Wahl der Konvention und Notation für die Fourier-Transformation?

Die Definitionen der Fourier-Transformation und der inversen Fourier-Transformation, die ich im College gelernt habe, waren

F (j ω) = \int_{- \infty}^{\infty} f (t) e^{- j ω t} d t

$F(j\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t}\ dt$

f (t) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} F (j ω) e^{j ω t} d ω

$f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(j\omega)e^{j\omega t} d\omega$

Die hervorstechenden Merkmale dieser Konvention sind

Nicht einheitliche Transformation; Frequenzbereichseinheiten sind Bogenmaß (Variable ist ) $\omega$
"Zeitbereich" -Einheiten sind zeitlich (Variable ist ) $t$
Funktionstransformationen werden durch Großbuchstaben ( vs. ) bezeichnet. $F$ $f$
Das in streng, dass die Funktion eine Fourier-Transformation ist $j$ $F(j\omega)$
Und natürlich die übliche EE-Konvention, dass . $j=\sqrt{-1}$

Heutzutage verwende ich eine ganz andere Konvention, die im Wesentlichen für die Wikipedias verwendet wird :

Die Eigenschaften dieser Konvention sind

\hat{f} (ξ) = \int_{- \infty}^{\infty} f (x) e^{- j 2 π ξ x} d x

$\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-j2\pi\xi x}dx$

f (x) = \int_{- \infty}^{\infty} \hat{f} (ξ) e^{j 2 π ξ x} d ξ

$f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\xi) e^{j2\pi\xi x} d\xi$

Einheitliche Transformation; Frequenzbereichseinheiten sind normalisierte Frequenzen (Variable ist ) $\xi$
"Zeitbereich" -Einheiten sind einheitlos (Variable ist ) $x$
Funktion Transformationen tragen Hüte ( gegen ) $\hat{f}$ $f$
Variablen im griechischen Alphabet bezeichnen transformierte Variablen im lateinischen Alphabet ( vs. ) $\xi$ $x$

Ich bevorzuge diese Konvention aus mehreren Gründen.

Die Verwendung einer einheitlichen Konvention erhöht die Symmetrie und Klarheit von Fourier-Dualen erheblich: Vergleiche
- , $\mathrm{rect}(x)\leftrightarrow\mathrm{sinc}(\xi)$
- bis $\mathrm{sinc}(x)\leftrightarrow\mathrm{rect}(\xi)$
- , $\mathrm{rect}(t)\leftrightarrow\mathrm{sinc}(\frac{\omega}{2\pi})$
- . $\mathrm{sinc}(t)\leftrightarrow\mathrm{rect}(\frac{\omega}{2\pi})$
$x$ $t$ $t$
Ich finde Großbuchstaben nützlicher für die Bezeichnung von Variablen / Funktionen mit diskreten Werten als für die Darstellung transformierter Funktionen.
$f$ $\xi$ $\mathcal{F}\{f\}$ $\mathcal{F}{f(t)}$ $\mathcal{F}\{f\}(t)$ $\mathcal{F}\{f\}(\omega)$
$\pi$

Natürlich wäre es ziemlich vergeblich von mir, meine Wahl der Konvention als überlegen zu betrachten, die von anderen verwendet wird. Aber es fällt mir schwer, gute Gründe zu finden, um die Konvention zu bevorzugen, die ich ursprünglich im College gelernt habe (dh Gründe, die keine Tradition beinhalten).

$F(j\omega)$

Kann sich jemand andere Gründe vorstellen, die "traditionelle" (nicht einheitliche) Konvention zu bevorzugen? Entspricht diese "traditionelle" Konvention dem, was Sie in einem Signalverarbeitungskurs gelernt haben (falls Sie einen belegt haben)? Welche Konvention bevorzugen Sie ?

fourier-transform frequency

— rtollert
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Fragen, die persönliche Meinungen einholen , sind für diese Site nicht wirklich konstruktiv. Die Antwort ist, dass es wirklich egal ist, was Ihre Konvention ist, solange Sie sie richtig definieren, sie konsequent verwenden und in vielen Fällen an der in Ihrem Bereich verwendeten allgemeinen Notation festhalten . Das Wichtigste ist, keine verrückten neuen Notationen zu erfinden, um absichtlich stumpf zu sein. Ich bin nicht sicher, wie persönliche Vorlieben und Meinungen in

— all dem

Ich kann den Wunsch verstehen, bloße Meinungen zu vermeiden, aber ich denke, es gibt eine berechtigte Frage, warum traditionelle Konventionen so sind, wie sie sind: Es ist unwahrscheinlich, dass sie nur als historische Unfälle definiert werden. Ich wäre bereit, diese Frage neu zu schreiben, um keine Meinungen einzuholen, und mich auf die Frage zu konzentrieren, wie diese Konventions- / Notationsentscheidungen in der Literatur zur Signalverarbeitung überhaupt zustande gekommen sind.

— rtollert

Sie haben vergessen, alle 2π durch τ zu ersetzen . : D

— Endolith

@endolith Du hast mich geschlagen :)

— Datageist

x (t)

$x(t)$

X (f)

$X(f)$

X (ω)

$X(\omega)$

Die Wahl der Konvention sollte für das Publikum, mit dem Sie kommunizieren möchten, am besten geeignet (oder vertraut) sein.

— hotpaw2
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Eine Sache bei der Verwendung von x (t) für ein Signal ist die Parallele zwischen

$y = x^2$

und

$y(t) = x(t)^2$

Dabei ist x immer noch ein Eingang und y immer noch ein Ausgang. In diesem Fall handelt es sich nur um Signale anstelle von Zahlen.

— Endolith
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