Wie hängen Zeitauflösung und Signalbandbreite zusammen?

Ich bin verwirrt über die doppelten Konzepte von Zeitauflösung und Bandbreite. Oft höre ich, dass eine pulskomprimierte Radaranwendung "nicht genug BW" für eine bestimmte angestrebte Zeitauflösung hat.

Ist die maximale Zeitauflösung nicht einfach der Kehrwert Ihrer Abtastrate?

Wie hängen diese Konzepte zusammen?

resolution bandwidth

— Spacey
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In einem Szenario ohne Rauschen können Sie, sobald Sie über genügend Samples verfügen, um Ihr zeitlich begrenztes Signal eindeutig zu identifizieren, interpolieren und eine Sub-Sample-Auflösung erhalten (z. B. besser als 1 / Fs).

— hotpaw2

Dilips Punkte in seiner Antwort sind richtig. Sprechen mehr auf den Kontext , dass Sie der referenzierten Pulskompressionsradar , ich glaube , Sie sind durch unterschiedliche Bedeutungen des oft verwendete Wort verwirrt „Auflösung“ . Im weitesten Sinne der Signalverarbeitung wird Ihre Zeitauflösung in gewissem Maße durch Ihre Abtastrate definiert. Im speziellen Problembereich des Aufbaus eines Radarempfängers geht es Ihnen jedoch darum, mehrere Echos von entfernten Objekten identifizieren und deren Ankunftszeit genau beobachten zu können. "Auflösung" bezieht sich in diesem Zusammenhang auf das Auflösen und Trennen mehrerer empfangener Echos, damit diese unabhängig voneinander verarbeitet werden können.

Ein typischer Radarempfänger verwendet einen gleitenden Kreuzkorrelator, um Echos von Objekten zu lokalisieren, die das übertragene Radarsignal reflektiert haben. Der Empfänger kennt das Format des gesendeten Impulses, daher ist eine Kreuzkorrelation zwischen dem Ausgang des HF-Empfängers und der Wellenform des gesendeten Impulses das optimale Schema zum Erfassen des Vorhandenseins reflektierter Impulse in AWGN . Der Korrelatorausgang enthält Kopien der Autokorrelationsfunktion der gesendeten Impulswellenform (die typischerweise eine aufrichtartige Form hat) für jedes empfangene Echo, die zeitlich verschoben ist, basierend auf dem Bereich zum Ziel, das die Reflexion verursacht hat. Um zwischen den Zielen zu unterscheiden, müssen ihre entsprechenden Keulen am Korrelatorausgang zeitlich ausreichend getrennt sein.

Ein "hochauflösendes" Radar kann mehrere Ziele in der Entfernungsdimension fein unterscheiden. Wenn Ihr Radar mehrere Ziele in ungefähr derselben Reichweite hat, erreichen deren Echos fast gleichzeitig den Empfänger. Daher erscheinen ihre Autokorrelationskeulen fast gleichzeitig am Ausgang des Korrelators. Die Fähigkeit des Radars, zwischen den Echos zu unterscheiden, hängt von der Zeitdauer der Autokorrelationskeulen der Wellenform ab. Eine engere Autokorrelationsfunktion (idealerweise eine, die wie ein Impuls aussieht) ist besser.

Diese langwierige Einführung bringt uns zur Idee der Impulskompression. Pulskompressionsradarwellenformen werden typischerweise unter Verwendung einer linearen Frequenzmodulation (auch als "Zwitschern" bekannt) implementiert; Anstatt einen Impuls mit konstanter Frequenz zu senden, wird die übertragene Frequenz linear über den Verlauf des Impulses gewobbelt. In der Praxis kann der Sweep über ein Spektrum von zehn oder sogar Hunderten von MHz durchgeführt werden. Was ist der Vorteil? Eine Autokorrelationsfunktion mit schönen Eigenschaften:

< s_{c^{'}}, s_{c^{'}} > (t) = T Λ (\frac{t}{T}) s i n c [π Δ f t Λ (\frac{t}{T})] e^{2 i π f_{0} t}

$<s_{c'}, s_{c'}>(t) = T \Lambda \left(\frac{t}{T} \right) \mathrm{sinc} \left[ \pi \Delta f t \Lambda \left( \frac{t}{T}\right) \right] e^{2 i \pi f_0 t}$

Die obige Gleichung stammt aus dem Wikipedia-Artikel. Ich werde die vollständige Erklärung auf diese Quelle verschieben. Was hier wichtig ist, ist das $\Delta f$ Begriff; es bezieht sich auf die Frequenz, die vom linearen Frequenz-Chirp abgedeckt wird. Schon seit $\Delta f$ ist ein Faktor im Argument der $\mathrm{sinc}$ Funktion ist leicht zu erkennen, dass durch Zwitschern über eine größere Bandbreite die Hauptkeule der Autokorrelationsfunktion des Impulses enger wird. Engere Keulen werden vom Radarempfänger leichter unterschieden, was einem Radar eine hohe "Auflösung" hinsichtlich der Unterscheidung zwischen Zielen mit ähnlicher Reichweite verleiht.

Um es ein wenig zusammenzufassen, sollte diese Art der Feststellung Sinn machen. Es sei daran erinnert, dass die spektrale Leistungsdichte eines stationären Weitwinkel- Signals als Fourier-Transformation seiner Autokorrelationsfunktion definiert werden kann. Die ideale Autokorrelationsfunktion für einen Radarimpuls wäre ein Impuls; Das Trennen eines Bündels von Echos mit einer Breite von "Null" ist einfacher als das Trennen eines Bündels breiterer Lappen. Die Fourier-Transformation eines Impulses hat eine unendliche Frequenzausdehnung. Qualitativ folgt daraus, dass Autokorrelationsfunktionen mit sehr kurzer Zeitausdehnung im Frequenzbereich vergleichsweise breitbandig wären. Dies ist die Grundlage für die in der Erkennungs- und Schätzungstheorie häufig verwendete Faustregel, dass Sie ein Signal mit hoher Bandbreite benötigen, um hochauflösende Ankunftszeitmessungen durchzuführen.

— Jason R.
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Jason bedankt sich für die Antwort, eine Frage vor einigen weiteren Fragen - lassen Sie mich versuchen, eine Frage neu zu formulieren, um sicherzustellen, dass ich das richtig verstehe ... Welche Art von Signal sollte ich verwenden, damit ich (1 / fs) Sekunden auflösen kann ?

— Spacey

Ich denke du hast kein Glück. Auflösung von

\frac{1}{f_{s}}

$\frac{1}{f_s}$ Dies würde bedeuten, dass Sie zwischen Peaks unterscheiden können, die nur durch eine Stichprobe getrennt sind. Dies bedeutet, dass es in Ihrem Probenstrom keine sichtbare Trennung zwischen ihnen gibt (es würde nur wie ein Peak mit einer Breite von zwei Proben aussehen). Während Sie möglicherweise in der Lage sind, eine Wellenform zu konstruieren, die impulsiv genug ist, um am Korrelatorausgang nur eine Probe breit zu sein, werden Sie sich in jeder praktischen Situation wahrscheinlich nicht darauf verlassen, dass jeder Peak nur eine Probe breit ist. es ist wahrscheinlich nicht sehr robust.

— Jason R

@ Dilip: Du hast vollkommen recht. Die ideale Autokorrelationsfunktion einer PN-Sequenz sieht aus wie ein Impuls, der von sehr kleinen Nebenkeulen umgeben ist. In der Praxis können Sie jedoch aufgrund der endlichen Empfängerbandbreite und des Zeitversatzes ungleich Null nicht damit rechnen, einen genau ein Abtastwert breiten Peak zu sehen. Und ja, sie sind typischerweise Breitband, daher ihre Verwendung in Spreizspektrumsystemen.

— Jason R

@JasonR Die Frage versucht, eine Obergrenze für die maximal mögliche Zeitauflösungsleistung bei einer bestimmten Abtastrate festzulegen. (Ignorieren Sie vorerst Robustheitsprobleme - ich spreche theoretisch). Ist die theoretische maximale verfügbare Zeitauflösung durch 1 / fs begrenzt und nimmt je nach BW einen Wert zwischen 0 und 1 / fs an?

— Spacey

In einer rauschfreien, störungsfreien, verlustfreien Umgebung (dh ohne Verstärkungsschwankungen zwischen verschiedenen Signalen) können Sie theoretisch zwei durch getrennte Signale auflösen

\frac{1}{f_{s}}

$\frac{1}{f_s}$ (dh eine Probe), vorausgesetzt, sie haben geeignete Autokorrelationsfunktionen (wie die zuvor genannten PN-Sequenzen Dilip). Nicht sehr praktisch, aber theoretisch könnte man.

— Jason R

Normalerweise haben Sie keine Auflösung von 1 / Fs, da Sie nicht wissen, ob es sich um Ihr Signal handelt oder nicht. Wie lange dauert es, bis festgestellt wird, dass es sich um Ihr 100-MHz-Signal handelt und nicht um das 101-MHz-Signal eines anderen? Länger als zu wissen, dass es Ihr 100-MHz-Signal ist und nicht das 110-MHz-Signal eines anderen. Je näher das auszuschließende feindliche Signal ist (je schmaler die für Ihr Signal zulässige Bandbreite ist), desto länger dauert die Unterscheidung zwischen Freund oder Feind, was zu einer schlechteren Zeitauflösung führt.

Wenn Sie anhand eines Beispiels erkennen können, bedeutet dies, dass Sie eine unendliche Bandbreite akzeptieren, was nur ein Eckfall des Zeit-Bandbreiten-Duals ist.

— hotpaw2
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