„Die Fourier-Transformation kann nicht zwei Phasen mit derselben Frequenz messen.“ Warum nicht?

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Ich habe gelesen, dass die Fourier-Transformation keine Komponenten mit derselben Frequenz, aber unterschiedlicher Phase unterscheiden kann. Zum Beispiel in Mathoverflow oder Xrayphysics , wo ich den Titel meiner Frage erhielt von: "Die Fourier-Transformation kann nicht zwei Phasen mit der gleichen Frequenz messen."

Warum ist das mathematisch wahr?

fourier-transform fourier

— Mathe war fassungslos
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Können Sie die Komponenten von ? Ich wette, du kannst nicht.

\sin (x) + \sin (x + c)

$\sin(x) + \sin(x+c)$

— Ilmari Karonen

Die FT findet Komponenten , die könnten zusammen addiert werden , um ein bestimmtes Signal zu rekonstruieren. Das heißt aber nicht, dass diese Komponenten tatsächlich im Original vorhanden waren. Es gibt unendlich viele verschiedene Möglichkeiten, wie ein bestimmtes Signal "konstruiert" werden könnte, aber das Signal wird nur eine einzige FT haben.

— Solomon Slow

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Dies liegt daran, dass das gleichzeitige Vorhandensein von zwei sinusförmigen Signalen mit derselben Frequenz und unterschiedlichen Phasen tatsächlich einem einzelnen sinusförmigen Signal mit derselben Frequenz entspricht , jedoch mit einer neuen Phase und Amplitude wie folgt:

Lassen Sie die beiden Sinuskomponenten wie folgt summieren:

x (t) = ein \cos (ω_{0} t + ϕ) + b \cos (ω_{0} t + θ)

$x(t) = a \cos(\omega_0 t + \phi) + b \cos(\omega_0 t + \theta)$

Dann kann durch trigionometrische Manipulationen gezeigt werden, dass:

x (t) = EIN \cos (ω_{0} t + Φ)

$x(t) = A \cos(\omega_0 t + \Phi)$

wobei und

EIN = \sqrt{{ein}^{2} + b^{2} + 2 ein b \cos (θ - ϕ)}

$A = \sqrt{ a^2 + b^2 + 2 a b \cos(\theta-\phi) }$

Φ = {bräunen}^{- 1} (\frac{ein Sünde (ϕ) + b Sünde (θ)}{ein \cos (ϕ) + b \cos (θ)})

$\Phi = \tan^{-1}(\frac{ a \sin(\phi) + b\sin(\theta) } { a \cos(\phi) + b\cos(\theta) } )$

Sie haben also tatsächlich eine einzige Sinuskurve (mit einer neuen Phase und Amplitude) und daher in der Tat nichts zu unterscheiden ...

— Fat32
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Mein Gehirn muss heruntergefahren sein, weil ich den Trigger-Dingen folge, aber es herrscht immer noch Verwirrung. Das OP hat nicht an dem Tag gearbeitet, an dem sie hinzugefügt wurden. Was rechtfertigt also den ersten Schritt, an dem Sie sie hinzufügen? Mit anderen Worten, wenn wir sie nur als zwei Signale betrachten, bei denen eines "später" beginnt als das andere, aber sie nicht hinzugefügt werden, können wir diese unterscheiden? Müssen Sie sie hinzufügen, weil Sie nicht zwei Datenpunkte auf einer Frequenz haben können? Vielen Dank.

— Markieren Sie Leeds

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@markleeds, The OP hat nicht gesagt, dass er sich auf die Fourier-Transformation mit Fenstern bezieht, und die angegebenen Links geben deutlich die reguläre Version ohne Fenster an. In der regulären Version der Fourier-Analyse werden Signale als gewichtete Summe von Sinuskurven mit unterschiedlicher Phase angenommen. Die Analyse besteht darin, diese Gewichte und Phasen zu ermitteln. Die Sammlung von ihnen ist das Spektrum. Wenn Sie 2 Sinuskurven verketten, kann diese globale Fourier-Analyse auch deren Phase nicht unterscheiden. Die mit Fenstern versehene Fourier-Transformation ist jedoch für eine solche Aufgabe ausgelegt ... nicht, dass sie bemerkenswert gut funktioniert.

— Stefan Karlsson

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Wie in meinem Kommentar angedeutet, könnte es informativ sein, die Fourier-Transformation mit Fenstern zu erwähnen. Wenn @ Fat32 die Zeit hat, könnte er die Diskontinuität erwähnen, die mit der Verkettung von 2 Sinuskurven unterschiedlicher Frequenz verbunden ist, und warum wir eine Reihe von scheinbar zufälligen Frequenzen zur globalen Fouriertransformation hinzufügen, wenn wir versuchen, diese zu analysieren.

— Stefan Karlsson

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Hallo @markleeds, wie Stefan Karlsson bereits angedeutet hat, ging es um die Überlagerung (gleichzeitige additive Präsenz) dieser beiden Sinuskurven gleicher Frequenz. Beachten Sie sehr sorgfältig, dass die Phase ein relativer Begriff und kein absoluter ist. Das heißt, es wird in Bezug auf einen gewählten gemeinsamen (zeitlichen) Ursprung gemessen, der über

. Die Verkettung (wie bei der Phasenumtastung) ermöglicht eine fenstergesteuerte Unterscheidung, Sie sollten sich jedoch trotzdem auf einen gemeinsamen Zeitursprung beziehen, um die Phasendifferenzen zu erkennen. Deshalb PSK - Empfänger benötigt strenge Pulszeit syncronisation ;-)

t = 0

$t=0$

— Fat32

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@smsc fühlt sich an, als würde ich mich wiederholen, aber wenn der Ausgang dieser beiden Kabel addiert und dann über FT analysiert wird, sehen Sie eine einzelne Sinuswelle mit einer zusammengesetzten Phase und einem Verstärker ... Wenn Sie sie jedoch nicht addieren und separat analysieren, dann werden Sie in der Lage sein, ihre relativen Phasen zu erzählen ... Und das hat nichts mit DFT zu tun.

— Fat32

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Lesen Sie weiter bis zu "Die oben diskutierte vereinfachte Version der Fouriertransformation kann keine Phasenverschiebungen berücksichtigen - wie funktioniert die Fouriertransformation tatsächlich?" Sie werden eine etwas bessere Erklärung bemerken, sie verwenden Sinus und Cosinus.

" Mathematik der Phasenverschiebung (fakultativ) .

Um zu sehen, wie eine Phasenverschiebung in unverschobene Sinus- und Cosinus-Werte zerlegt werden kann, benötigen wir eine trigonometrische Identität: sin (a + b) = sin (a) * cos (b) + cos (a) * sin ( b).

A · sin (2 · π · f · t + φ) = A · cos (φ) · sin (2 · π · f · t) + A · sin (φ) · cos (2 · π · f · t)

Wie Sie sehen können, verschiebt die Phasenverschiebung einen Teil der Amplitude (Energie) des Sinussignals in ein Cosinussignal, die Frequenz ändert sich jedoch nicht. Wenn Sie verwenden die komplexe Zahlendarstellung der Fourier - Transformation stellt die Phasenverschiebung einfach eine Drehung des Wertes in der komplexen Ebene, mit der Größe unverändert. Die Tatsache, dass Phasenverschiebungen nur die Amplitude von Sinus zu Cosinus verschieben, bedeutet, dass das Hinzufügen von zwei Signalen mit derselben Frequenz und unterschiedlicher Phase ein Signal mit einer gesamten (durchschnittlichen) Phasenverschiebung bei dieser Frequenz ergibt - und ohne Speicherung der Komponenten. "

In der Praxis ist es komplizierter, siehe " Partielle Fouriertechniken ", " Phasenkonjugierte Symmetrie " und " FOV und k-Raum ". Im " Intro to Phase-Encoding - I " erklären sie:

"... wenn zwei Sinuswellen (A und B) mit derselben Frequenz, aber unterschiedlichen Phasen zusammenaddiert werden, ist das Ergebnis eine weitere Sinuswelle mit derselben Frequenz, aber unterschiedlicher Phase. Wenn die Sinuswellen in der Phase nahe beieinander liegen, bilden sie eine konstruktive Einheit stören, und wenn sie außer Phase sind, stören sie destruktiv.

... Betrachtet man nur ihre Summe, so sieht man einfach eine Sinuswelle einer bestimmten Frequenz und Phase. Aus dieser einzigen Beobachtung ist es unmöglich , die einzelnen Beiträge der Wellen A und B zu sortieren.

Durch zwei Beobachtungen mit A und B, die um verschiedene Phasen verschoben sind, ist es jedoch möglich, ihre einzelnen Beiträge zu bestimmen, indem nur ihre Summen betrachtet werden. Dies ist unten in einem MR-Bild dargestellt, in dem A und B zwei Pixel in derselben vertikalen Spalte sind, die mit derselben codierten Frequenz (ω) resonieren. Insbesondere kann in Schritt 0 (Grundlinie, wenn kein Phasenkodierungsgradient angelegt wurde) das Gesamtsignal von A & B zusammen geschrieben werden: So ist (t) = A sin & ohgr; t + B sin & ohgr; t = (A + B) sin & ohgr; t.

...

Aus dieser Einzelmessung in Schritt 1 kennen wir noch nicht die einzelnen Amplituden A und B, sondern nur deren Differenz (A - B). Indem wir die Informationen aus Schritt 0 und Schritt 1 zusammen verwenden, können wir die eindeutigen Signalbeiträge durch einfache Algebra extrahieren:

½ [So + S1] = ½ [(A + B) + (A - B)] = A und ½ [So - S1] = ½ [(A + B) - (A - B)] = B

".

Ansonsten würde es so aussehen (Bild A):

PFI mit Artefakten aus verschiedenen Algorithmen: (A) Basisalgorithmus, (B) BAX-Algorithmus, (C) Null-Füll-Algorithmus, (D) Basisalgorithmus unter Verwendung von Daten mit vorheriger konstanter linearer SDPS-Korrektur, wobei Artefakte aus SDPS höherer Ordnung dargestellt werden.

— rauben
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$c\cos(\omega t+\phi)$ $Re(ce^{(\omega t+\phi)i})$ $Re$ $c_1\cos(\omega t+\phi_1)+c_2\cos(\omega t+\phi_2)=Re(c_1e^{(\omega t+\phi_1)i}+c_2e^{(\omega t+\phi_2)i})$ $ae^{\omega t i}$ $Re(e^{\omega t i}(c_1e^{\phi_1i}+c_2e^{\phi_2i}))$ $c e^{\phi i}$ $c$ $\phi$

Während beide Signale die Größe des Ausgangs beeinflussen, beeinflusst ein zusätzliches Signal nicht, wo sich der Ausgang im Phasenraum befindet.

— Akkumulation
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Ich möchte den Weg einer geometrischen Version der Frage unter Verwendung von Kreissummen einschlagen.

Sinus und Cosinus sind "nur" der Real- und Imaginärteil von Cisoiden oder komplexe Exponentiale (einige Referenzen finden Sie unter Wie erkläre ich ein komplexes Exponential intuitiv ? , 3D-Wackelplot für ein analytisches Signal: Heyser-Korkenzieher / Spirale , Fouriertransformation Identitäten ).

$s_{\omega,\phi}(t) = e^{2\pi i (\omega t+\phi)}$ $\mathrm{Re}(s_{\omega,0}(t))=\cos(2\pi \omega t)$ $\mathrm{Im}(s_{\omega,\pi/2}(t))=\cos(2\pi \omega t)$ $\omega$

{ein}_{1} s_{ω, ϕ_{1}} (t) + {ein}_{2} s_{ω, ϕ_{2}} (t) ?

$a_1 s_{\omega,\phi_1}(t) +a_2 s_{\omega,\phi_2}(t)\,?$

$a_1$ $a_2$ $e^{2 \pi i\phi_1}$ $e^{2 \pi i\phi_2}$

s_{ω, 0} (t) + ein s_{ω, ϕ} (t),

$s_{\omega,0}(t) +a s_{\omega,\phi}(t)\,,$

$|a|<1$

\begin{matrix} (1) & e^{2 π ich (ω t)} + ein e^{2 π ich (ω t + ϕ)} \end{matrix}

$e^{2\pi i (\omega t)}+ae^{2\pi i (\omega t+\phi)}\label{a}\tag{1}$

und damit als:

\begin{matrix} (2) & (1 + ein e^{2 π ich ϕ}) e^{2 π ich (ω t)}, \end{matrix}

$(1+ae^{2\pi i\phi})e^{2\pi i (\omega t)}\,,\label{b}\tag{2}$

$(1+ae^{2\pi i\phi})$ $\alpha e^{2\pi i\varphi}$ $a$ -radius circle ist wie ein kleines drehendes Rad, das am Ventil befestigt ist (wie die blauen und roten Kreise nur im obigen Bild). Und jetzt schauen wir uns die Bewegung eines Punktes auf dem Umfang des kleinen Rades an.

$1$ $a$ $\alpha$ $\ref{a}$ $\ref{b}$

Mit anderen Worten, weder eine Fourier-Transformation noch ein menschliches Auge können Komponenten mit derselben Frequenz, aber unterschiedlicher Phase unterscheiden .

[[Ich werde Animationen hinzufügen, wenn ich die Zeit finde]]

— Laurent Duval
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