Was ist die verständlichste und intuitivste Erklärung für die verschiedenen FTs - CFT, DFT, DTFT und die Fourier-Serie?

Selbst nachdem ich diese für einige Zeit studiert habe, neige ich dazu zu vergessen [wenn ich für eine Weile außer Kontakt bin], wie sie miteinander verwandt sind und wofür jede steht [da sie so ähnlich klingende Namen haben]. Ich hoffe, dass Sie eine Erklärung finden, die so intuitiv und mathematisch schön ist, dass sie für immer in mein Gedächtnis eingeht, und dieser Thread wird als superschnelle Auffrischung dienen, wann immer ich [oder jemand anderes] es brauche.

Ich habe diese Broschüre als Ergänzung zu Oppenheim und Willsky geschrieben . Bitte sehen Sie sich Tabelle 4.1 auf Seite 14 an, die unten wiedergegeben ist. (Klicken Sie hier, um ein größeres Bild zu erhalten.) Ich habe diese Tabelle speziell geschrieben, um Fragen wie Ihre zu beantworten.

Beachten Sie die Ähnlichkeiten und Unterschiede zwischen den vier Operationen:

1. "Serie": zeitlich periodisch, frequenzdiskret
2. "Transformieren": aperiodisch in der Zeit, kontinuierlich in der Frequenz
3. "Kontinuierliche Zeit": zeitlich kontinuierlich, aperiodisch in der Frequenz
4. "Diskrete Zeit": zeitdiskret, periodisch in der Frequenz

Ich hoffe, Sie finden diese Hinweise hilfreich! Bitte zögern Sie nicht zu verteilen, wie Sie möchten.

Für eine klare und korrekte Erklärung dieser Konzepte müssten Sie einige der Standardlehrbücher durchgehen (Oppenheim-Schafer, Proakis-Manolakis oder "Understanding Digital Signal Processing" von Richard Lyons, ein sehr gutes, aber relativ weniger populäres Buch). . Unter der Annahme einer Diskussion am Kaffeetisch werde ich im Folgenden einige äußerst lockere Aussagen treffen. :)

Für ein allgemeines kontinuierliches Zeitsignal würde man nicht erwarten, dass eine bestimmte Frequenz fehlt, daher wäre seine Fouriertransformation (oder die kontinuierliche Fouriertransformation) eine kontinuierliche Kurve mit Unterstützung von -inf bis + inf.

Für ein periodisches kontinuierliches Signal (Periode T) drückte Fourier das Signal als eine Kombination von Sinus und Cosinus mit derselben Periode (T, T / 2, T / 3, T / 4, ...) aus. Tatsächlich ist das Spektrum dieses Signals eine Reihe von Spitzen an den Stellen 1 / T, 2 / T, 3 / T, 4 / T, ... Dies wird als Fourier-Reihen-Darstellung bezeichnet. Es gibt einen Satz, der besagt, dass die Fourier-Reihen-Darstellung jedes periodischen kontinuierlichen Zeitsignals zum Signal konvergiert, wenn Sie immer mehr Sinus- und Cosinus-Werte (oder komplexe Exponentialwerte) im mittleren quadratischen Sinne einbeziehen.

Moral bisher: Periodizität in der Zeit => stacheliges Spektrum

Auf zu diskreter Zeit ... Was passiert, wenn Sie ein kontinuierliches Zeitsignal abtasten? Es sollte klar sein, dass Sie für ein ausreichend hohes Signal das Signal nicht rekonstruieren können. Wenn Sie keine Annahme über die Frequenzen im Signal machen, können Sie angesichts des abgetasteten Signals nicht sagen, was das wahre Signal ist. Mit anderen Worten werden unterschiedliche Frequenzen in dem zeitdiskreten Signal äquivalent dargestellt. Wenn Sie einige mathematische Berechnungen durchführen, können Sie das Spektrum des abgetasteten Signals aus dem ursprünglichen kontinuierlichen Signal ermitteln. Wie? Sie verschieben das Spektrum des kontinuierlichen Zeitsignals um die Beträge + -1 / T, + -2 / T, ... und addieren alle verschobenen Kopien (mit einer gewissen Skalierung). Dies gibt Ihnen ein kontinuierliches Spektrum, das mit Periode 1 / T periodisch ist. (Anmerkung: Das Spektrum ist periodisch, da die Zeit abgetastet wird. Das Zeitsignal t muss periodisch sein) Da das Spektrum stetig ist, können Sie es auch mit nur einer seiner Perioden darstellen. Dies ist die DTFT ("zeitdiskrete" Fouriertransformation). Wenn Ihr ursprüngliches kontinuierliches Zeitsignal Frequenzen von nicht mehr als + -1 / 2T aufweist, überlappen sich die verschobenen Kopien des Spektrums nicht und Sie können das ursprüngliche kontinuierliche Zeitsignal wiederherstellen, indem Sie eine Periode des Spektrums auswählen ( das Nyquist-Abtasttheorem).

Eine andere Art sich zu erinnern: stacheliges Zeitsignal => Periodizität im Spektrum

Was passiert, wenn Sie ein zeitkontinuierliches periodisches Signal mit einer Abtastperiode T / k für einige k abtasten? Nun, das Spektrum des zeitkontinuierlichen Signals war spitzenmäßig, und das Abtasten durch einen Teiler von T bedeutet, dass die Spitzen in den verschobenen Kopien genau auf ein Vielfaches von 1 / T fallen, so dass das resultierende Spektrum ein spitzenperiodisches Spektrum ist . spitzes periodisches Zeitsignal <=> spitzes periodisches Spektrum (unter der Annahme, dass die Periode und die Abtastfrequenz wie oben "gut aufeinander bezogen" sind.) Dies ist die sogenannte DFT (Diskrete Fouriertransformation). FFT (Fast Fourier Transform) ist eine Klasse von Algorithmen zur effizienten Berechnung der DFT.

Die Art und Weise, wie DFT aufgerufen wird, ist wie folgt: Angenommen, Sie möchten eine Folge von N Abtastwerten in der Zeit analysieren. Sie könnten DTFT nehmen und sich mit einer seiner Perioden befassen, aber wenn Sie annehmen, dass Ihr Signal periodisch mit Periode N ist, dann reduziert sich DTFT auf DFT und Sie haben nur N Abtastwerte einer Periode von DTFT, die das Signal vollständig charakterisieren. Sie können das Signal rechtzeitig auf null setzen, um eine feinere Abtastung des Spektrums und (viel mehr solcher Eigenschaften) zu erhalten.

Alles oben Genannte ist nur dann nützlich, wenn es von einer DSP-Studie begleitet wird. Dies sind nur einige sehr grobe Richtlinien.

Let eine beschränkte Funktion mit der Periode bezeichnen T , daß für alle reellen Zahlen ist , t , x ( t + T ) = x ( t ) . Als ein besonderes Beispiel, cos ( 2 π t / T ) ist eine solche Funktion. Wir wollen die "beste" Näherung a n cos ( 2 π n t / T ) für diese Funktion finden, wo wir den Koeffizienten a n wählen wollen$x(t)$$T$$t$$x(t+T) = x(t)$$\cos(2\pi t/T)$$a_n\cos(2\pi nt/T)$$a_n$so dass derFehlerquadratso klein wie möglich. Wenn wir den Integranden erweitern, haben wir einen quadratischen Fehler = ∫ T 0 x 2 ( t

$$\int_0^T (x(t) - a_n\cos(2\pi nt/T))^2\,\mathrm dt,$$ Das ganz linke Integral ist die Energie E, die durch eine Periode von x ( t ) geliefert wird,während das ganz rechte Integral den Wert T / 2 hat. Wir sehen also, dass der quadratische Fehler = E - 2 a n ≤ T 0 x ( t ) cos ( 2 π n t / T $$\text{squared error} = \int_0^T x^2(t)\,\mathrm dt - 2a_n \int_0^T x(t)\cos(2\pi nt/T)\,\mathrm dt +(a_n)^2\int_0^T \cos^2(2\pi nt/T)\,\mathrm dt.$$ $E$$x(t)$$T/2$ Jetzt. füra>0hat die quadratische Funktionaz2+bz+cein Minimum beiz=-b/2a (in der Mitte zwischen den Wurzeln(-b/2a)± $$\text{squared error} = E - 2a_n \int_0^T x(t)\cos(2\pi nt/T)\,\mathrm dt +(a_n)^2\frac{T}{2}.$$ $a > 0$$az^2 + bz + c$$z = -b/2a$!!) und da wir den quadratischen Fehler als quadratische Funktion vonanausgedrückt haben, ist die Wahl vonan, die den quadratischen Fehler minimiert, an=$(-b/2a) \pm \sqrt{b^2 - 4ac}/2a$$a_n$$a_n$ In ähnlicher Weise wird b n als b n = $$a_n = \frac{2}{T}\int_0^T x(t)\cos(2\pi nt/T)\,\mathrm dt.$$ $b_n$ minimiert den quadratischen Fehler zwischen x ( t ) und b n sin ( 2 π n t / T ) . Wir sehen also, dass die Fourier-Reihe nichts anderes als ein billiger Trick ist, um die Annäherung des quadratischen Mindestfehlers an eine periodische Funktion x ( t ) in Bezug auf die Sinus- und Cosinussignale derselben Periode und deren Harmonischen zu finden. $$b_n = \frac{2}{T}\int_0^T x(t)\sin(2\pi nt/T)\,\mathrm dt$$ $x(t)$$b_n\sin(2\pi nt/T)$$x(t)$

Endolith ist insofern richtig, als wenn Sie tatsächlich mit der Fourier-Reihe beginnen und sehen, wie sie auf die Fourier-Transformation ausgedehnt wird, die Dinge beginnen, sehr viel Sinn zu ergeben. Ich erkläre dies in der ersten Hälfte dieser Antwort kurz .

Eine gute (vielleicht nicht einfache) Möglichkeit, die Fourier-Transformationsfamilie (womit ich die 4 meine, die Sie oben aufgeführt haben) zu betrachten, ist die Pontryagin-Dualitätsbrille . Es gibt Ihnen eine gute Möglichkeit, sich an die verschiedenen Transformationen durch die ursprünglichen und transformierten Domänen zu erinnern.

$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$$\mathbb{R}$

$n$$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$$n$$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$

$\mathbb{T}$$\mathbb{Z}$$\mathbb{Z}$$\mathbb{T}$

Diese Antwort ist nicht vollständig und ich werde vielleicht auf dieser Antwort aufbauen, um ein paar Punkte zu verdeutlichen, wenn ich Zeit habe, aber bis dahin könnte es etwas sein, worauf man herumkauen kann, bis man eine intuitivere Erklärung von jemand anderem bekommt. Lesen Sie auch Varianten der Fourier-Analyse auf Wikipedia.

Ich denke, das Wichtigste ist, im Grunde zu verstehen, warum wir Fourier-Transformationen benötigen. Sie sind eine von vielen möglichen Signaltransformationen, aber auch eine der nützlichsten. Eine Transformation transformiert im Grunde genommen ein Signal in eine andere Domäne, die uns einen Einblick in das Signal in dieser Domäne geben kann, oder es kann sein, dass die Domäne mathematisch einfach zu bearbeiten ist. Sobald wir mit der Arbeit in dieser Domäne fertig sind, können wir eine inverse Transformation durchführen, um leichter zum gewünschten Ergebnis zu gelangen.

Der grundlegendste Baustein in der Fouriertheorie sind Monotone (Sinus und Cosinus). Wir können ein Signal mit der Fourier-Mathematik in seine Frequenzkomponenten (Monotone) zerlegen. Die Fourier-Transformation transformiert also grundsätzlich ein Signal vom Zeitbereich in den Frequenzbereich. Der Koeffizient jedes Monotons in der Fourier-Reihe gibt Auskunft über die Stärke dieser Frequenzkomponente im Signal. Fourier-Transformationen (CFT, DFT) geben uns explizit eine Frequenzbereichsansicht des Signals. In der Natur sind Sinus und Cosinus die wichtigsten Wellenformen. Synthetische Signale wie Rechtecksignale oder Signale mit starken Schwankungen treten seltener auf und setzen sich nicht überraschenderweise aus einem unendlichen Frequenzbereich zusammen, wie durch Fouriertransformationen sehr deutlich erklärt wird. Die Leute hatten Zweifel, ob ein Signal als Summe von Sinus / Cosinus geschrieben werden kann. Fourier-Rechteckwellenform (die weit entfernt von Sinus / Cosinus ist) kann in der Tat sein. Weißes Rauschen enthält alle Frequenzen mit gleicher Stärke.

Wenn Sie mit Fourier-Reihen arbeiten, können die Koeffizienten zusammen mit dem Phasenterm als die Koeffizienten angesehen werden, die erforderlich sind, um die konstituierenden sinosoidalen Wellenformen richtig zu überlagern, so dass die Überlagerung tatsächlich das erforderliche Signal ist, für das Sie die Transformation durchführen. Bei der Arbeit mit Fouriertransformationen haben die komplexen Zahlen implizit die Phasenterme und die erforderliche Größe der einzelnen Monotone. (Integration ist ungefähr wie Summation. stetig => Integration, diskret => Summation)

Ich denke, sobald Sie das Thema eines Konzepts verstanden haben, sind alle nur Details, die Sie beim Lesen von Büchern selbst verstehen müssen. Wenn Sie sich mit der Anwendung von Fouriertransformationen auf verschiedene Felder befassen, erhalten Sie eine bessere Wahrnehmung.

Eine DFT ist eine Transformation eines Vektors von Zahlenpaaren von einem orthogonalen Raum zu einem anderen. Sehr häufig als numerische Berechnung durchgeführt. Aus irgendeinem Grund stellt sich heraus, dass der zweite Zahlenblock, wenn ein Zahlenblock aus der realen Welt entnommen wird, häufig nahe genug an etwas liegt, das sehr nützlich ist.

Ich erinnere mich an die unvernünftige Wirksamkeit der Mathematik in den Naturwissenschaften , insbesondere in Bezug auf die Anwendung der DFT auf viele Systeme, die durch verschiedene Arten von Differentialgleichungen 2. Grades angenähert zu werden scheinen, sogar den Klang des Kaffeelöffels, den ich gerade fallen ließ.

Die anderen 3 XYZ-FTs nehmen Annahmen über die Existenz einiger mythischer unendlicher Einheiten an, damit symbolische Lösungen auf das Whiteboard passen, bevor der Kaffee zu kalt wird. Sie sind die "kugelförmigen Kühe" der Signalverarbeitung. Die DTFT- und Fourier-Reihen geben vor, dass ein Vektor auf Kosten der unendlichen Dichte der anderen Entität unendlich erweitert werden kann. Die Fourier-Reihe gibt vor, dass beide Entitäten unendliche stetige Funktionen sein können.

Nehmen Sie genug Mathematikkurse und man kann sogar alle Definitionen und Annahmen bestimmen, die erforderlich sind, um diese fiktiven Entitäten in gewissem Sinne zu exakten und vollständigen Dualen zu machen.