Rundfunkveranstaltern leicht machte, ein Sperrfilter zu implementieren, um das störende Rauschen zu unterdrücken. ^[1]
Ein verschobenes (verzögertes) Signal im Zeitbereich manifestiert sich als Phasenänderung im Frequenzbereich. Während dies unter die Kategorie der elementaren Eigenschaften fällt, ist dies in der Praxis eine weit verbreitete Eigenschaft, insbesondere bei Bildgebungs- und Tomographieanwendungen.

Beispiel: Wenn sich eine Welle durch ein heterogenes Medium bewegt, verlangsamt sie sich und beschleunigt sich entsprechend den Änderungen der Wellenausbreitungsgeschwindigkeit im Medium. Wenn Sie also eine Änderung der Phase beobachten, die von den erwarteten und gemessenen Werten abweicht, können Sie auf die übermäßige Zeitverzögerung schließen, die Ihnen anzeigt, um wie viel sich die Wellengeschwindigkeit im Medium geändert hat. Dies ist natürlich eine sehr vereinfachte Erklärung für Laien, bildet aber die Grundlage für die Tomographie.
Ableitungen von Signalen (auch n- ^te Ableitungen) können mit Fourier-Transformationen leicht berechnet werden (siehe 106).

Digitale Signalverarbeitung (DSP) vs. Analoge Signalverarbeitung (ASP)

Die Theorie der Fourier-Transformationen ist anwendbar, unabhängig davon, ob das Signal kontinuierlich oder diskret ist, solange es "nett" und absolut integrierbar ist. Also ja, ASP verwendet Fourier-Transformationen, solange die Signale dieses Kriterium erfüllen. Es ist jedoch vielleicht üblicher, in ASP über Laplace-Transformationen zu sprechen, bei denen es sich um eine verallgemeinerte Fourier-Transformation handelt. Die Laplace-Transformation ist definiert als

X (s) = \int_{0}^{\infty} x (t) e^{- s t} d t, \forall s \in C

$X(s)=\int_{0}^{\infty}x(t)e^{-st}\ dt,\quad \forall s\in\mathbb{C}$

Der Vorteil ist, dass man sich nicht notwendigerweise auf "nette Signale" wie bei der Fourier-Transformation beschränkt, sondern die Transformation nur innerhalb eines bestimmten Konvergenzbereichs gültig ist. Es ist weit verbreitet beim Studieren / Analysieren / Entwerfen von LC / RC / LCR-Schaltkreisen, die wiederum in Radios / E-Gitarren, Wah-Wah-Pedalen usw. verwendet werden.

Dies ist so ziemlich alles, woran ich im Moment denken könnte, aber beachten Sie, dass keine Menge an Schreiben / Erklären die wahre Bedeutung von Fourier-Transformationen in der Signalverarbeitung und in Wissenschaft / Technik vollständig erfassen kann

— Lorem Ipsum
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Eine gute Antwort, wenn Sie eine reale Anwendung mit FT und seinen Eigenschaften geben. +1.

— Goldenmean

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@endolith Ich habe nicht gesagt, dass die Fourier-Transformation die erste ist, nur dass sie mächtig ist . Beachten Sie, dass eine Taylor-Reihe keine Erweiterung der Teilfrequenzen darstellt. Für beispielsweise die Taylor - Reihe von etwa ist , während die Fourier - Transformation von ist (einige Normalisierungsfaktoren geben oder nehmen). Letzteres ist die korrekte Frequenzdarstellung, daher bin ich mir nicht sicher, ob Vergleiche mit Taylor-Reihen hier angebracht sind.

\sin (α x)

$\sin(\alpha x)$

0

$0$

α x - α^{3} x^{3} / 3! + α^{5} x^{5} / 5! \dots

$\alpha x-\alpha^3x^3/3!+\alpha^5x^5/5!\ldots$

\sin (α x)

$\sin(\alpha x)$

[δ (ω - α) - δ (ω + α)] / (2 ȷ)

$\left[\delta(\omega-\alpha)-\delta(\omega+\alpha)\right]/(2\jmath)$

— Lorem Ipsum

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Als ich anfing, diese Antwort zu lesen, wusste ich irgendwie, dass @yoda sie schrieb, bevor ich nach unten scrollte, um zu sehen, wer sie tatsächlich war =)

— Phonon

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Um auf # 3 näher einzugehen: Faltung ist das, was Sie tun, wenn Sie einen Filter auf ein Bild anwenden, z. B. einen Durchschnittsfilter oder einen Gaußschen Filter (obwohl Sie nichtlineare Filter nicht mit Fourier-Transformation transformieren können).

— Jonas

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Der Punkt von Peter K ist wirklich kritisch. Signale können in Bezug auf viele verschiedene Basen dargestellt werden. Sinus und Cosinus sind speziell, weil sie die Eigenfunktionen von LTI-Systemen sind.

— Nibot

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Die großartige Antwort von Lorem Ipsum lässt eines außer Acht : Die Fourier-Transformation zerlegt Signale in konstituierende komplexe Exponentiale:

e^{ȷ ω t}

$e^{\jmath \omega t}$

und komplexe Exponentiale sind die Eigenfunktionen für lineare, zeitinvariante Systeme .

Einfach ausgedrückt, wenn ein System linear und zeitinvariant ist, dann ist seine Antwort auf ein komplexes Exponential ein komplexes Exponential der gleichen Frequenz, aber (möglicherweise) unterschiedlicher Phase, und Amplitude, , --- und Die Amplitude kann Null sein: $H$ $\phi$ $A$

y = H [e^{ȷ ω t}] = A e^{ȷ ϕ} e^{ȷ ω t}

$y = H[e^{\jmath \omega t}] = A e^{\jmath \phi} e^{\jmath \omega t}$

Die Fourier-Transformation ist daher ein nützliches Werkzeug zur Analyse linearer, zeitinvarianter Systeme.

— Peter K.
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@Peter K. Ich denke, dass nach der Philosophie der Wahl über die (akademische) Korrektheit über die "Popularität" einer Antwort Ihre Antwort in die obige Antwort von Lorem Ipsum integriert werden sollte, obwohl sie als Antwort mit 96 ausgewählt wurde Punkte durch die Benutzer, fehlt dieser sehr wichtige Standpunkt.

— Fat32

@Peter Es tut uns leid, Sie mit dieser Anfrage zu stören, aber Sie sind 1) ein Moderator, 2) Ihr Name ist in der Liste der Benutzer "aktiv" mit Ihrem Beamforming-Tag aufgeführt. Können Sie kurz sagen, ob dieser Beitrag in Math.SE hier gut ankommt? Ich bin mir nicht sicher, ob DSP.SE, Math.SE oder EE.SE die besten Chancen haben, diesem Fragesteller zu helfen. Ich denke über Migration nach (was ich als Math.SE-Moderator tun kann).

— Jyrki Lahtonen

@ Peter K., Könnten Sie die Frage bitte erneut unter folgender Adresse öffnen: dsp.stackexchange.com/questions/37468 . Ich habe es repariert. Dankeschön.

— Royi

@ Royi ist es schon offen?

— Peter K.

Peter (Wie kommt es, dass manche Leute angesprochen werden können @und manche nicht? Wo ist die Option dafür?), Es scheint, dass jemand es geöffnet hat. Dankeschön.

— Royi

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Ein anderer Grund:

Aufgrund seiner linearithmischen Zeitkomplexität (insbesondere der der FFT ) ist es schnell (z. B. nützlich für die Faltung ). Ich würde argumentieren, dass wir wahrscheinlich viel mehr im Zeitbereich und viel weniger im Fourier-Bereich tun würden, wenn dies nicht der Fall wäre.

Edit: Da hat man mich gebeten zu schreiben, warum die FFT schnell ist ...

Es ist, weil es geschickt vermeidet, zusätzliche Arbeit zu erledigen.

$a_0 x^0 + a_1 x^1 + \ldots + a_nx^n$ $b_0 x^0 + b_1 x^1 + \ldots + b_nx^n$

$n^2$

Wir können jedoch eine scheinbar banale Beobachtung machen: Um zwei Polynome zu multiplizieren, müssen wir die Koeffizienten nicht FÜLLEN . Stattdessen können wir einfach bewerten die Polynome bei einer (ausreichend) Anzahl der Punkte, eine tun punktuellen Multiplikation der ermittelten Werte, und dann interpolieren das Ergebnis zurück.

$n$ $2n$ $\approx n^2$

Aber es tut es, wenn wir es richtig machen! Die Bewertung eines einzelnen Polynoms an mehreren Punkten auf einmal ist schneller als die individuelle Bewertung an diesen Punkten, wenn wir an den "richtigen" Punkten bewerten . Was sind die "richtigen" Punkte?

$z$ $z^n = 1$

Wir können einen sehr ähnlichen Prozess für die Interpolation durch die Punkte ausführen, um die Polynomkoeffizienten des Ergebnisses zurückzugewinnen, indem wir nur die inversen Wurzeln der Einheit verwenden.

$n \log n$ $n^2$

Die Fähigkeit, die FFT zu verwenden, um eine typische Operation (wie die Polynommultiplikation) viel schneller auszuführen, macht sie daher nützlich, und aus diesem Grund sind die Menschen jetzt von MITs neuer Entdeckung des Sparse-FFT- Algorithmus begeistert .

— Mehrdad
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Was ist linearithmische Zeitkomplexität? Ich werde diese Antwort nicht ablehnen, aber ich denke nicht, dass sie dieser Diskussion über Fourier- Transformationen etwas Wertvolles hinzufügt .

— Dilip Sarwate

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@ DilipSarwate Ich vermute, er verwendet es als Abkürzung für O (n * log (n)).

— Jim Clay

@ DilipSarwate: Jim ist richtig. Es hat alles mit (diskreten) Fourier-Transformationen zu tun. Ohne die FFT würden Ihre Fourier-Transformationen eine Zeit benötigen, die proportional zum Quadrat der Eingangsgröße ist, was sie viel weniger nützlich macht. Mit der FFT benötigen sie jedoch eine Zeit, die proportional zur Größe der Eingabe (multipliziert mit ihrem Logarithmus) ist, was sie viel nützlicher macht und viele Berechnungen beschleunigt. Auch dies könnte eine interessante Lektüre sein.

— Mehrdad

Sie sollten erwähnen, warum es schnell ist. Wo ist es schnell und warum ist es uns wichtig, dass es schnell ist?

— CyberMen

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Ich halte diese Antwort für legitim. Es sollte umschrieben werden: "Neben all den netten Eigenschaften, die in der Antwort anderer Leute erklärt wurden, ermöglicht FFT, dass dies in Echtzeitanwendungen ein praktikabler Ansatz wird."

— Andrey Rubshtein

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$e^{kx}$ $\frac{d^n}{dx^n}$ $k$ $k$

$e^{kx}$

EDIT: Tatsächlich sind differentielle (und integrale) Operatoren LSIV-Operatoren, siehe hier .

— Chaohuang
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Einige der anderen Antworten in diesem Thread haben ausgezeichnete mathematische Diskussionen über die Definition und Eigenschaften der Fourier-Transformation. Als Audioprogrammierer möchte ich nur meine persönliche Vorstellung vermitteln, warum es mir wichtig ist.

Die Fourier-Transformation ermöglicht es mir, Fragen zu einem Klang zu beantworten, die mit anderen Methoden nur schwer oder gar nicht zu beantworten sind. Es macht schwierige Probleme leicht.

Eine Aufnahme enthält drei Noten. Was sind die Notizen? Wenn Sie die Aufnahme mit der Zeit als eine Reihe von Amplituden belassen, ist dies kein einfaches Problem. Wenn Sie die Aufnahme im Laufe der Zeit in eine Reihe von Frequenzen umwandeln, ist das ganz einfach.

Ich möchte die Tonhöhe einer Aufnahme ändern, ohne deren Dauer zu ändern. Wie mache ich das? Es ist möglich, aber nicht einfach, nur die Amplitude eines Eingangssignals zu manipulieren. Aber es ist einfach, wenn Sie die Frequenzen kennen, aus denen das Signal besteht.

Enthält diese Aufnahme Sprache oder enthält sie Musik? Super schwer, wenn man nur amplitudenbasierte Methoden benutzt. Es gibt jedoch gute Lösungen, die auf der Grundlage der Fourier-Transformation und ihrer Familie fast immer die richtige Antwort finden.

Fast jede Frage, die Sie zu einer digitalen Audioaufnahme stellen möchten, wird durch die Transformation der Aufnahme mit einer diskreten Version der Fourier-Transformation erleichtert.

In der Praxis stützt sich jedes moderne digitale Audiogerät stark auf Funktionen, die der Fourier-Transformation sehr ähnlich sind.

Auch hier verzeihen Sie die sehr informelle Beschreibung; Dies ist nur meine persönliche Vorstellung, warum die Fourier-Transformation wichtig ist.

— Johnwbyrd
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Hey John, ich habe eine dumme Frage. Ich möchte die TWA ( osha.gov/pls/oshaweb/… ) aus dem an einem Arbeitsplatz aufgenommenen Ton berechnen. Ich frage mich, ob ich diesen Wert genauer messen kann, wenn ich bei der Analyse meiner Audiodatei die Fourier-Transformation verwende.

— Hossein Sarshar

Nur wenn das Mikrofon und die Aufnahmeumgebung kalibriert wurden. Nein.

— Johnwbyrd

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Die anderen Leute haben großartige, nützliche Antworten gegeben. Denken Sie nur an ein Signal: Es ist Ihnen nur wichtig, welche Frequenzen (und deren Phase) enthalten sind, nicht an den Zeitbereich. Ich weiß nicht, dass dies eine endgültige oder vollständige Antwort ist, aber nur ein weiterer Grund, warum die Fourier-Transformation nützlich ist.

Wenn Sie ein Signal haben, kann es abhängig von Ihrer Abtastrate aus einer unendlichen (oder nahezu) Anzahl von Frequenzen bestehen. Dies ist jedoch nicht der Fall: Wir wissen, dass die meisten Signale die geringstmögliche Anzahl von Frequenzen aufweisen oder dass wir mit einer ausreichend hohen Abtastrate arbeiten.

Wenn wir das wissen, warum können wir es nicht benutzen? Das ist es, was das Gebiet der komprimierten Abtastung tut. Sie wissen, dass das wahrscheinlichste Signal das Signal mit dem geringsten Fehler und den geringsten Frequenzen ist. Sie minimieren also den Gesamtfehler in Bezug auf unsere Messungen sowie die Größe der Fouriertransformation.

Ein Signal mit wenigen Frequenzen weist häufig eine minimale Fourier-Transformation oder meistens Nullen auf (auch bekannt als "spärlich", wie es bei der komprimierten Abtastung heißt). Ein Signal mit einer Frequenz hat zum Beispiel nur eine Delta-Funktion als Transformation.

Wir können auch die formale mathematische Definition verwenden.

$\bar{x} = \textrm{arg min } ||y-Ax|| + \lambda||F(x)||$

$||\cdot||$ $||\cdot||$

$\bar{x}$
$y$
$A$
$x$
$\lambda$
$F(x)$

Sie erinnern sich vielleicht, dass Nyquist gesagt hat, Sie müssten zweimal die höchste Frequenz messen, um eine gute Darstellung zu erhalten. Das hieß, Sie hätten unendlich viele Frequenzen in Ihrem Signal. Das können wir überwinden!

Das Feld der komprimierten Abtastung kann jedes Signal rekonstruieren, das in einem bestimmten Bereich zumeist Nullen (oder spärlich) aufweist. Nun, das ist der Fall für die Fourier-Transformation.

— Scott
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Die Hauptbedeutung der Fourier-Transformation liegt in der Systemanalyse. Der Hauptbestandteil unseres Universums ist Vakuum, und Vakuum ist ein grundlegend linearer und zeitinvarianter Feldträger: Verschiedene Felder überlagern sich durch Addition ihrer jeweiligen Vektoren. Unabhängig davon, wann Sie die Anwendung bestimmter Felder wiederholen, ist das Ergebnis dasselbe .

Infolgedessen verhalten sich viele Systeme, an denen auch physikalische Materie beteiligt ist, in guter Näherung wie lineare, zeitinvariante Systeme.

Solche LTI-Systeme können durch ihre "Impulsantwort" beschrieben werden, und die Antwort auf ein beliebiges zeitverteiltes Signal wird beschrieben, indem das Signal mit der Impulsantwort gefaltet wird.

Faltung ist eine kommutative und assoziative Operation, aber sie ist auch recht rechen- und konzeptionell aufwendig. Die Faltung von Funktionen wird jedoch durch Fourier-Transformation in stückweise Multiplikation abgebildet.

Dies bedeutet, dass die Eigenschaften linearer zeitinvarianter Systeme und deren Kombinationen nach der Fouriertransformation viel besser beschrieben und manipuliert werden können.

Infolgedessen sind Dinge wie "Frequenzgang" sehr charakteristisch für die Beschreibung des Verhaltens vieler Systeme und werden nützlich für deren Charakterisierung.

Schnelle Fouriertransformationen gehören zur Klasse der "fast, aber nicht ganz anders als Fouriertransformationen", da ihre Ergebnisse als Fouriertransformationen nicht wirklich sinnvoll interpretierbar sind, obwohl sie in ihrer Theorie fest verlegt sind. Sie entsprechen nur dann vollständig Fourier-Transformationen, wenn es sich um ein abgetastetes Signal mit der Periodizität des Transformationsintervalls handelt. Insbesondere das Kriterium "Periodizität" wird fast immer nicht erfüllt.

Es gibt verschiedene Techniken, um dies zu umgehen, beispielsweise die Verwendung überlappender Fensterfunktionen.

Die FFT kann jedoch zur zeitdiskreten Faltung verwendet werden, wenn die Dinge richtig gemacht werden, und ist ein effizienter Algorithmus, der sie für viele Dinge nützlich macht.

Der grundlegende FFT-Algorithmus kann auch für zahlentheoretische Transformationen verwendet werden (die in diskreten Zahlenfeldern und nicht in komplexen "Reals" arbeiten), um eine schnelle Faltung durchzuführen, wie beispielsweise beim Multiplizieren von riesigen Zahlen oder Polynomen. In diesem Fall ist der "Frequenzbereich" für praktisch alle Eingaben nicht von weißem Rauschen zu unterscheiden und kann vor der erneuten inversen Transformation nicht sinnvoll interpretiert werden.

— David
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Die physikalische Relevanz der Fourier-Transformation besteht darin, dass sie die relative Amplitude der im Signal vorhandenen Frequenzen angibt. Sie kann sowohl für diskrete als auch für kontinuierliche Zeitsignale definiert werden. Jedes Signal kann als Mischung vieler harmonischer Frequenzen dargestellt werden. Fourier-Transformationshilfe in Filteranwendungen, bei denen nur ein bestimmter Frequenzbereich benötigt wird, müssen zunächst die Amplituden der Frequenzen im Signal ermittelt werden.

— vatsyayan
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