Welche Approximationstechniken gibt es für die Quadrat-Superwurzelfunktion?

Ich muss eine Annäherung an die Inverse von implementieren , dh die Quadrat- Superwurzel-Funktion (ssrt). Zum Beispiel bedeutet , dass . Ich bin nicht so sehr an einer bestimmten Genauigkeit / Bittiefe interessiert wie am Verständnis meiner Optionen im Gegensatz zu einfacheren Ansätzen mit Potenzreihen. $x^x$ $\mathrm{ssrt}(2) \approx 1.56$ $1.56^{1.56} \approx 2$

Wolfram Alpha gibt eine schöne symbolische Lösung in Bezug auf die Lambert W - Funktion (dh ). Wikipedia gibt die gleiche Formel sowie das Äquivalent . Angesichts der Tatsache, dass es eine angemessene Menge an Informationen zur Berechnung von [1] [2] gibt, ist dies technisch alles, was zur Implementierung von etwas erforderlich ist $\ln(x)/W(\ln(x))$ $e^{W(\ln(x))}$ $W(x)$ für eine Vielzahl von Anforderungen. Ich kenne mindestens zwei Bücher, die sich eingehend mit der Annäherung von [3] [4] befassen. Daher gibt es auch genügend Raum, um diese Richtung zu optimieren. $\ln(x)$

Ich habe jedoch zwei Fragen:

Wurden für diese Funktion spezifische Approximationstechniken irgendwo veröffentlicht?
Gibt es einen anderen Namen als "Quadratische Superwurzel", der die Suche nach Referenzen etwas erleichtert?

Wikipedia / Google hat einige Verweise auf allgemeinere „tetration“ Funktionen gewidmet ist aufgedreht , die einschließen als Sonderfall, aber die meisten von ihnen scheinen mehr darauf ausgerichtet werden , um die Erkundung / Festlegung der allgemeinen Fälle. $\mathrm{ssrt}(x)$

Corless, R .; Gonnet, G .; Hare, D .; Jeffrey, D .; Knuth, Donald (1996), "Über die Lambert W-Funktion" http://www.apmaths.uwo.ca/~djeffrey/Offprints/W-adv-cm.pdf
Digitale Bibliothek mathematischer Funktionen . http://dlmf.nist.gov/4.13
Crenshaw, Jack W. (2000), Math Toolkit für Echtzeitprogrammierung.
Hart, John F. (1978), Computer Approximations.
Chapeau-Blondeau, F. und Monir, A. (2002). Numerische Auswertung der Lambert W-Funktion und Anwendung zur Erzeugung von verallgemeinertem Gaußschen Rauschen mit Exponent 1/2. IEEE-Transaktionen zur Signalverarbeitung 50, 2160-2165. http://www.istia.univ-angers.fr/~chapeau/papers/lambertw.pdf
Minero, Paul. Schnell Ungefähre Lambert W . http://www.machinedlearnings.com/2011/07/fast-approximate-lambert-w.html

Aktualisieren

Etwas mehr Forschung in den letzten paar Tage nachdem ich, ich habe die Art von Hands-on „Crenshaw Stil“ noch nicht gefunden Behandlung von ich gehofft hatte, aber ich habe einen neuen finden Referenz hier dokumentieren. Auf Seite drei in gibt es einen Abschnitt mit dem Titel "Fast Approximation", in dem die Approximation von im Kontext der Rauscherzeugung sehr detailliert beschrieben wird . Interessanterweise ähnelt die Wahrscheinlichkeitsdichte des "Gaußschen Rauschens mit Exponent 1/2" auffallend dem Histogramm in Kellenjbs Antwort auf $[3]$ $\mathrm{ssrt}(x)$ $[5]$ $W(x)$ Diese Frage zum Erkennen von Signalbeschneidungen .

Darüber hinaus ist der von rwong in den Kommentaren angegebene Link eine hervorragende Ressource für die tatsächliche Implementierung von , und er verweist sogar auf das BSD-lizenzierte Projekt des Autors namens fastapprox , das die beschriebene Implementierung enthält. $[6]$ $W(x)$

approximation

— Datageist
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machinedlearnings.com/2011/07/fast-approximate-lambert-w.html

— rwong

Ich habe bei Meta danach gefragt, da das Kommentarfeld nicht für längere Diskussionen gedacht ist. Bitte schlagen Sie hier vor, wie wir mit diesen Fragen umgehen sollen: Sind Fragen zur numerischen Analyse zum Thema?

@datageist - Die erste Schlussfolgerung aus der Meta-Frage lautete: Wenn Sie diese numerische Analyse zur Verarbeitung von DSP-Daten verwenden möchten, ist sie themenbezogen. Wenn nicht, dann nicht. Wie hängt das mit DSP zusammen?

— Kevin Vermeer

@ Kevin Es entstand im Rahmen der Entwicklung eines Audioeffekts.

— Datageist

x^{x}

$x^x$

Einige numerische Stiche im Dunkeln ergaben Folgendes für einen iterativen Ansatz:

Wir suchen nach der Lösung y = f (x) mit y ^ y = x.

y \ln y = \ln x

$y \ln y = \ln x$

y = g (x, y) = e^{\frac{\ln x}{y}}

$y = g(x,y) = e^{\frac{\ln x}{y}}$

$y$ $x$ $x$

Dann habe ich einen Ansatz ausprobiert, der Newtons iterativer Quadratwurzel ähnelt:

y = \frac{y_{p r e v i o u s} + y_{*}}{2} = \frac{y + e^{\frac{\ln x}{y}}}{2}

$y = \frac{y_{previous} + y_{*}}{2} = \frac{y + e^{\frac{\ln x}{y}}}{2}$

Dabei soll y * eine nicht konvergierende, aber optimistische Antwort darstellen, die die Genauigkeit beibehält, wenn Sie zufällig einen genauen Anfangswert erraten (in der Quadratwurzel y ² = x ist es y * = x / y).

$x$ $x_{min} = (\frac{1}{e})^{\frac{1}{e}}$

$y_0 = \ln(x)+1$

Also dachte ich mir, dass es vielleicht eine besser konvergierende Lösung gibt:

$y = (1-a) \times y + a \times g(x,y)$ $a$ $x$

Dann habe ich etwas Interessantes gefunden.

$y$ $y^y = x$ $y_2 = g(x,y+ \epsilon) = e^{\frac{\ln(x)}{y+\epsilon}}$ $y_2-y$ $\epsilon \times (-\ln(y))$ $y_1 = y + \epsilon$ $\epsilon$ $y_2 = g(x,y_1)$ $(y_2 - y) \approx \epsilon \times (-\ln(y)) = (y_1 - y) \times (-\ln(y))$

$y$ $y = \dfrac{y_2 + \ln(y) \times y_1}{1 + \ln(y)}$ $\ln(y_1)$ $\ln(y)$

\begin{aligned} y [n + 1] & = \frac{g (x, y [n]) + \ln (y [n]) \times y [n]}{1 + \ln (y [n])} \\ = \frac{e^{\frac{\ln (x)}{y [n]}} + \ln (y [n]) \times y [n]}{1 + \ln (y [n])} \end{aligned}

$\begin{align*} y[n+1] &= \frac{g(x,y[n]) + \ln(y[n])\times y[n]}{1+\ln(y[n])}\\ &= \frac{e^{\frac{\ln(x)}{y[n]}} + \ln(y[n])\times y[n]}{1+\ln(y[n])} \end{align*}$

$y = 1+\ln(x)$

(Jemand könnte wahrscheinlich zeigen, dass dies in irgendeiner Weise Newton-Raphson entspricht, aber ich denke, es übersteigt meine Möglichkeiten.)

— Jason S
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