Polynomapproximationen einer Sinuswelle finden

Ich möchte die durch gegebene Sinuswelle approximieren, indem ich einen polynomialen Wellenformer auf eine einfache Dreieckswelle anwende , die von der Funktion erzeugt wird$\sin\left(\pi x\right)$

$$T\left(x\right)=1-4\left|\tfrac{1}{2}-\operatorname{mod}(\tfrac{1}{2}x+\tfrac{1}{4},\ 1)\right|$$

Dabei ist der Bruchteil von :$\operatorname{mod}(x, 1)$$x$

$$\operatorname{mod}(x, y) \triangleq y \cdot \left( \left\lfloor \frac{x}{y}\right\rfloor - \frac{x}{y} \right)$$

Eine Taylor-Serie könnte als Waveshaper verwendet werden.

$$S_1\left(x\right)=\frac{\pi x}{2}-\frac{\frac{\pi x}{2}^3}{3!}+\frac{\frac{\pi x}{2}^5}{5!}-\frac{\frac{\pi x}{2}^7}{7!}$$

Angesichts der obigen Funktionen eine annehmbare Approximation einer Sinuswelle. Aber wir müssen auf die 7. Potenz der Reihe aufsteigen, um ein vernünftiges Ergebnis zu erzielen, und die Peaks sind ein wenig niedrig und haben keine Steigung von genau Null.$S_1(T(x))$

Anstelle der Taylor-Reihe könnten wir einen Polynom-Wellenformer verwenden, der einige Regeln befolgt.

• Muss -1, -1 und + 1, + 1 durchlaufen.
• Die Steigung bei -1, -1 und +1, +1 muss Null sein.
• Muss symmetrisch sein.

Eine einfache Funktion, die unseren Anforderungen entspricht:

$$S_2\left(x\right)=\frac{3x}{2}-\frac{x^3}{2}$$

Die Graphen von $S_2(T(x))$ und $\sin\left(\pi x\right)$ sind ziemlich ähnlich, aber nicht so ähnlich wie die Taylor-Reihe. Zwischen den Peaks und Nulldurchgängen weichen sie sichtbar etwas ab. Eine schwerere und genauere Funktion, die unseren Anforderungen entspricht:

$$S_3\left(x\right)=\frac{x(x^2-5)^2}{16}$$

Dies ist wahrscheinlich nah genug für meine Zwecke, aber ich frage mich, ob es eine andere Funktion gibt, die der Sinuswelle näher kommt und die rechnerisch billiger ist. Ich habe ziemlich gute Kenntnisse darüber, wie man Funktionen findet, die die drei oben genannten Anforderungen erfüllen, aber ich bin mir nicht sicher, wie man Funktionen findet, die diese Anforderungen erfüllen und auch einer Sinuswelle am ehesten entsprechen.

Welche Methoden gibt es, um Polynome zu finden, die eine Sinuswelle imitieren (wenn sie auf eine Dreieckwelle angewendet werden)?

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Zur Verdeutlichung suche ich nicht unbedingt nur nach ungeraden symmetrischen Polynomen, obwohl dies die einfachste Wahl ist.

Etwas wie die folgende Funktion könnte auch meine Bedürfnisse erfüllen:

$$S_4\left(x\right)=\frac{3x}{2}+\frac{x^2}{4}+\frac{x^4}{4}$$

Dies erfüllt die Anforderungen im negativen Bereich, und eine stückweise Lösung könnte verwendet werden, um es auch auf den positiven Bereich anzuwenden; beispielsweise

$$\frac{3x}{2}-\frac{P\left(x,2\right)}{4}-\frac{P\left(x,4\right)}{4}$$

wobei die vorzeichenbehaftete Potenzfunktion ist .$P$

Ich würde mich auch für Lösungen interessieren, die die vorzeichenbehaftete Potenzfunktion verwenden, um gebrochene Exponenten zu unterstützen, da dies uns einen weiteren "Drehknopf" gibt, ohne einen weiteren Koeffizienten hinzuzufügen.

$$a_0x\ +a_1P\left(x,\ p_1\right)$$

Mit den richtigen Konstanten könnte dies möglicherweise eine sehr gute Genauigkeit ohne die Schwere von Polynomen fünfter oder siebter Ordnung erzielen. Hier ist ein Beispiel, das die hier beschriebenen Anforderungen mit einigen handverlesenen Konstanten erfüllt: .$a_0=1.\overline{666}, a_1=-0.\overline{666}, p_1=2.5$

$$\frac{5x-2P\left(x,\ \frac{5}{2}\right)}{3}$$

Tatsächlich sind diese Konstanten sehr nahe an und und . Wenn Sie diese einstecken, entsteht etwas, das einer Sinuswelle sehr nahe kommt.$\frac \pi 2$$1 - \frac \pi 2$$e$

$$\frac{\pi}{2}x\ +\left(1-\frac{\pi}{2}\right)P\left(x,e\right)$$

Anders ausgedrückt sieht sehr nahe an zwischen 0,0 und π / 2,1 aus. Irgendwelche Gedanken zur Bedeutung davon? Vielleicht kann ein Tool wie Octave dabei helfen, die "besten" Konstanten für diesen Ansatz zu finden. sin(x$x-\frac{x^e}{6}$$\sin(x)$

Vor ungefähr einem Jahrzehnt habe ich dies für eine ungenannte Musiksynthesizer-Firma gemacht, die F & E nicht weit von meiner Wohnung in Waltham, MA, entfernt hatte. (Ich kann mir nicht vorstellen, wer sie sind.) Ich habe die Koeffizienten nicht.

aber versuch das:

$$\begin{align} f(x) &\approx \sin\left(\tfrac{\pi}{2} x \right) \qquad \qquad \text{for }-1 \le x \le +1 \\ \\ &= \tfrac{\pi}{2} x (a_0 + a_1 x^2 + a_2 x^4) \\ \end{align}$$

Dies garantiert, dass .$f(-x) = -f(x)$

Um zu gewährleisten, dass dann ist$f'(x) \Big|_{x=\pm1} =0$

$$f'(x) = \tfrac{\pi}{2}( a_0 + 3 a_1 x^2 + 5 a_2 x^4)$$

$$a_0 + 3 a_1 + 5 a_2 = 0 \tag{1}$$

Das ist die erste Einschränkung. Um sicherzustellen, dass dann$|f(\pm 1)| = 1$

$$a_0 + a_1 + a_2 = \tfrac{2}{\pi} \tag{2}$$

Das ist die zweite Einschränkung. Die Beseitigung und die Lösung von Gleichungen. (1) und (2) für in Bezug auf (was angepasst werden muss):a 2 a $a_0$$a_2$$a_1$

$$a_0 = \tfrac{5}{2 \pi} - \tfrac{1}{2} a_1$$

$$a_2 = -\tfrac{1}{2 \pi} - \tfrac{1}{2} a_1$$

Jetzt haben Sie nur noch einen Koeffizienten, , um die beste Leistung zu erzielen:$a_1$

$$f(x) = \tfrac{\pi}{2} x \left((\tfrac{5}{2 \pi} - \tfrac{1}{2} a_1) + a_1 x^2 - (\tfrac{1}{2 \pi} + \tfrac{1}{2} a_1)x^4 \right)$$

Auf diese Weise würde ich drehen, um die beste Leistung für einen Sinusoszillator zu erzielen. Ich würde die obige und die Symmetrie der Sinuswelle auf einstellen und genau einen ganzen Zyklus in einen Puffer mit einer Potenz von zwei Punkten (z. B. 128, ist mir egal) legen und die FFT darauf ausführen perfekter Zyklus. x = $a_1$$x=1$

Das FFT-Ergebnis Bin 1 ist die Stärke des Sinus und sollte etwa . Jetzt können Sie einstellen , um die Verzerrung der 3. Harmonischen zu erhöhen und zu verringern. Ich würde mit damit . Das ist in Bin 3 der FFT-Ergebnisse. Die Verzerrung der 5. Harmonischen (Wert in Bin 5) ist jedoch von Bedeutung (sie steigt, wenn die 3. Harmonische sinkt). Ich würde so einstellen , dass die Stärke der 5. Harmonischen gleich der 3. Harmonischen ist. Es wird ungefähr -70 dB von der 1. Harmonischen sein (wie ich mich erinnere). Dies ist die am besten klingende Sinuswelle aus einem billigen, ungeradzahligen Polynom mit 3 Koeffizienten 5. Ordnung.$N/2$a 1 ≈ $a_1$a0≈1a$a_1 \approx \tfrac{5}{\pi} - 2$$a_0 \approx 1$$a_1$

Jemand anderes kann den MATLAB-Code schreiben. Wie klingt das für dich?

Was normalerweise gemacht wird, ist eine Annäherung, die eine Norm des Fehlers minimiert, oft die -Norm (wo der maximale Fehler minimiert ist) oder die -Norm (wo der mittlere quadratische Fehler minimiert ist). -Näherung erfolgt mit dem Remez-Austauschalgorithmus . Ich bin mir sicher, dass Sie Open Source Code finden können, der diesen Algorithmus implementiert. In diesem Fall halte ich jedoch eine sehr einfache (diskrete) -Optimierung für ausreichend. Lassen Sie uns einen Blick auf Matlab / Octave-Code und die Ergebnisse werfen: L 2 L $L_{\infty}$$L_2$$L_{\infty}$$l_2$

x = Linienraum (0, pi / 2300); % Raster auf [0, pi / 2]
x = x (:);
% überbestimmtes lineares Gleichungssystem
% (nur mit ungeraden Potenzen)
A3 = [x, x. ^ 3];
A5 = [x, x, 3, x, 5];
b = sin (x);
% im Sinn von l2 lösen
c3 = A3 \ b;
c5 = A5 \ b;
f3 = A3 * c3; % Annäherung 3. Ordnung
f5 = A5 * c5; % Näherung 5. Ordnung

Die folgende Abbildung zeigt die Approximationsfehler für die -Ordnung und für die -Ordnungsnäherungen. Die maximalen Approximationsfehler sind und jeweils. 5 t $3^{rd}$$5^{th}$8.8869e-031.5519e-04

Die optimalen Koeffizienten sind

c3 =
   0.988720369237930
  -0.144993929056091

und

c5 =
   0.99976918199047515
  -0.16582163562776930
   0,00757183954143367

Die Annäherung dritter Ordnung ist also

$$\sin(x)\approx 0.988720369237930x-0.144993929056091x^3,\quad x\in[-\pi/2,\pi/2]\tag{1}$$

und die Annäherung fünfter Ordnung ist

$$\sin(x)\approx 0.99976918199047515x-0.16582163562776930x^3+\\0.00757183954143367x^5,\quad x\in[-\pi/2,\pi/2]\tag{2}$$

BEARBEITEN:

Ich habe mir Näherungen mit der vorzeichenbehafteten Potenzfunktion angesehen, wie in der Frage vorgeschlagen, aber die beste Näherung ist kaum besser als die oben gezeigte Näherung dritter Ordnung. Die Näherungsfunktion ist

$$f(x)=x - \frac{1}{p}\left(\frac{\pi}{2}\right)^{1-p}x^p,\qquad x\in[0,\pi/2]\tag{3}$$

wobei die Konstanten so gewählt wurden, dass und . Die Leistung wurde optimiert, um den kleinsten maximalen Fehler im Bereich . Es wurde gefunden, dass der optimale Wert für . Die folgende Abbildung zeigt die Approximationsfehler für die Approximation dritter Ordnung und für die neue Approximation :f ' ( π / 2 ) = 0 p [ 0 , π / 2 ] p p = 2,774 ( 1 $f'(0)=1$$f'(\pi/2)=0$$p$$[0,\pi/2]$$p$$p=2.774$$(1)$$(3)$

Der maximale Approximationsfehler der Approximation ist , es ist jedoch zu beachten, dass die Approximation dritter Ordnung nur diesen Fehler nahe bei überschreitet und dass sein Approximationsfehler zum größten Teil tatsächlich kleiner als der der vorzeichenbehafteten Potenzfunktion ist .$(3)$4.5e-3$\pi/2$

EDIT 2:

Wenn Sie nichts dagegen haben, können Sie auch die Sinus-Näherungsformel von Bhaskara I verwenden , die einen maximalen Näherungsfehler von 1.6e-3:

$$\sin(x)\approx\frac{16x(\pi-x)}{5\pi^2-4x(\pi-x)},\qquad x\in [0,\pi/2]\tag{4}$$

Beginnen Sie mit einem ansonsten allgemeinen parametrisierten Polynom ungerader Symmetrie 5. Ordnung:

$$\begin{align} f(x) &= a_0 x^1 + a_1 x^3 + a_2 x^5 \\ &= x\big( a_0 + a_1 x^2 + a_2 x^4 \big) \\ &= x\bigg( a_0 + x^2 \Big(a_1 + a_2 x^2\Big) \bigg) \\ \end{align}$$

Jetzt legen wir einige Einschränkungen für diese Funktion fest. Die Amplitude sollte an den Spitzen 1 sein, mit anderen Worten . Setzt für gibt:$f(1) = 1$$1$$x$

$$a_0 + a_1 + a_2 = 1 \tag1$$

Das ist eine Einschränkung. Die Steigung an den Spitzen sollte Null sein, mit anderen Worten . Die Ableitung von ist$f'(1) = 0$$f(x)$

$$a_0 + 3 a_1 x^2 + 5 a_2 x^4$$

und das Ersetzen von ergibt unsere zweite Einschränkung:$1$$x$

$$a_0 + 3 a_1 + 5 a_2 = 0 \tag2$$

Jetzt können wir unsere beiden Bedingungen verwenden, um nach und zu lösen$a_1$$a_2$$a_0$

$$a_1=\frac{5}{2}-2a_0 \\ a_2=a_0-\frac{3}{2}\tag{3}$$

$a_0$$a_0$$\approx\frac{\pi}{2}$

Parameteroptimierung

Nachfolgend sind einige Optimierungen der Koeffizienten aufgeführt, die zu diesen relativen Amplituden der Harmonischen im Vergleich zur Grundfrequenz (1. Harmonische) führen:

In der komplexen Fourier-Reihe :

$$\sum_{k=-\infty}^\infty c_k e^{i\tfrac{2\pi}{P} kx},$$

$P\text{-}$$P = 4$$x = 1$$f(x)$$-1 \le x \le 1,$$k\text{th}$

$$c_k = \frac{1}{P}\int_{-1}^{-1+P}\left(\cases{f(x)&if $x < 1$\\-f(x-2)&if $x \ge 1$}\right)e^{-i\tfrac{2\pi}{P}kx}dx.$$

$2 \cos(x) = e^{ix} + e^{-ix}$$k > 0$$2\left|c_k\right|,$

$$2|c_k| = \frac{2}{4}\left|\int_{-1}^{3}\left(\cases{f(x)&if $x < 1$\\-f(x-2)&if $x \ge 1$}\right)e^{-i\tfrac{2\pi}{4}kx}dx\right|\\ = \frac{1}{2}\left|\int_{-1}^{1}f(x)e^{-i\tfrac{\pi}{2}kx}dx - \int_{1}^{3}f(x-2)e^{-i\tfrac{\pi}{2}kx}dx\right|\\ = \frac{1}{2}\left|\int_{-1}^{1}f(x)e^{-i\tfrac{\pi}{2}kx}dx - \int_{-1}^{1}f(x+2-2)e^{-i\tfrac{\pi}{2}k(x+2)}dx\right|\\ = \frac{1}{2}\left|\int_{-1}^{1}f(x)e^{-i\tfrac{\pi}{2}kx}dx - \int_{-1}^{1}f(x)e^{-i\tfrac{\pi}{2}k(x+2)}dx\right|\\ = \frac{1}{2}\left|\int_{-1}^{1}f(x)\left(e^{-i\tfrac{\pi}{2}kx} - e^{-i\tfrac{\pi}{2}k(x+2)}\right)dx\right|\\ = \frac{1}{2}\left|e^{i\tfrac{\pi}{2}x}\int_{-1}^{1}f(x)\left(e^{-i\tfrac{\pi}{2}kx} - e^{-i\tfrac{\pi}{2}k(x+2)}\right)dx\right|\\ = \frac{1}{2}\left|\int_{-1}^{1}f(x)\left(e^{-i\frac{\pi}{2}k(x-1)}-e^{-i\frac{\pi}{2}k(x+1)}\right)dx\right|$$

$|e^{ix}|=1$$x.$$k$$k$$f(x)$

$$= \left|\frac{48\left((-1)^k - 1\right)\left(16\,a_0\left(\pi^2 k^2 - 10\right) - 5\times(5\pi^2 k^2 - 48)\right)}{\pi^6k^6}\right|$$

5. Ordnung, stetige Ableitung

$a_0$$2|c_k|$

$$a_0 = \frac{3\times(132375\pi^2 - 130832)}{16\times(15885\pi^2 - 16354)}\approx 1.569778813,\\ a_1 = \frac{5}{2} - 2a_0 = \frac{79425\pi^2 - 65416}{8\times(-15885\pi^2 + 16354)}\approx -0.6395576276,\\ a_2 = a_0 - \frac{3}{2} = \frac{15885\pi^2}{16\times(15885\pi^2 - 16354)}\approx 0.06977881382.$$

$\frac{13679616}{15885\pi^6 - 16354\pi^4} \approx 1.000071420$$\frac{1}{8906}$$-78.99\text{ dB}$$k\text{th}$$\frac{\left(1 - (-1)^k\right)\left|8177k^2 - 79425\right|}{142496 k^6}.$

7. Ordnung, stetige Ableitung

Ebenso ist die optimale Polynomnäherung 7. Ordnung mit den gleichen Anfangsbedingungen und der 3., 5. und 7. Harmonischen auf dem niedrigstmöglichen gleichen Pegel:

$$\begin{align} f(x) &= a_0 x^1 + a_1 x^3 + a_2 x^5 + a_3 x^7\\ &= x\big( a_0 + a_1 x^2 + a_2 x^4 + a_3 x^7 \big) \\ &= x\bigg( a_0 + x^2 \Big(a_1 + x^2 \big(a_2 + a_3 x^2 \big) \Big) \bigg) \\ \end{align}$$

$$a_0 = \frac{2a_2 + 4a_3 + 3}{2} \approx 1.570781972,\\ a_1 = -\frac{4a_2 + 6a_3 + 1}{2} \approx -0.6458482979,\\ a_2 = \frac{347960025\pi^4 - 405395408\pi^2}{16\times(281681925 \pi^4 - 405395408 \pi^2 + 108019280)} \approx 0.07935067784,\\ a_3 = - \frac{16569525\pi^4}{16\times(281681925\pi^4 - 405395408\pi^2 + 108019280)} \approx -0.004284352588.$$

$\frac{2293523251200}{281681925\pi^8 - 405395408\pi^6 + 108019280\pi^4} \approx 0.9999983752,$$\frac{1}{1555395} \approx -123.8368\text{ dB}$$k\text{th}$$\frac{\left(1 - (-1)^k\right)\left|1350241k^4 - 50674426k^2 + 347960025\right|}{597271680k^8}$

5. Ordnung

$\{3, 5, 7, 9\}$

$$f(x) = a_0 x^1 + a_1 x^3 + a_2 x^5\\ a_0 = 1 - a_1 - a_2 \approx 1.570034357\\ a_1 = \frac{3\times(2436304\pi^2 - 2172825\pi^4)}{8\times(1303695\pi^4 - 1827228\pi^2 + 537160)} \approx -0.6425216143\\ a_2 = \frac{1303695\pi^4}{16\times(1303695\pi^4 - 1827228\pi^2 + 537160)} \approx 0.07248725712$$

$\frac{1080430592}{1303695\pi^6 - 1827228\pi^4 + 537160\pi^2} \approx 0.9997773320.$$\frac{7}{263777} \approx -91.52\text{ dB},$$\frac{726083}{31033100273} \approx -92.6\text{ dB}$$k\text{th}$$\frac{\left(1 - (-1)^k\right)\left|67145k^4 - 2740842k^2 + 19555425\right|}{33763456k^6}.$

$x = \pm 1$$x \approx \pm 1.002039940.$$x = 1$$0.004905799828$$k,$

7. Ordnung

Eine Näherung 7. Ordnung ohne kontinuierliche Ableitung kann auf ähnliche Weise gefunden werden. Der Ansatz erfordert das Testen von 120 verschiedenen Lösungen und wurde am Ende dieser Antwort vom Python-Skript automatisiert. Die beste Lösung ist:

$$f(x) = a_0 x^1 + a_1 x^3 + a_2 x^5 + a_3 x^7\\ a_0 = 1 - a_1 - a_2 - a_3 \approx 1.5707953785726114835\\ a_1 = - \frac{5\times(4374085272375\pi^6 - 6856418226992\pi^4 + 2139059216768\pi^2)}{16\times(2124555703725\pi^6 - 3428209113496\pi^4 + 1336912010480\pi^2 - 155807094720)} \approx -0.64590724797262922190\\ a_2 = \frac{2624451163425\pi^6 - 3428209113496\pi^4}{16\times(2124555703725\pi^6 - 3428209113496\pi^4 + 1336912010480\pi^2 - 155807094720)} \approx 0.079473610232926783079\\ a_3 = -\frac{124973864925\pi^6}{16\times(2124555703725\pi^6 - 3428209113496\pi^4 + 1336912010480\pi^2 - 155807094720)} \approx -0.0043617408329090447344$$

$\frac{16991801282396160}{2124555703725\pi^8 - 3428209113496\pi^6 + 1336912010480\pi^4 - 155807094720\pi^2} \approx 1.0000024810802368487.$$\frac{50}{2400688077}\approx -133.627\text{ dB}.$$k\text{th}$$\frac{\left(1 - (-1)^k\right)\left|-162299057k^6 + 16711400131k^4 - 428526139187*k^2 + 2624451163425\right|}{4424948250624k^8}.$

Python-Quelle

from sympy import symbols, pi, solve, factor, binomial

numEq = 3 # Number of equations
numHarmonics = 6 # Number of harmonics to evaluate

a1, a2, a3, k = symbols("a1, a2, a3, k")
coefficients = [a1, a2, a3]
harmonicRelativeAmplitude = (2*pi**4*a1*k**4*(pi**2*k**2-12)+4*pi**2*a2*k**2*(pi**4*k**4-60*pi**2*k**2+480)+6*a3*(pi**6*k**6-140*pi**4*k**4+6720*pi**2*k**2-53760)+pi**6*k**6)*(1-(-1)**k)/(2*k**8*(2*pi**4*a1*(pi**2-12)+4*pi**2*a2*(pi**4-60*pi**2+480)+6*a3*(pi**6-140*pi**4+6720*pi**2-53760)+pi**6))

harmonicRelativeAmplitudes = []
for i in range(0, numHarmonics) :
    harmonicRelativeAmplitudes.append(harmonicRelativeAmplitude.subs(k, 3 + 2*i))

numCandidateEqs = 2**numHarmonics
numSignCombinations = 2**numEq
useHarmonics = range(numEq + 1)

bestSolution = []
bestRelativeAmplitude = 1
bestUnevaluatedRelativeAmplitude = 1
numSolutions = binomial(numHarmonics, numEq + 1)*2**numEq
solutionIndex = 0

for i in range(0, numCandidateEqs) :
    temp = i
    candidateNumHarmonics = 0
    j = 0
    while (temp) :
        if (temp & 1) :
            if candidateNumHarmonics < numEq + 1 :
                useHarmonics[candidateNumHarmonics] = j
            candidateNumHarmonics += 1
        temp >>= 1
        j += 1
    if (candidateNumHarmonics == numEq + 1) :
        for j in range(0,  numSignCombinations) :
            eqs = []
            temp = j
            for n in range(0, numEq) :
                if temp & 1 :
                    eqs.append(harmonicRelativeAmplitudes[useHarmonics[0]] - harmonicRelativeAmplitudes[useHarmonics[1+n]])
                else :
                    eqs.append(harmonicRelativeAmplitudes[useHarmonics[0]] + harmonicRelativeAmplitudes[useHarmonics[1+n]])
                temp >>= 1
            solution = solve(eqs, coefficients, manual=True)
            solutionIndex += 1
            print "Candidate solution %d of %d" % (solutionIndex, numSolutions)
            print solution
            solutionRelativeAmplitude = harmonicRelativeAmplitude
            for n in range(0, numEq) :                
                solutionRelativeAmplitude = solutionRelativeAmplitude.subs(coefficients[n], solution[0][n])
            solutionRelativeAmplitude = factor(solutionRelativeAmplitude)
            print solutionRelativeAmplitude
            solutionWorstRelativeAmplitude = 0
            for n in range(0, numHarmonics) :
                solutionEvaluatedRelativeAmplitude = abs(factor(solutionRelativeAmplitude.subs(k, 3 + 2*n)))
                if (solutionEvaluatedRelativeAmplitude > solutionWorstRelativeAmplitude) :
                    solutionWorstRelativeAmplitude = solutionEvaluatedRelativeAmplitude
            print solutionWorstRelativeAmplitude
            if (solutionWorstRelativeAmplitude < bestRelativeAmplitude) :
                bestRelativeAmplitude = solutionWorstRelativeAmplitude
                bestUnevaluatedRelativeAmplitude = solutionRelativeAmplitude                
                bestSolution = solution
                print "That is a new best solution!"
            print

print "Best Solution is:"
print bestSolution
print bestUnevaluatedRelativeAmplitude
print bestRelativeAmplitude

Fragen Sie dies aus theoretischen Gründen oder für eine praktische Anwendung?

In der Regel ist die beste Antwort, wenn die Berechnung einer Funktion über einen endlichen Bereich teuer ist, eine Reihe von Nachschlagetabellen.

Ein Ansatz ist die Verwendung von Best-Fit-Parabeln:

n = Boden (x * N + .5);

d = x * N - n;

i = n + N / 2;

y = L_0 + L_1 [i] * d + L_2 [i] * d * d;

Indem Sie die Parabel an jedem Punkt finden, der die Werte für d mit -1/2, 0 und 1/2 erfüllt, anstatt die Ableitungen bei 0 zu verwenden, stellen Sie eine kontinuierliche Approximation sicher. Sie können auch den x-Wert anstelle des Array-Index verschieben, um mit Ihren negativen x-Werten umzugehen.

Ced

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Nachverfolgen:

Der Aufwand und die Ergebnisse, mit denen gute Annäherungen gefunden wurden, sind sehr beeindruckend. Ich war gespannt, wie sich meine langweilige und langweilige stückweise parabolische Lösung vergleichen ließe. Es ist nicht überraschend, dass es viel besser geht. Hier sind die Ergebnisse:

   Methode Minimum Maximum Mean RMS
  -------- -------- -------- -------- --------
     Leistung -8.48842 1.99861 -4.19436 5.27002
    OP S_3 -2.14675 0.00000 -1.20299 1.40854
     Bhask -1.34370 1.63176 -0.14367 0.97353
     Verhältnis -0,24337 0,22770 -0,00085 0,16244
     rbj 5 -0,06724 0,15519 -0,00672 0,04195
    Olli5C -0.16367 0.20212 0.01003 0.12668
     Olli5 -0,26698 0,00000 -0,15177 0,16402
    Olli7C -0.00213 0,00000 -0.00129 0,00143
     Olli7 -0.00005 0.00328 0.00149 0.00181
    Para16 -0.00921 0.00916 -0.00017 0.00467
    Para32 -0,00104 0,00104 -0,00001 0,00053
    Para64 -0.00012 0.00012 -0.00000 0.00006

$\pi/2$

$x-\frac{x^e}{6}$

Die Linie rbj 5 entspricht der c5-Lösung von Matt L.

Die Werte 16, 32 und 64 geben die Anzahl der Intervalle mit Parabelanpassungen an. Natürlich gibt es in der ersten Ableitung an jeder Intervallgrenze unbedeutende Diskontinuitäten. Die Werte der Funktion sind jedoch stetig. Das Erhöhen der Anzahl von Intervallen erhöht nur den Speicherbedarf (und die Initialisierungszeit), nicht jedoch den für die Approximation erforderlichen Rechenaufwand, der geringer ist als bei allen anderen Gleichungen. Ich habe Zweierpotenzen gewählt, weil eine Festkommaimplementierung in solchen Fällen eine Division durch die Verwendung eines UND retten kann. Außerdem wollte ich nicht, dass die Zählung mit der Teststichprobe übereinstimmt.

Ich habe das Python-Programm von Olli Niemitalo ausgeführt und dieses als Teil des Ausdrucks erhalten: "Kandidatenlösung 176 von 120" Ich fand das seltsam, also erwähne ich es.

Wenn jemand möchte, dass ich eine der anderen Gleichungen aufnehme, lass es mich bitte in den Kommentaren wissen.

Hier ist der Code für die stückweisen parabolischen Approximationen. Das gesamte Testprogramm ist zu lang zum Posten.

# ====================================== ===========================
def FillParab (argArray, argPieceCount):

# y = ad ^ 2 + bd + c

# ym = a .25 - b .5 + c
# y = c
# yp = a.25 + b.5 + c

# c = y
# b = yp - ym
# a = (yp + ym - 2y) * 2

# ---- Nachschlagearrays berechnen

        theStep = pi * .5 / float (argPieceCount - 1)
        theHalf = theStep * .5

        theL0 = Nullen (argPieceCount)
        theL1 = Nullen (argPieceCount)
        theL2 = Nullen (argPieceCount)

        für k im Bereich (0, argPieceCount):
         x = float (k) * theStep

         ym = sin (x - theHalf)
         y = sin (x)
         yp = sin (x + theHalf)

         theL0 [k] = y
         theL1 [k] = yp - ym
         theL2 [k] = (yp + ym - 2,0 * y) * 2

# ---- Mach die Füllung

        theN = len (argArray)

        theFactor = pi * .5 / float (theN - 1)

        für i im Bereich (0, theN):
         x = float (i) * theFactor

         kx = x / theStep
         k = int (kx + .5)
         d = kx - k

         argArray [i] = theL0 [k] + (theL1 [k] + theL2 [k] * d) * d

# ====================================== ===========================

======================================

Anhang

$S_3$