Gradient der Gesamtvariation der Größe der komplexen Funktion zum Entrauschen

Angenommen, ich habe eine komplexe Funktion $f^*$ (z. B. ein MRT-Bild), das eine nahezu stückweise konstante Größe, aber eine nicht konstante Phase aufweist.

Wenn ich ein Optimierungsproblem zu finden habe $f^*$ und eine objektive Funktion mit einem Gesamtvariationsterm (z. B. zum Entrauschen oder komprimierten Erfassen) einrichten, die normalerweise die folgende Form hat:

o b j_{1} (f) = \dots + TV (f)

$obj_1(f) = \ldots + \text{TV}(f)$

Da nehme ich das aber an $f$ hat eine stückweise konstante Größe, ich denke, es könnte besser sein, zu verwenden:

o b j_{2} (f) = \dots + TV (| f |)

$obj_2(f) = \ldots + \text{TV}(|f|)$

Für einen gradientenbasierten Löser müsste man jedoch den Gradienten von obj2 kennen. Der Gradient für $obj_1(f)$ ist: $\text{TV}'\left(TV(f)\right)$ . Was ist der Gradient von $obj_2(f)$ ?

Aktualisieren:

Intuitiv würde ich so etwas wie das Folgende annehmen (da die Phase keinen Einfluss darauf hat $obj_2$ , lass die Phase "unberührt"):

{TV}^{'} (T V (| f |)) * e^{i \arg (f)}

$\text{TV}'\left(TV(|f|)\right)* e^{i \arg(f)}$

Meine Kenntnisse in der komplexen Analyse sind jedoch sehr begrenzt und ich bin mir nicht sicher, ob dies sinnvoll ist.

— Stiefel
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Ich denke, das alles hängt von der komplexen Ableitung der Größenfunktion ab, die nicht definiert ist. Gibt es eine Problemumgehung?

— Stiefel

Dies liegt weit außerhalb meiner Komfortzone, aber wenn

f

$f$ hat konstante Größe, würde nicht

| f |

$|f|$ konstant sein und daher seine Gesamtvariation Null sein?

— Jason R

Entschuldigung, ich habe die Frage behoben. Das Optimum f * soll eine "stückweise konstante" Größe haben. Die Entrauschungsalgorithmen sind normalerweise iterativ, und das Zwischenprodukt f ist noch nicht stückweise konstant - wir benötigen den Gradienten, um f iterativ stückweise konstant zu machen.

— Stiefel

Für eine solche komplexe Analyse Frage spezialisiert ist , könnten Sie besser Erfolg bei Buchung über haben math.SE .

— Jason R

@Stiefel Dies trifft möglicherweise überhaupt nicht auf Ihre Situation zu, aber haben Sie darüber nachgedacht, die MRT möglicherweise in den räumlichen Bereich zu verschieben und dort die Minimierung der Gesamtvariation anzuwenden? Können Sie etwas mehr über den Kontext sagen, in dem Sie die TV-Minimierung für die MRT verwenden?

— Eric

Das Problem mit $\left|f\right|$ ist, dass, da es nicht analytisch ist, die Standarddefinition des komplexen Derivats nicht gilt. Eine Lösung besteht darin, Wirtinger-Derivate zu verwenden:

http://en.wikipedia.org/wiki/Wirtinger_derivatives

Eine detaillierte Darstellung der Wirtinger-Berechnung für Signalverarbeitungsprobleme ist

http://arxiv.org/abs/0906.4835

Eine andere (wahrscheinlich einfachere) Option besteht darin, das komplexe Bild als Zweikanalbild (Real, Imag) zu behandeln und die Definition der Ableitung für Vektorfelder zu verwenden. Dieses Papier enthält eine sehr klare Erklärung dazu:

Lee, H.-C.; Cok, DR; "Erkennen von Grenzen in einem Vektorfeld" (IEEE Transactions on Signal Processing, Band 39, Nr. 5, S. 1181–1194, Mai 1991)

— Arrigo
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