Hilbert-Transformation einer Sinusfunktion mit quadratischem Argument

Ich suche die Hilbert-Transformation der folgenden Funktion:

H. {Sünde (EIN t^{2} + B. t + \frac{π}{4})}}

$\begin{equation} \mathcal{H}\bigg\{ \sin\Big(At^2 + Bt + \frac{\pi}{4}\Big) \bigg\} \end{equation}$

wo $A$ und $B$ sind Konstanten mit $A<0$ und $B>0$ .

Es ist gut bekannt, dass $\mathcal{H}\{ \sin(Bt) \} = -\cos(Bt)$ , was leicht durch Umschreiben der Hilbert-Transformation als Faltung mit gezeigt werden kann $1/{\pi t}$ und Verwenden der Spektraldarstellung wie nachstehend gezeigt:

H. {Sünde (B. t)}} = Sünde (B. t) * \frac{1}{π t}

$\begin{equation} \mathcal{H}\{ \sin(Bt) \} = \sin(Bt) *\frac{1}{\pi t} \end{equation}$

wo $*$ bezeichnet den Faltungsoperator. Betrachten Sie das folgende Fourier-Paar:

F. {\frac{1}{π t}}} = - - j s G n (ω)

$\begin{equation} \mathcal{F}\left\{\frac{1}{\pi t}\right\} = -\mathrm{j}\,\mathrm{sgn}(\omega) \end{equation}$

Damit kann das Problem im Spektrum wie folgt gelöst werden:

F. {Sünde (B. t) * \frac{1}{π t}}} = \frac{π}{j} (δ (ω - - B.) - - δ (ω + B.)) (- - j s G n (ω)) = - - π (δ (ω - - B.) + δ (ω + B.))

$\begin{equation} \mathcal{F}\big\{\sin(Bt) *\frac{1}{\pi t}\big\} = \frac{\pi}{\mathrm{j}} \big(\delta(\omega-B) - \delta(\omega+B)\big) \; \big(-\mathrm{j}\,\mathrm{sgn}(\omega)\big)\\ % = -\pi\, \big(\delta(\omega-B) + \delta(\omega+B)\big) \end{equation}$

Hier befinden sich die beiden Dirac-Delta-Impulse bei $+B$ und $-B$ Winkelfrequenz und damit die Vorzeichenfunktion wird direkt angewendet. Deshalb bekommen wir

H {\sin (B t)} = F^{- 1} {- π (δ (ω - B) + δ (ω + B))} = - \cos (B t)

$\begin{equation} \mathcal{H}\{ \sin(Bt) \} = \mathcal{F}^{-1}\Big\{ -\pi\, \big(\delta(\omega-B) + \delta(\omega+B)\big) \Big\} = -\cos(Bt) \end{equation}$

Das gleiche Prinzip kann jedoch nicht angewendet werden $x(t) = \sin(At^2 + Bt + \pi/4)$ , da seine Spektralfunktion zwei überlagerte komplexe Gaußsche Funktionen sind, die ebenfalls verschoben sind $+B$ und $-B$ Winkelfrequenz:

F. {x (t)}} = \frac{\sqrt{- - \frac{π}{EIN}}}{2 j} (\exp (- - j \frac{1}{4 EIN} (ω - - B.)^{2}) - - \exp (+ j \frac{1}{4 EIN} (ω + B.)^{2})) wenn EIN < 0

$\begin{equation} \mathcal{F}\{x(t)\} = \frac{\sqrt{-\frac{\pi}{A}}}{2 \mathrm{j}} \bigg( \exp\Big(-\mathrm{j}\frac{1}{4A}(\omega-B)^2\Big) - \exp\Big(+\mathrm{j}\frac{1}{4A}(\omega+B)^2\Big) \bigg) \quad \text{if} \quad A<0 \end{equation}$

Jede komplexe Gaußsche Funktion ist für alle Frequenzen definiert, und daher vereinfacht oder löst die Anwendung der Vorzeichenfunktion das Problem nicht. Ich habe auch versucht, das Hilbert-Transformationsintegral ohne Erfolg direkt zu lösen. Ich freue mich über jede Hilfe.

hilbert-transform

— andresnm
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In diesem Fall ist w (t) = 2 * A * t + B. Könnten Sie diese Informationen verwenden, um Ihnen zu helfen?

— Ben

Dies direkt zu berechnen scheint schwierig.

Meine Argumentation ist die folgende. Für ein Signal $s(t)$ , das sogenannte analytische Signal $s_{\mathrm{an}}(t)$ kann erhalten werden durch

s_{ein n} (t) = s (t) + j H. {s (t)}}, wo {S.}_{ein n} (ω) = 0 \forall ω < 0

$\begin{equation} s_{\mathrm{an}}(t) = s(t)+\mathrm{j} \mathcal{H}\{s(t)\}\,\,, \text{where}\,S_{\mathrm{an}}(\omega) = 0\,\forall\, \omega < 0 \end{equation}$ Das analytische Signal entspricht im wesentlichen dem spektralen Gehalt von

s (t)

$s(t)$ nur in den positiven Frequenzen.

Für Ihr erstes Beispiel einer einfachen Sinuskurve können Sie auch zum Ergebnis der Hilbert-Transformation kommen, wenn Sie das analytische Signal berücksichtigen. Die reale Sinuskurve besteht aus den Frequenzkomponenten $\pm B$ . Das analytische Signal sollte dann die Komponente bei sein $B$ Dies ist dann offensichtlich ein komplexes Exponential, das das Ergebnis für die Hilbert-Transformation ergibt.

Nun zu Ihrem Zwitschersignal $x(t)$ ist die Situation etwas komplizierter. Wenn wir über einen virtuellen "Momentanfrequenzverlauf" des Signals nachdenken, ist dies der Fall

ω_{x} (t) = \pm (2 EIN t + B.) .

$\begin{equation} \omega_{x}(t) = \pm (2At+B)\,. \end{equation}$ Dies ist etwas seltsam und entspricht zwei sich linear ändernden Komponenten mit entgegengesetzter Steigung, die den Nullfrequenzpunkt bei kreuzen

ω_{x} (t = - \frac{B}{2 A}) = 0

$\omega_{x}(t=-\frac{B}{2A})=0$ .

Nun müsste das analytische Signal den Teil dieses Frequenzverlaufs oberhalb der Nulllinie des darstellen $\omega-t$ Flugzeug (ich könnte später einige Handlungen hinzufügen). Dies bedeutet, dass es zuerst eine negative Steigung haben muss, auf die Frequenz Null abfällt und dann abrupt zu einer positiven Steigung wechselt!

Dies bedeutet, dass das analytische Signal ungefähr so aussehen müsste

x_{ein n} (t) = c_{1} \exp (- - j (EIN t^{2} + B. t + \frac{π}{4})) \forall t < - - \frac{B.}{2 EIN}

$\begin{equation} x_{\mathrm{an}}(t) = c_1 \exp{(-\mathrm{j} (At^2 + Bt + \frac{\pi}{4}))}\,\forall\,t < -\frac{B}{2A} \end{equation}$ und

x_{ein n} (t) = c_{2} \exp (j (EIN t^{2} + B. t + \frac{π}{4})) \forall t \geq - - \frac{B.}{2 EIN},

$\begin{equation} x_{\mathrm{an}}(t) = c_2 \exp{(\mathrm{j} (At^2 + Bt + \frac{\pi}{4}))}\,\forall\,t \geq -\frac{B}{2A}\,\,, \end{equation}$ bei dem die

c

$c$ sind einige konstant mit

| c | = 1

$\vert c \vert = 1$ .

Jetzt können wir die Hilbert-Transformation von bestimmen $x(t)$ durch Beobachten und Überprüfen der Gleichung für das analytische Signal. Dies ergibt

H. {x (t)}} = \cos (EIN t^{2} + B. t + \frac{π}{4}) \forall t < - - \frac{B.}{2 EIN}, mit c_{1} = - - j,

$\begin{equation} \mathcal{H}\{x(t)\} = \cos{(At^2 + Bt + \frac{\pi}{4})}\,\forall\,t < -\frac{B}{2A}\,,\,\text{with}\,c_1 = -\mathrm{j}\,, \end{equation}$ und

H. {x (t)}} = - - \cos (EIN t^{2} + B. t + \frac{π}{4}) \forall t \geq - - \frac{B.}{2 EIN}, mit c_{2} = j .

$\begin{equation} \mathcal{H}\{x(t)\} = -\cos{(At^2 + Bt + \frac{\pi}{4})}\,\forall\,t \geq -\frac{B}{2A}\,,\,\text{with}\,c_2 = \mathrm{j}\,. \end{equation}$

Man kann diese wahrscheinlich auch als eine Gleichung mit der Absolutwertfunktion schreiben. In jedem Fall geht es darum, dass die Hilbert-Transformation eine Diskontinuität zu enthalten scheint, was die Berechnung meiner Meinung nach besonders verwirrend macht.

Ich weiß, dass es etwas "handwaivy" ist, aber ich denke, die allgemeine Idee / das Ergebnis ist korrekt, also hoffe, das hilft!

— mateC
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