Was ist der Unterschied zwischen der Gabor-Morlet-Wavelet-Transformation und der Konstant-Q-Transformation?

Auf den ersten Blick scheinen die Konstant-Q-Fourier-Transformation und die komplexe Gabor-Morlet-Wavelet- Transformation gleich zu sein. Beides sind Zeit-Frequenz-Darstellungen, die auf Filtern mit konstantem Q, Sinuskurven mit Fenstern usw. basieren. Aber vielleicht fehlt mir ein Unterschied?

Die Constant-Q Transform Toolbox für die Musikverarbeitung lautet:

CQT bezieht sich auf eine Zeit-Frequenz-Darstellung, bei der die Frequenzbereiche geometrisch beabstandet sind und die Q-Faktoren (Verhältnisse der Mittenfrequenzen zu Bandbreiten) aller Bereiche gleich sind.

Die Zeitskalenanalyse sagt:

Das heißt, die Berechnung der CWT eines Signals , das unter Verwendung von Morlet Wavelet das gleiche wie Passieren des Signals durch eine Reihe von Bandpaßfiltern ist zentriert bei $f = \frac{5/2\pi}{a}$ mit konstantem Q von $5/2\pi$ .

— Endolith
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Antworten:

Einfach ausgedrückt sind sowohl die const-Q-Transformation als auch die Gabor-Morlet-Wavelet-Transformation nur kontinuierliche Wavelet-Transformationen. Oder genauer gesagt, Annäherungen davon, da es in realen Anwendungen immer Diskretisierungsprobleme geben wird.

Eine Eigenschaft von Wavelet-Transformationen besteht darin, dass sie die konstante Q-Faktor-Eigenschaft oder mit anderen Worten die logarithmische Skalierung eingebaut haben. Gabor und Morlet sind nur zwei Namen einer bestimmten Wavelet-Funktion (komplexe Exponentiale mit einem Gaußschen Fenster), die am häufigsten verwendet wird. Die CQ-Transformation verwendet nur eine andere Basisfunktion / ein anderes Wavelet und hat einen speziellen Namen, wahrscheinlich aus einem historischen Grund.

— André Bergner
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Es ist wichtig zu beachten, dass die verschiedenen entwickelten Wavelets unterschiedliche Zerlegungen der Signale bieten, mit denen sie untersucht werden. Bestimmte Wavelets werden ausgewählt, um bestimmte Signalmerkmale auf bestimmte Weise aufzudecken. Wenn Sie Wavelet-Koeffizienten berechnen, führen Sie eine Korrelation des ausgewählten Wavelets mit dem interessierenden Signal durch. Somit bestimmt die Form des Wavelets die Form der aufgedeckten Signalmerkmale.

Einige Wavelet-Funktionen wurden "entworfen", um Zerlegungen bereitzustellen, die sich auf Fourier-Zerlegungen beziehen können (tatsächlich eher im Einklang mit kurzfristigen Fourier-Zerlegungen, die zur Erzeugung von Spektrogrammen von Signalen verwendet werden). Das Morlet-Wavelet ist ein gutes Beispiel für eine solche Wavelet-Funktion. Andere Wavelets wurden "entworfen", um Diskontinuitäten oder Kanten von Signalen zu identifizieren. Ich habe Papiere gesehen, die Daubechies Wevelet-Funktionen dafür verwenden.

Es kann hilfreich sein, einige Nachforschungen anzustellen, um festzustellen, wie jede der von Ihnen erwähnten Wavelet-Funktionen in der Praxis verwendet wird. Ich denke, dies gibt Ihnen ein besseres Verständnis dafür, wie sich verschiedene Wavelets unterscheiden.

— user2718
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Die Frage bezieht sich jedoch speziell nur auf das Morlet-Wavelet und wie es sich auf die Konstant-Q-Transformation bezieht, die auch eine Art Fourier-Zerlegung ist. Gibt es einen Unterschied zwischen ihnen oder sind sie Neuerfindungen derselben Sache? Ich habe auch den "Festpunkt pro Oktave (FPPO) -Algorithmus" gefunden, der "ein Messzeitfenster verwendet, das in Abhängigkeit von der Frequenz variiert, ein langes Zeitfenster bei niedrigen Frequenzen (für eine enge Frequenzauflösung) und ein sukzessive kürzeres verwendet Zeitfenster bei hohen Frequenzen " rationalacoustics.com/files/FFT_Fundamentals.pdf

— Endolith

Ich habe einen speziellen Kommentar zu der Frage gepostet. Mein anderer Beitrag sollte das Poster ermutigen, zu verstehen, wie Wavelet-Transformationen einzigartig sind und warum es sinnvoll ist, Transformationen zu entwickeln, die auf verschiedenen Wavelet-Funktionen basieren.

— user2718

"Gibt es einen Unterschied zwischen ihnen oder sind sie Neuerfindungen derselben Sache?" Sie sind anders. Die Grundlage der Fourier-Methoden basiert auf Sinusfunktionen und hat keine zeitliche Auflösung. Fensterversionen der Fourier-Transformation nähern sich dem, was mit Wavelets gemacht wird. Wavelet-Transformationen basieren auf kompakt unterstützten Basisfunktionen, und die Transformation ist eher eine Zeit- / Skalendarstellung als eine Zeit- / Frequenzdarstellung. Einige Wavelet-Funktionen ahmen Fourier-Methoden nach, dies ist jedoch keine Voraussetzung.

— user2718

Die konstante Q-Transformation ist keine Wavelet-Transformation. Die konstante Q-Transformation ist eine besondere Variation der kurzfristigen Fourier-Transformation, bei der die Frequenzbereiche exponentiell statt linear beabstandet sind, wie dies bei der diskreten Fourier-Transformation der Fall ist.

Weitere Informationen finden Sie unter: http://en.wikipedia.org/wiki/Constant_Q_transform .

Einige Wavelet-Transformationen werden auch als konstante Q-Transformationen betrachtet, da in den diskreten Versionen der Transformationen die Skala des Wavelets exponentiell variiert wird (Basis ist in diesem Fall 2). Laut dem folgenden Artikel der Stanford University ( https://ccrma.stanford.edu/~jos/sasp/Continuous_Wavelet_Transform.html ):

Wenn das Mutter-Wavelet als Sinuskurve mit Fenster interpretiert werden kann (wie das Morlet-Wavelet), kann die Wavelet-Transformation als Konstant-Q-Fourier-Transformation interpretiert werden.12.5Vor der Theorie der Wavelets werden Konstant-Q-Fourier-Transformationen (wie z. B. erhalten von Eine klassische Filterbank mit dritter Oktave war nicht einfach zu invertieren, da die Basissignale nicht orthogonal waren. Siehe Anhang E für verwandte Diskussionen.

— user2718
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"Die konstante Q-Transformation ist keine Wavelet-Transformation." Wie?

— Endolith

Dies ist wahrscheinlich ein semantisches Problem, aber die "konstante Q-Transformation" hat sich aus der kurzfristigen Fourier-Transformation entwickelt, sodass in der Analyse keine Wavelet-Funktion verwendet wird. Es ist der Wavelet-Analyse insofern ähnlich, als die Frequenzbereiche exponentiell beabstandet sind. Wavelet-Transformationen befassen sich speziell nicht mit Frequenz. Wavelet-Transformationen befassen sich nur mit Skalierung. Die Kombination von Skalierung und Wavelet-Funktion kann auf die Frequenz zurückgeführt werden, aber die beiden Dinge sind nicht gleich.

— user2718

Nach dem, was ich gelesen habe, war das Gabor-Morlet-Wavelet die erste kontinuierliche Wavelet-Transformation und konzentrierte sich auf die Frequenz, nicht auf die Skalierung, da es von der Gabor-Transformation abgeleitet wurde, bei der es sich um eine Fourier-Transformation mit Fenster handelt. Gibt es einen Unterschied in der Art und Weise, wie CQT und Morlet WT berechnet werden, wenn man semantische Unterschiede ignoriert?

— Endolith

Sind diese nicht mathematisch äquivalent, vorausgesetzt, die Fensterfunktion ist dieselbe und das Wavelet besteht aus einem komplexen Exponential?

— Endolith

Ich denke, Sie können eine Fourier-Transformation mit Fenster arrangieren, die einer Wavelet-Transformation entspricht. Typischerweise wird bei der Anwendung der konstanten Q-Transformation die Fensterfunktion nicht ausgewählt, um die für Wavelets erforderlichen Zulässigkeitsbedingungen durchzusetzen, so dass die konstante Q-Transformation im Allgemeinen nicht mit einer Wavelet-Transformation identisch ist. Die Zulässigkeitsbedingungen für Wavelets stellen sicher, dass die Analyse reversibel ist (dh Sie können Ihr Zeitsignal aus den Transformationsergebnissen rekonstruieren), was im Allgemeinen für die konstante Q-Transformation nicht gilt.

— user2718