Zeitdiskrete Fourier-Transformation der Einheitsschrittfolge

Aus Lehrbüchern wissen wir, dass die DTFT von gegeben ist durch $u[n]$

\begin{matrix} (1) & U (ω) = π δ (ω) + \frac{1}{1 - e^{- j ω}}, - π \leq ω < π \end{matrix}

$U(\omega)=\pi\delta(\omega)+\frac{1}{1-e^{-j\omega}},\qquad -\pi\le\omega <\pi\tag{1}$

Ich habe jedoch kein DSP-Lehrbuch gesehen, das zumindest vorgibt, eine mehr oder weniger solide Ableitung von . $(1)$

Proakis [1] leitet die rechte Hälfte der rechten Seite von indem er in der -Transformation von setzt und sagt, dass es gültig ist außer (was natürlich richtig ist). Er gibt dann an, dass wir am Pol der -Transformation einen Delta-Impuls mit einer Fläche von hinzufügen müssen , aber das erscheint mir eher wie ein Rezept als alles andere. $(1)$ $z=e^{j\omega}$ $\mathcal{Z}$ $u[n]$ $\omega=2\pi k$ $\mathcal{Z}$ $\pi$

Oppenheim und Schafer [2] erwähnen in diesem Zusammenhang

Obwohl es nicht ganz einfach zu zeigen ist, kann diese Sequenz durch die folgende Fourier-Transformation dargestellt werden:

Darauf folgt eine Formel, die . Leider haben sie sich nicht die Mühe gemacht, uns diesen "nicht ganz einfachen" Beweis zu zeigen. $(1)$

Ein Buch, das ich eigentlich nicht kannte, das ich aber bei der Suche nach einem Beweis für ist die Einführung in die digitale Signalverarbeitung und das Filterdesign von BA Shenoi. Auf Seite 138 gibt es eine "Ableitung" von , aber leider ist es falsch. Ich habe eine "DSP-Puzzle" -Frage gestellt , damit die Leute zeigen, was mit diesem Beweis nicht stimmt.] $(1)$ $(1)$

Also meine Frage ist:

Kann jemand einen Beweis / eine Ableitung von liefern?, der solide oder sogar streng ist, während er für mathematisch veranlagte Ingenieure zugänglich ist? Es spielt keine Rolle, ob es nur aus einem Buch kopiert wurde. Ich denke, es wäre trotzdem gut, es auf dieser Seite zu haben. $(1)$

Beachten Sie, dass selbst in math.SE fast nichts Relevantes zu finden ist: Diese Frage hat keine Antworten, und eine hat zwei Antworten, von denen eine falsch ist (identisch mit Shenois Argument), und die andere verwendet die "Akkumulationseigenschaft". , mit dem ich mich freuen würde, aber dann muss man diese Eigenschaft beweisen, was Sie wieder an den Anfang bringt (weil beide Beweise im Grunde dasselbe beweisen).

Als letzte Anmerkung habe ich mir so etwas wie einen Beweis ausgedacht (nun, ich bin Ingenieur), und ich werde ihn in einigen Tagen auch als Antwort veröffentlichen, aber ich würde gerne andere veröffentlichte oder unveröffentlichte Beweise sammeln Das ist einfach und elegant und vor allem für DSP-Ingenieure zugänglich.

PS: Ich bezweifle nicht die Gültigkeit von $(1)$ , ich möchte nur einen oder mehrere relativ einfache Beweise sehen.

[1] Proakis, JG und DG Manolakis, Digitale Signalverarbeitung: Prinzipien, Algorithmen und Anwendungen , 3. Auflage, Abschnitt 4.2.8

[2] Oppenheim, AV und RW Schafer, Zeitdiskrete Signalverarbeitung , 2. Auflage, S. 54.

Inspiriert von einem Kommentar von Marcus Müller möchte ich zeigen, dass

U (ω)

$U(\omega)$ nach Gl.

(1)

$(1)$ erfüllt die Anforderung

u [n] = u^{2} [n] \to U (ω) = \frac{1}{2 π} (U ⋆ U) (ω)

$u[n]=u^2[n]\rightarrow U(\omega)=\frac{1}{2\pi}(U\star U)(\omega)$

Wenn $U(\omega)$ die DTFT von $u[n]$ , dann

V (ω) = \frac{1}{1 - e^{- j ω}}

$V(\omega)=\frac{1}{1-e^{-j\omega}}$

muss die DTFT von sein

v [n] = \frac{1}{2} sign [n]

$v[n]=\frac12\text{sign}[n]$

(wo wir ), weil $\text{sign}[0]=1$

V (ω) = U (ω) - π δ (ω) ⟺ u [n] - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} sign [n]

$V(\omega)=U(\omega)-\pi\delta(\omega)\Longleftrightarrow u[n]-\frac12=\frac12\text{sign}[n]$

Also haben wir

\frac{1}{2 π} (V ⋆ V) (ω) ⟺ {(\frac{1}{2} sign [n])}^{2} = \frac{1}{4}

$\frac{1}{2\pi}(V\star V)(\omega)\Longleftrightarrow \left(\frac12\text{sign}[n]\right)^2=\frac14$

woraus folgt das

\frac{1}{2 π} (V ⋆ V) (ω) = DTFT {\frac{1}{4}} = \frac{π}{2} δ (ω)

$\frac{1}{2\pi}(V\star V)(\omega)=\text{DTFT}\left\{\frac14\right\}=\frac{\pi}{2}\delta(\omega)$

Damit bekommen wir

\begin{aligned} \frac{1}{2 π} (U ⋆ U) (ω) & = \frac{1}{2 π} [(π δ (ω) + V (ω)) ⋆ (π δ (ω) + V (ω))] \\ = \frac{1}{2 π} [π^{2} δ (ω) + 2 π V (ω) + (V ⋆ V) (ω)] \\ = \frac{π}{2} δ (ω) + V (ω) + \frac{π}{2} δ (ω) \\ = U (ω) q.e.d. \end{aligned}

$\begin{align}\frac{1}{2\pi}(U\star U)(\omega)&=\frac{1}{2\pi}\left[(\pi\delta(\omega)+V(\omega))\star (\pi\delta(\omega)+V(\omega))\right]\\&=\frac{1}{2\pi}\left[\pi^2\delta(\omega)+2\pi V(\omega)+(V\star V)(\omega)\right]\\&=\frac{\pi}{2}\delta(\omega)+V(\omega)+\frac{\pi}{2}\delta(\omega)\\&=U(\omega)\qquad\text{q.e.d.}\end{align}$

— Matt L.
quelle

waaah. Mach meine Welt nicht kaputt. Der Zweifel an dieser Formel führt zu einem Bereich des Chaos. Zum Beispiel ist

und daher (mit einem Cont. FT-Definitionsvorfaktor in Abhängigkeit von der Konstante

)

u^{2} (t) = u (t)

$u^2(t) = u(t)$

c

$c$

\begin{aligned} DTFT (u^{2}) (ω) & = c \cdot U (ω) * U (ω) \\ = c π U (ω) + \frac{c}{1 + e^{- j ω}} * U (ω) \\ = c π (π δ (ω) + \frac{1}{1 - e^{- j ω}}) + \frac{c π}{1 + e^{- j ω}} + c \frac{1}{1 + e^{- j ω}} * \frac{1}{1 + e^{- j ω}} \\ = c π^{2} δ (ω) + \frac{2 c π}{1 + e^{- j ω}} + c \frac{1}{1 + e^{- j ω}} * \frac{1}{1 + e^{- j ω}} \\ \overset{magic?}{=} U \end{aligned}

$\begin{align}\text{DTFT}(u^2)(\omega) &=c\,\cdot\, U(\omega)*U(\omega) \\&=c\pi U(\omega)+ \frac{c}{1+e^{-j\omega}}*U(\omega)\\&=c\pi \left(\pi\delta(\omega)+\frac{1}{1-e^{-j\omega}}\right)+\frac{c\pi}{1+e^{-j\omega}}+c\frac{1}{1+e^{-j\omega}}*\frac{1}{1+e^{-j\omega}}\\&=c\pi^2\delta(\omega)+\frac{2c\pi}{1+e^{-j\omega}} + c\frac{1}{1+e^{-j\omega}}*\frac{1}{1+e^{-j\omega}}\\&\overset{\text{magic?}}=U\end{align}$

— Marcus Müller

@ MarcusMüller: Kein Zweifel an dieser Formel, sie ist richtig. Die Frage ist nur, wie man es auf eine Weise zeigt, die ein einfacher Ingenieur verstehen kann. Und

funktioniert für die gegebene DTFT, kein Problem.

u^{2} [n] = u [n]

$u^2[n]=u[n]$

— Matt L.

Ich halte mich für sehr einfältig, und das bedeutet, dass ich mir Sorgen mache, wenn sich die Dinge nicht "sicher" anfühlen, wenn ich nicht sehen kann, wie sie abgeleitet werden.

— Marcus Müller

Ich sehe, dass es nicht darum geht, zu beweisen, ob die Gleichung korrekt ist oder nicht, sondern

rigoros und direkt aus den ersten Prinzipien und der Definition von DTFT abzuleiten . Wenn man dann einen strengen Beweis mit Impulsen erbringen will, sollte man sich besser auf die zitierten Bücher aus der verallgemeinerten Funktionstheorie beziehen: Lighthill-1958 wird in Opp & Schafer für eine Diskussion der Impulsfunktion und ihrer Verwendung in Fourier-Transformationen zitiert. Alle anderen Beweise stützen sich unweigerlich auf die Beweise, die auf diesen Referenzen gemacht wurden, und reichen nicht aus, um einen strengen Beweis zu ersetzen.

U (w)

$U(w)$

— Fat32

@ Fat32: Das ist ein gültiger Standpunkt. Ich denke jedoch, dass eine einigermaßen solide Ableitung möglich ist, wenn wir grundlegende Transformationen wie

akzeptieren und wenn wir uns damit zufrieden geben, Integrale durch ihren Cauchy-Hauptwert zu definieren.

DTFT {1} = 2 π δ (ω)

$\text{DTFT}\{1\}=2\pi\delta(\omega)$

— Matt L.

Antworten:

Cedron Dawg hat in dieser Antwort einen interessanten Ausgangspunkt gepostet . Es beginnt mit diesen Schritten:

\begin{aligned} U (ω) & = \sum_{n = 0}^{+ \infty} e^{- j ω n} \\ = lim_{N \to \infty} \sum_{n = 0}^{N - 1} e^{- j ω n} \\ = lim_{N \to \infty} [\frac{1 - e^{- j ω N}}{1 - e^{- j ω}}] \\ = \frac{1}{1 - e^{- j ω}} - lim_{N \to \infty} [\frac{e^{- j ω N}}{1 - e^{- j ω}}] \end{aligned}

$\begin{align} U(\omega) &= \sum\limits_{n=0}^{+\infty} e^{-j \omega n} \\ &= \lim_{ N \to \infty } \sum\limits_{n=0}^{N-1} e^{-j \omega n}\\ &= \lim_{ N \to \infty } \left[ \frac{ 1 - e^{-j \omega N} }{ 1 - e^{-j \omega } } \right] \\ &= \frac{ 1 }{ 1 - e^{-j \omega } } - \lim_{ N \to \infty } \left[ \frac{ e^{-j \omega N} }{ 1 - e^{-j \omega } } \right] \end{align}$

Es stellt sich heraus, dass der Begriff innerhalb des Grenzwerts wie folgt erweitert werden kann :

\begin{aligned} \frac{e^{- j ω N}}{1 - e^{- j ω}} = & \frac{1}{\sin^{2} (ω) + (1 - \cos (ω))^{2}} \cdot \\ [- \cos (ω) \cos (N ω) + \cos (N ω) - \sin (ω) \sin (N ω) + j (- \sin (ω) \cos (N ω) + \cos (ω) \sin (ω) - \sin (N ω))] \end{aligned}

$\begin{aligned} \frac{ e^{-j \omega N} }{ 1 - e^{-j \omega } } ={} &\frac{1}{\sin^2(\omega)+(1-\cos(\omega))^2} \cdot \\ &\left[-\cos(\omega)\cos(N\omega)+\cos(N\omega)-\sin(\omega)\sin(N\omega)+ \\ j(-\sin(\omega)\cos(N\omega)+\cos(\omega)\sin(\omega)-\sin(N\omega))\right] \end{aligned}$

Der gemeinsame Faktor außerhalb der Klammern kann ausgedrückt werden als :

\frac{1}{\sin^{2} (ω) + (1 - \cos (ω))^{2}} = \frac{1}{4 \sin^{2} (ω / 2)}

$\frac{1}{\sin^2(\omega)+(1-\cos(\omega))^2} = \frac{1}{4\sin^2(\omega/2)}$

Der Realteil in den Klammern ist auch gleich :

- \cos (ω) \cos (N ω) + \cos (N ω) - \sin (ω) \sin (N ω) = 2 \sin (ω / 2) \sin [ω (- N + 1 / 2)]

$-\cos(\omega)\cos(N\omega)+\cos(N\omega)-\sin(\omega)\sin(N\omega)= 2\sin(\omega/2)\sin[\omega(-N+1/2)]$

Andererseits kann der Imaginärteil wie folgt umgeschrieben werden :

- \sin (ω) \cos (N ω) + \cos (ω) \sin (ω) - \sin (N ω) = - 2 \sin (ω / 2) \cos [ω (- N + 1 / 2)]

$-\sin(\omega)\cos(N\omega)+\cos(\omega)\sin(\omega)-\sin(N\omega)=-2\sin(\omega/2)\cos[\omega(-N+1/2)]$

Wenn wir den ursprünglichen Begriff umschreiben, erhalten wir Folgendes:

\begin{aligned} \frac{e^{- j ω N}}{1 - e^{- j ω}} & = \frac{2 \sin (\frac{ω}{2})}{4 \sin^{2} (\frac{ω}{2})} (\sin [ω (- N + 1 / 2)] - j \cos [ω (- N + 1 / 2)]) \\ = - \frac{\sin [ω (M + 1 / 2)]}{2 \sin (\frac{ω}{2})} - j \frac{\cos [ω (M + 1 / 2)]}{2 \sin (\frac{ω}{2})} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{ e^{-j \omega N} }{ 1 - e^{-j \omega } } &=\frac{2\sin\left(\frac \omega 2\right)}{4\sin^2\left(\frac \omega 2\right) } \left( \sin[\omega(-N+1/2)] - j\cos[\omega(-N+1/2)]\right) \\ &=-\frac{\sin[\omega(M+1/2)]}{2\sin\left(\frac \omega 2\right)} - j\frac{\cos[\omega(M+1/2)]}{2\sin\left(\frac \omega 2\right)} \end{align}$

$M=N-1$ $M\to \infty$

Gemäß der 7. Definition auf dieser Site :

lim_{M \to \infty} - \frac{1}{2 \sin (ω / 2)} \sin [ω (M + 1 / 2)] = - π δ (ω)

$\lim_{M\to \infty} -\frac{1}{2\sin(\omega/2)}\sin[\omega(M+1/2)] = -\pi \delta(\omega)$

Bisher haben wir das:

lim_{M \to \infty} \frac{e^{- j ω (M + 1)}}{1 - e^{- j ω}} = - π δ (ω) - j lim_{M \to \infty} \frac{\cos [ω (M + 1 / 2)]}{2 \sin (ω / 2)}

$\lim_{ M \to \infty } \frac{ e^{-j \omega (M+1)} }{ 1 - e^{-j \omega } } =-\pi\delta(\omega) -j\lim_{M\to \infty} \frac{\cos[\omega(M+1/2)]}{2\sin(\omega/2)}$

$0$

\begin{aligned} U (ω) & = \frac{1}{1 - e^{- j ω}} - lim_{N \to \infty} [\frac{e^{- j ω N}}{1 - e^{- j ω}}] \\ = \frac{1}{1 - e^{- j ω}} + π δ (ω) + j lim_{M \to \infty} \frac{\cos [ω (M + 1 / 2)]}{2 \sin (ω / 2)} \\ = \frac{1}{1 - e^{- j ω}} + π δ (ω) \end{aligned}

$\begin{align} U(\omega) &= \frac{ 1 }{ 1 - e^{-j \omega } } - \lim_{ N \to \infty } \left[ \frac{ e^{-j \omega N} }{ 1 - e^{-j \omega } } \right] \\ &=\frac{ 1 }{ 1 - e^{-j \omega } }+\pi\delta(\omega) +j\lim_{M\to \infty} \frac{\cos[\omega(M+1/2)]}{2\sin(\omega/2)} \\ & =\frac{ 1 }{ 1 - e^{-j \omega } }+\pi\delta(\omega) \end{align}$

— Tendero
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Das ist sehr nett! Ich habe es überprüft und alles scheint korrekt zu sein, so dass der Imaginärteil in gewissem Sinne gegen Null tendieren muss. Ich werde ein bisschen darüber nachdenken.

— Matt L.

@ MattL. Lassen Sie mich wissen, ob Sie Fortschritte machen können!

— Tendero

@ MattL. Der Beweis ist endlich vollständig!

— Tendero

ω = 0

$\omega=0$

ω \neq 0

$\omega\neq 0$

1 / (1 - e^{- j ω})

$1/(1-e^{-j\omega})$

ω = 0

$\omega=0$

Ich werde zwei relativ einfache Beweise liefern, die keine Kenntnisse der Verteilungstheorie erfordern. Einen Beweis, der die DTFT durch einen Grenzwertprozess unter Verwendung von Ergebnissen aus der Verteilungstheorie berechnet, finden Sie in dieser Antwort von Tendero .

Ich werde hier nur den ersten Beweis erwähnen (und nicht näher darauf eingehen), da ich ihn als Antwort auf diese Frage veröffentlicht habe , um zu zeigen, dass ein bestimmter veröffentlichter Beweis fehlerhaft ist.

$u[n]$

\begin{matrix} (1) & u_{e} [n] = \frac{1}{2} (u [n] + u [- n]) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} δ [n] \end{matrix}

$u_e[n]=\frac12\left(u[n]+u[-n]\right)=\frac12+\frac12\delta[n]\tag{1}$

$(1)$

\begin{matrix} (2) & DTFT {u_{e} [n]} = π δ (ω) + \frac{1}{2} \end{matrix}

$\text{DTFT}\{u_e[n]\}=\pi\delta(\omega)+\frac12\tag{2}$

$u[n]$

\begin{matrix} (3) & U_{R} (ω) = Re {U (ω)} = π δ (ω) + \frac{1}{2} \end{matrix}

$U_R(\omega)=\text{Re}\{U(\omega)\}=\pi\delta(\omega)+\frac12\tag{3}$

$u[n]$ $U(\omega)$ $U_R(\omega)$ $U(\omega)$ $h[n]=h[n]u[n]$ $h[n]$ $H(\omega)=\frac{1}{2\pi}(H\star U)(\omega)$ $u[n]$ $U(\omega)$

$U_I(\omega)=\text{Im}\{U(\omega)\}$ $u[n]$

\begin{matrix} (4) & u_{o} [n] = \frac{1}{2} (u [n] - u [- n]) = u [n - 1] - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} δ [n] \end{matrix}

$u_o[n]=\frac12\left(u[n]-u[-n]\right)=u[n-1]-\frac12+\frac12\delta[n]\tag{4}$

$(4)$

\begin{aligned} j U_{I} (ω) & = e^{- j ω} U (ω) - π δ (ω) + \frac{1}{2} \\ = e^{- j ω} (U_{R} (ω) + j U_{I} (ω)) - π δ (ω) + \frac{1}{2} \\ = e^{- j ω} (π δ (ω) + \frac{1}{2}) + e^{- j ω} j U_{I} (ω) - π δ (ω) + \frac{1}{2} \\ (5) & = \frac{1}{2} (1 + e^{- j ω}) + e^{- j ω} j U_{I} (ω) \end{aligned}

$\begin{align}jU_I(\omega)&=e^{-j\omega}U(\omega)-\pi\delta(\omega)+\frac12\\&=e^{-j\omega}(U_R(\omega)+jU_I(\omega))-\pi\delta(\omega)+\frac12\\&=e^{-j\omega}\left(\pi\delta(\omega)+\frac12\right)+e^{-j\omega}jU_I(\omega)-\pi\delta(\omega)+\frac12\\&=\frac12(1+e^{-j\omega})+e^{-j\omega}jU_I(\omega)\tag{5}\end{align}$

$(3)$ $(5)$

\begin{matrix} (6) & j U_{I} (ω) (1 - e^{- j ω}) = \frac{1}{2} (1 + e^{- j ω}) \end{matrix}

$jU_I(\omega)(1-e^{-j\omega})=\frac12(1+e^{-j\omega})\tag{6}$

$(6)$

\begin{matrix} (7) & j U_{I} (ω) = \frac{1}{2} \frac{1 + e^{- j ω}}{1 - e^{- j ω}} + c δ (ω) \end{matrix}

$jU_I(\omega)=\frac12\frac{1+e^{-j\omega}}{1-e^{-j\omega}}+c\delta(\omega)\tag{7}$

$U_I(\omega)$ $\omega$ $u[n]$ $c=0$ $(3)$ $(7)$

\begin{aligned} U (ω) & = U_{R} (ω) + j U_{I} (ω) \\ = π δ (ω) + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \frac{1 + e^{- j ω}}{1 - e^{- j ω}} \\ = π δ (ω) + \frac{1}{2} (1 + \frac{1 + e^{- j ω}}{1 - e^{- j ω}}) \\ (8) & = π δ (ω) + \frac{1}{1 - e^{- j ω}} \end{aligned}

$\begin{align}U(\omega)&=U_R(\omega)+jU_I(\omega)\\&=\pi\delta(\omega)+\frac12+\frac12\frac{1+e^{-j\omega}}{1-e^{-j\omega}}\\&=\pi\delta(\omega)+\frac12\left( 1+\frac{1+e^{-j\omega}}{1-e^{-j\omega}}\right)\\&=\pi\delta(\omega)+\frac{1}{1-e^{-j\omega}}\tag{8}\end{align}$

— Matt L.
quelle