Grenzen der Ableitung einer begrenzten bandbegrenzten Funktion

Sei eine Funktion mit Eigenschaften: $f(t)$

\begin{array}{ll} t \in R & t is in reals \\ f (t) \in R for all t & f (t) is in reals \\ | f (t) | < A for all t & absolute value of f (t) is bounded above by A \\ \int_{- \infty}^{\infty} f (t) e^{- i ω t} d t = 0 for all | ω | \geq B & f (t) is band-limited by frequency B in radians \end{array}

$\begin{array}{ll} t\in\mathbf{R}&t\text{ is in reals}\\ f(t)\in\mathbf{R}\text{ for all } t&f(t)\text{ is in reals}\\ |f(t)|<A\text{ for all }t&\text{absolute value of }f(t)\text{ is bounded above by }A\\ \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \ e^{- i \omega t} \ {\rm d}t = 0\text{ for all }|\omega|\ge B&f(t)\text{ is band-limited by frequency B in radians} \end{array}$

Gegeben und was ist die enge obere Schranke für der absolute Wert der Ableitung der Funktion? $A$ $B,$ $|f'(t)|,$

Über ist nichts anderes anzunehmen als das oben Gesagte. Die Grenze sollte diese Unsicherheit berücksichtigen. $f(t)$

Für eine Sinuskurve mit der Amplitude und der Frequenz ist der maximale Absolutwert der Ableitung Ich frage mich, ob dies eine Obergrenze ist und in diesem Fall auch die enge Obergrenze. Oder vielleicht hat eine nicht sinusförmige Funktion eine steilere Steigung. $A$ $B,$ $AB.$

bandwidth derivative

— Olli Niemitalo
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Haben Sie überprüft das ?

— Tendero

@ Teno danke. Dort ist eher die Signalenergie bekannt als der absolute Spitzenwert wie in meiner Frage.

— Olli Niemitalo

Siehe meine Antwort für die Grenze, die Sie suchen. Allgemeiner heißt es in einem Ergebnis von Bernstein, dass wenn die maximale Frequenz in einem generischen

das innerhalb von

ist,

für

, dann

x (t)

$x(t)$

[- 1, 1]

$[-1,1]$

f_{0}

$f_0$

X (f) = 0

$X(f) = 0$

| f | > f_{0}

$|f| > f_0$

max | \frac{d x}{d t} | \leq 2 π f_{0} .

$\max \left| \frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}\right| \leq 2\pi f_0.$

— Dilip Sarwate

Basierend auf der scharfen Version von Bernsteins Ungleichung, aus Dilips verknüpften Antworten, MBaz 'bearbeiteter Antwort und der zitierten Literatur, ist

in der Tat die scharfe (ich nannte es eng, was dasselbe bedeutet) Obergrenze für den maximalen absoluten Wert der Ableitung, eine vollständige -skalierte Sinuskurve genau an der Bandgrenze (nicht streng erlaubt durch die von mir angegebenen Einschränkungen), wodurch die Ungleichung zu einer Gleichheit wird.

A B

$AB$

— Olli Niemitalo

Antworten:

Sie werden an Bernsteins Ungleichheit interessiert sein, die ich zum ersten Mal in Lapidoth, einer Stiftung für digitale Kommunikation (Seite 92), kennengelernt habe .

Mit einem gut verhaltenen Signal $f(t)$ wie Sie es oben definiert haben (insbesondere ist $f(t)$ integrierbar und bandbegrenzt auf $B\,\text{Hz}$ und $\text{sup}\,|f(t)| = A$ ), dann

| \frac{d f (t)}{d t} | \leq 2 A B π .

$\left|\frac{\text{d}f(t)}{\text{d}t}\right| \leq 2AB\pi.$

Beachten Sie, dass das ursprüngliche Ergebnis von Bernstein eine Grenze von $4AB\pi$ festlegte ; später wurde diese Grenze auf $2AB\pi$ festgezogen .

Ich habe einige Zeit damit verbracht, Zygmunds "Trigonometric Series" zu lesen. Ich werde nur sagen, dass es das perfekte Mittel für diejenigen ist, die den Eindruck haben, Trigonometrie zu kennen. Ein vollständiges Verständnis des Beweises liegt außerhalb meiner mathematischen Fähigkeiten, aber ich denke, ich kann die Hauptpunkte hervorheben.

Erstens ist das, was Zygmund Bernsteins Ungleichung nennt, ein begrenzteres Ergebnis. In Anbetracht das trigonometrische Polynom

T (x) = \sum_{- \infty}^{\infty} c_{k} e^{j k x}

$T(x) = \sum_{-\infty}^\infty c_k e^{jkx}$ (mit echten

x

$x$ ), dann

max_{x} | T^{'} (x) | \leq n max_{x} | T (x) |

$\max_x |T'(x)| \leq n \max_x |T(x)|$ mit strikter Ungleichung, es sei denn,

T

$T$ ist ein Monom

A \cos (n x + α)

$A \cos(nx+\alpha)$ .

Um dies zu verallgemeinern, benötigen wir ein vorläufiges Ergebnis. Betrachten Sie eine Funktion $F$ in $\text{E}^\pi$ und in $\text{L}^2$ . ( $\text{E}^\sigma$ ist höchstens die Klasse der Integralfunktionen vom Typ $\sigma$ - dies ist einer der Orte, an denen meine Mathematik an den Rändern zu zerfransen beginnt. Mein Verständnis ist, dass dies eine mathematisch strenge Methode ist, um zu sagen, dass $f=\text{IFT}\lbrace F \rbrace$ hat Bandbreite $\sigma$ .)

Für jedes solche $F$ wir die Interpolationsformel

F (z) = \frac{\sin (π z)}{π} F_{1} (z),

$F(z) = \frac{\sin(\pi z)}{\pi}F_1(z),$ wobei

z

$z$ komplex ist und

F_{1} (z) = F^{'} (0) + \frac{F (0)}{π} + \sum_{n = - \infty}^{\infty}^{'} (- 1)^{n} F (n) (\frac{1}{z - n} + \frac{1}{n}) .

$F_1(z) = F'(0) + \frac{F(0)}{\pi} + \sum_{n=-\infty}^\infty {^\prime} (-1)^nF(n) \left( \frac{1}{z-n}+\frac{1}{n} \right).$ (Dies ist Satz 7.19.)

Nun können wir den Hauptsatz aufstellen. Wenn:

$F$ ist in $\text{E}^\sigma$ mit $\sigma>0$
$F$
$M=\sup |F(x)|$ $x$

| F^{'} (x) | \leq σ M

$|F'(x)| \leq \sigma M$

F (z) = a e^{j σ z} + b e - j σ x

$F(z) = a e^{j\sigma z} + b e{-j\sigma x}$

a, b

$a,b$

σ = π

$\sigma=\pi$

F (z π / σ)

$F(z\pi/\sigma)$

F (z)

$F(z)$

$F$

F^{'} (x) = F_{1} (x) \cos (π x) + \frac{\sin (π x)}{π} \sum_{n = - \infty}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} F (n)}{(x - n)^{2}} .

$F'(x) = F_1(x)\cos(\pi x)+\frac{\sin(\pi x)}{\pi} \sum_{n=-\infty}^\infty \frac{(-1)^nF(n)}{(x-n)^2}.$

x = 1 / 2

$x=1/2$

F^{'} (1 / 2) = \frac{4}{π} \sum_{n = - \infty}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} F (n)}{(2 n - 1)^{2}}

$F'(1/2) = \frac{4}{\pi} \sum_{n=-\infty}^\infty \frac{(-1)^nF(n)}{(2n-1)^2}$

| F^{'} (1 / 2) | \leq \frac{4}{π} \sum_{n = - \infty}^{\infty} \frac{1}{(2 n - 1)^{2}} = \frac{4 M π^{2}}{4 π} = M π .

$|F'(1/2)| \leq \frac{4}{\pi} \sum_{n=-\infty}^\infty \frac{1}{(2n-1)^2} = \frac{4M\pi^2}{4\pi} = M\pi.$

$x_0$ $G(z) = F(x_0+z-1/2)$

| F^{'} (x_{0}) | = | G^{'} (1 / 2) | \leq M π .

$|F'(x_0)| = |G'(1/2)| \leq M\pi.$

$\sum \prime$

— MBaz
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\sin (2 π B t)

$\sin(2\pi Bt)$

2 π B

$2\pi B$

4 A B π

$4AB\pi$

2 A B π

$2AB\pi$

@ MBaz Dein Link funktioniert in der Tat! Am Ende des Abschnitts 2.3.8 heißt es, dass die bekannteste Version von Bernsteins Ungleichung den Faktor 2 anstelle von 4 hat, was scharf ist, und dass für Einzelheiten Zygmund (1959) Vol. 2, p. 276. Ich denke, das ist Zygmund, A. Trigonometrische Reihe. 2nd ed. Vol. II. Cambridge University Press, New York 1959.

— Olli Niemitalo

RP Boas, Einige Sätze über Fourier-Transformationen und konjugierte trigonometrische Integrale , Transactions of the American Mathematical Society 40 (2), 287-308, 1936, zitiert die relevanten Artikel von Bernstein, Szegö und Zygmund, bereits mit der scharfen Grenze, soweit Ich kann sagen.

— Olli Niemitalo

@OlliNiemitalo Ausgezeichnet! Ich hatte diese Notiz am Ende von Abschnitt 2.3.8 verpasst. Ich werde meine Antwort aktualisieren. Außerdem: Das Buch von Zygmund befindet sich in der Bibliothek meiner Universität, ist aber nicht online. Ich werde es morgen herausnehmen und sehen, was es sagt.

— MBaz

Im Allgemeinen würden Sie so etwas bekommen, aber es könnte nicht eng sein:

\begin{aligned} | f^{'} (t) | & = | \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} j ω F (j ω) e^{- j ω t} d ω | \\ \leq \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} | ω | | F (j ω) | d ω \\ = \frac{1}{2 π} \int_{- ω_{c}}^{ω_{c}} | ω | | F (j ω) | d ω \\ \leq \frac{| ω_{c} |}{2 π} \int_{- ω_{c}}^{ω_{c}} | F (j ω) | d ω \\ (1) & = \frac{ω_{c}}{π} \int_{0}^{ω_{c}} | F (j ω) | d ω \end{aligned}

$\begin{align}|f'(t)|&=\left|\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}j\omega F(j\omega)e^{-j\omega t}d\omega\right|\\&\le \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|\omega||F(j\omega)|d\omega\\&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\omega_c}^{\omega_c}|\omega||F(j\omega)|d\omega\\&\le \frac{|\omega_c|}{2\pi}\int_{-\omega_c}^{\omega_c}|F(j\omega)|d\omega\\&=\frac{\omega_c}{\pi}\int_{0}^{\omega_c}|F(j\omega)|d\omega\tag{1}\end{align}$

$|f(t)|$ $|F(j\omega)|$ .

$A\sin(\omega_ct)$ $(1)$ $A\omega_c$

— Matt L.
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@Olli Niemitalo, ich hatte den Sinusfall abgeleitet. Ich denke, dies ist der allgemeine Fall, den wir uns angesehen haben. Vielen Dank Matt L.

— MimSaad