Welche physikalische Bedeutung haben negative Frequenzen?

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Dies war eines der Löcher in meinem Cheddar-Käse-Block, um DSP zu verstehen. Wie ist die physikalische Interpretation einer negativen Frequenz?

Wenn Sie bei einer Frequenz einen physischen Ton haben und dieser DFT ist, erhalten Sie sowohl positive als auch negative Frequenzen - warum und wie tritt dieser auf? Was heißt das?

Edit: 18. Oktober 2011. Ich habe meine eigene Antwort gegeben, aber die Frage um die Wurzeln erweitert, warum negative Frequenzen existieren MÜSSEN.

frequency

— Spacey
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electronics.stackexchange.com/questions/15539/…

— endolith

Dank Endolith, wäre es möglich, diese Seite mit ihnen zu verlinken? Ich habe meine eigene Frage beantwortet und möchte sie auch dieser Gruppe mitteilen. Ich scheine keinen Zugang zu diesem Bereich zu haben ...

— Spacey

Nachdem ich alle physikalischen Bedeutungen der negativen Frequenzen gelesen hatte, wurde ich verwirrter. Ich bin chemiker Ich beschäftige mich mit Molekülen. Die negativen Frequenzen zeigen die Instabilität der Moleküle oder mit anderen Worten Sattelpunkte auf der potentiellen Energieoberfläche an. Ein stabiles Molekül sollte keine imaginären Frequenzen haben, ein Übergangszustand sollte eine haben (Sattelpunkt 1. Ordnung). Warum sollte ein stabiles Molekül nicht negative Frequenzen (imaginäre Frequenzen) haben, schließlich ist es die Komplementärfrequenz zur reellen Frequenz.

— Prabin Rai

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@PrabinRai negative Frequenzen und imaginäre Frequenzen sind sehr unterschiedlich. Eine imaginäre Frequenz wandelt ein oszillierendes komplexes Exponential in ein exponentiell ansteigendes (oder abfallendes) gewöhnliches Exponential um. Eine negative Frequenz bezieht sich, wie die folgenden Antworten zeigen, auf die "Händigkeit" der Schwingung. Es sind immer noch eingeschränkte Funktionen, also stelle ich mir vor, es wäre immer noch "stabil".

— TC Proctor

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Negative Frequenz macht für Sinuskurven wenig Sinn, aber die Fourier-Transformation zerlegt ein Signal nicht in Sinuskurven, sondern in komplexe Exponentiale (auch "komplexe Sinuskurven" oder " cisoid s" genannt):

F (ω) = \int_{- \infty}^{\infty} f (t) e^{- j ω t} d t

$F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \color{Red}{e^{- j\omega t}}\,dt$

Dies sind eigentlich Spiralen, die sich in der komplexen Ebene drehen:

komplexe Exponentialdarstellung von Zeit und realen und imaginären Achsen

( Quelle: Richard Lyons )

Spiralen können entweder links- oder rechtshändig sein (im oder gegen den Uhrzeigersinn drehen), woraus das Konzept der negativen Frequenz stammt. Sie können es sich auch als den zeitlichen Vor- oder Rücklauf des Phasenwinkels vorstellen.

Bei realen Signalen gibt es immer zwei komplexe Exponentiale mit gleicher Amplitude, die sich in entgegengesetzte Richtungen drehen, so dass sich ihre realen Teile kombinieren und imaginäre Teile aufheben, so dass nur eine reale Sinuskurve übrig bleibt. Deshalb hat das Spektrum einer Sinuswelle immer 2 Spitzen, eine positive Frequenz und eine negative. Abhängig von der Phase der beiden Spiralen können sie sich aufheben und eine reine Sinuswelle oder eine echte Cosinuswelle oder eine rein imaginäre Sinuswelle usw. hinterlassen.

Die negativen und positiven Frequenzkomponenten sind beide erforderlich, um das reale Signal zu erzeugen. Wenn Sie jedoch bereits wissen, dass es sich um ein reales Signal handelt, liefert die andere Seite des Spektrums keine zusätzlichen Informationen, sodass es häufig von Hand gewellt und ignoriert wird. Für den allgemeinen Fall komplexer Signale müssen Sie beide Seiten des Frequenzspektrums kennen.

— Endolith
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Ich mag diese Beschreibung; Ich denke, das Diagramm erklärt es gut.

— Jason R

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@ endolith Schöner Beitrag - ich habe das übrigens aus Lyons Buch gesehen. Mir scheint, dass der eigentliche „Ausgangspunkt“ für alle Schwingungen im komplexen Bereich liegt und dass wir nur realistische Schwingungen messen können, die auf der realen Achse auftreten. Wenn also eine physikalische Welle gemessen wird, wird sie in den komplexen Bereich zurückgeführt, in dem wir ihre Komponenten im Uhrzeigersinn und gegen den Uhrzeigersinn sehen. Was lustig ist, weil "echte" Signale "doppelt so kompliziert" sind wie komplexe ...

— Spacey

@Mohammad: Ich weiß nicht, dass komplexe Exponentiale "grundlegender" sind als Sinuskurven im Allgemeinen, obwohl dies bei der Fourier-Transformation der Fall ist. Sie können komplexe Exponentiale durch Hinzufügen von Sinuskurven und Sinuskurven durch Hinzufügen komplexer Exponentiale erzeugen. Sie funktionieren alle nur. Sinuskurven werden im Allgemeinen von Kreisen abgeleitet, die in der komplexen Ebene liegen oder nur die Höhe eines Punkts auf einem sich drehenden Rad sein können.

— Endolith

@ Endolith Richtig. Darauf habe ich in meinem Beitrag hingewiesen. So oder so toller Beitrag (und danke für den Querverweis). Habe ein positives Votum! :-)

— Spacey

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@Goldname Die positiven und negativen Cisoide werden addiert. Die Realteile sind in Phase und Summe, die Imaginärteile sind gegenpolig und heben auf

— Endolith

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Nehmen wir an, Sie hatten ein durchdrehendes Rad. Wie würden Sie beschreiben, wie schnell es dreht? Sie würden wahrscheinlich sagen, es dreht sich mit XUmdrehungen pro Minute (U / min). Wie übermitteln Sie nun, in welche Richtung sich diese Zahl dreht? Es ist die gleiche XDrehzahl, wenn es sich im oder gegen den Uhrzeigersinn dreht. Also kratzen Sie sich am Kopf und sagen, na ja, hier ist eine kluge Idee: Ich werde die Konvention von verwenden, +Xum anzuzeigen, dass es sich im Uhrzeigersinn und -Xgegen den Uhrzeigersinn dreht . Voila! Sie haben negative RPMs erfunden!

Die negative Frequenz unterscheidet sich nicht von dem obigen einfachen Beispiel. Eine einfache mathematische Erklärung, wie die negative Frequenz auftaucht, ergibt sich aus den Fourier-Transformationen von Sinuskurven mit reinem Ton.

Betrachten Sie das Fourier-Transformationspaar eines komplexen Sinus: (ohne konstanter Multiplikator-Terme). Für eine reine Sinuskurve (real) haben wir aus Eulers Beziehung: $e^{\jmath \omega_0 t}\longleftrightarrow \delta(\omega+\omega_0)$

\cos (ω_{0} t) = \frac{e^{ȷ ω_{0} t} + e^{- ȷ ω_{0} t}}{2}

$\cos(\omega_0 t)=\frac{e^{\jmath \omega_0t}+e^{-\jmath \omega_0 t}}{2}$

und daher sein Fourier-Transformationspaar (wiederum ohne Berücksichtigung konstanter Multiplikatoren):

\cos (ω_{0} t) ⟷ δ (ω + ω_{0}) + δ (ω - ω_{0})

$\cos(\omega_0 t)\longleftrightarrow \delta(\omega+\omega_0) + \delta(\omega-\omega_0)$

Sie können sehen, dass es zwei Frequenzen hat: eine positive bei und eine negative bei per Definition! Der Komplex Sinuskurve von ist weit verbreitet , weil es unglaublich nützlich ist unsere mathematischen Berechnungen zu vereinfachen. Es hat jedoch nur eine Frequenz und eine echte Sinuskurve hat tatsächlich zwei. $\omega_0$ $-\omega_0$ $ae^{\jmath \omega_0 t}$

— Lorem Ipsum
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Vielen Dank für die Antwort - ich verstehe die Mathematik - und das ist etwas Grundlegendes, von dem ich weiß, aber es gibt uns keine Informationen über die physikalische Bedeutung. Richtung 'der Phasenänderung. Gerecht genug, aber warum hat eine Sinuskurve zwei Frequenzen, eine positive und eine negative? Liegt es daran, dass die Fouriertransformation 'zeitunabhängig' ist und Sie daher eine echte Sinuskurve in der realen Zeitrichtung betrachten können, Ihre + ve erhalten und dieselbe Welle in der Zeit rückwärts betrachten und Ihre -ve erhalten können? Vielen Dank.

— Spacey

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Ich bin mir nicht sicher, ob es eine konkrete Antwort auf Ihre Verwirrung gibt. Der Inhalt bei negativen Frequenzen ist eine Folge der Definition der Fourier-Transformation und hat keine direkte physikalische Bedeutung. Die Fourier-Transformation ist von Natur aus keine "physikalische" Operation, muss es also nicht. Die Frequenz einer Sinuskurve ist die zeitliche Ableitung der Phase, nicht mehr. Negative Frequenzen sind nur ein mathematisches Artefakt, an dem manche Menschen hängen bleiben, ähnlich wie bei der Verwendung von "imaginären" Teilen komplexer Zahlen. Sie sind Analysewerkzeuge, die zur Modellierung verwendet werden und in der physischen Welt nicht unbedingt vorhanden sind.

— Jason R

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@Mohammad Da stimme ich Jason zu. Irgendwann kann der Versuch, eine "physikalische" Erklärung zu konstruieren, die Sache nur noch verschlimmern. Ich bin mir nicht sicher, ob ich es besser erklären kann ...

— Lorem Ipsum

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Eine mögliche Erklärung ist, dass vom Standpunkt der Fouriertransformation eine echte Sinuskurve "wirklich" die Summe von zwei komplexen Sinuskurven ist, die sich in entgegengesetzte Richtungen drehen. Verwenden der Radanalogie: Stellen Sie sich zwei Räder am Ursprung eines Koordinatensystems vor, die sich mit derselben Geschwindigkeit, aber in entgegengesetzten Richtungen drehen, wobei jeder Stift bei (1,0) beginnt. Addieren Sie nun die Koordinaten beider Stifte: y ist immer 0 und x ist eine echte Sinuskurve.

— Sebastian Reichelt

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@Mohammad Was bedeuten imaginäre Zahlen für Sie im physischen Sinne?

— Lorem Ipsum

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Gegenwärtig ist mein Standpunkt (er kann sich ändern) der folgende

Bei sinusförmiger Wiederholung sind nur positive Frequenzen sinnvoll. Die physikalische Interpretation ist klar. Für komplexe exponentielle Wiederholungen sind sowohl positive als auch negative Frequenzen sinnvoll. Es kann möglich sein, negative Frequenzen physikalisch zu interpretieren. Diese physikalische Interpretation der negativen Frequenz hat mit der Richtung der Wiederholung zu tun.

Die Definition der Häufigkeit im Wiki lautet: "Häufigkeit ist die Häufigkeit, mit der ein sich wiederholendes Ereignis pro Zeiteinheit auftritt."

Wenn man sich an diese Definition hält, ist eine negative Frequenz nicht sinnvoll und hat daher keine physikalische Interpretation. Diese Definition der Frequenz ist jedoch für komplexe exponentielle Wiederholungen, die auch eine Richtung haben können, nicht gründlich.

e^{j ω n} = \cos (ω n) + j Sünde (ω n)

$e^{j\omega n} = \cos( \omega n) + j\, \sin(\omega n)$

X [n] = \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} d ω X (e^{j ω}) e^{j ω n}

$x[n]= \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi}\!\!\!d\omega \;\;\;\;X(e^{j\omega}) e^{j\omega n}$

Dies ist jedoch äquivalent zu

X [n] = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{π} d ω [ein (ω) \cos (ω n) + b (ω) Sünde (ω n)] = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{π} d ω α (ω) Sünde (ω n + ϕ (ω))]

$x[n] = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{\pi}\!\!d\omega \;\;[a(\omega) \cos(\omega n) + b(\omega) \sin(\omega n)] = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{\pi}\!\!d\omega \;\; \alpha(\omega) \sin(\omega n + \phi(\omega))]$

Anstatt also eine positive "Sinusfrequenzachse" zu betrachten, wird eine negative und eine positive "komplexe Exponentialfrequenzachse" betrachtet. Auf der "komplexen Exponentialfrequenzachse" ist für reale Signale bekannt, dass der negative Frequenzteil redundant ist und nur die positive "komplexe Exponentialfrequenzachse" berücksichtigt wird. Indem wir diesen Schritt implizit ausführen, wissen wir, dass die Frequenzachse eine komplexe exponentielle Wiederholung und keine sinusförmige Wiederholung darstellt.

Die komplexe exponentielle Wiederholung ist eine Kreisrotation in der komplexen Ebene. Um eine sinusförmige Wiederholung zu erzeugen, sind zwei komplexe exponentielle Wiederholungen erforderlich, eine im Uhrzeigersinn und eine gegen den Uhrzeigersinn. Wenn ein physikalisches Gerät konstruiert ist, das eine sinusförmige Wiederholung erzeugt, die durch die Erzeugung der sinusförmigen Wiederholung in der komplexen Ebene inspiriert ist, dh durch zwei physikalisch rotierende Geräte, die sich in entgegengesetzte Richtungen drehen, kann von einem der rotierenden Geräte ein Negativ gesprochen werden Frequenz und damit die negative Frequenz hat eine physikalische Interpretation.

— Niaren
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Ich mag deine Erklärung ... langsam taucht ein Bild auf, siehe meine Antwort / Bearbeitung auf Frage.

— Spacey

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In vielen gängigen Anwendungen haben negative Frequenzen überhaupt keine direkte physikalische Bedeutung. Stellen Sie sich einen Fall vor, in dem in einem Stromkreis mit Widerständen, Kondensatoren und Induktivitäten eine Eingangs- und eine Ausgangsspannung vorhanden sind. Es gibt einfach eine echte Eingangsspannung mit einer Frequenz und es gibt eine einzige Ausgangsspannung mit derselben Frequenz, aber unterschiedlicher Amplitude und Phase.

Der EINZIGE Grund, warum Sie an dieser Stelle komplexe Signale, komplexe Fourier-Transformationen und Zeiger-Mathematik in Betracht ziehen, ist die mathematische Bequemlichkeit. Sie könnten es genauso gut mit ganz realer Mathematik machen, es wäre einfach viel schwieriger.

Es gibt verschiedene Arten von Zeit- / Frequenztransformationen. Die Fourier-Transformation verwendet eine komplexe Exponentialfunktion als Basisfunktion und erzeugt bei Anwendung auf eine einzelne reelle Sinuswelle zufällig ein zweiwertiges Ergebnis, das als positive und negative Frequenz interpretiert wird. Es gibt andere Transformationen (wie die diskrete Kosinustransformation), die überhaupt keine negativen Frequenzen erzeugen würden. Auch hier ist es eine Frage der mathematischen Bequemlichkeit. Die Fourier-Transformation ist oft die schnellste und effizienteste Methode, um ein bestimmtes Problem zu lösen.

— Hilmar
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Ich stimme zu, es ist sicherlich viel praktischer, im komplexen Bereich zu arbeiten - das „Problem“ taucht auf, weil einige Leute behaupten, dass negative Frequenzen keine physikalische Bedeutung haben, aber irgendwie Energie im Frequenzbereich besitzen. Nun, wenn sie nicht wirklich da sind, wo ist dann diese Energie?

— Spacey

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Sie sollten die Fourier-Transformation oder -Serie studieren, um die negative Frequenz zu verstehen. In der Tat hat Fourier gezeigt, dass wir mit einigen Sinuskurven alle Wellen zeigen können. Jede Sinuskurve kann mit zwei Spitzen bei der Frequenz dieser Welle gezeigt werden, eine in der positiven Seite und eine in der negativen. Der theoretische Grund ist also klar. Aber aus physikalischen Gründen sehe ich immer, dass die Leute sagen, negative Frequenz habe nur eine mathematische Bedeutung. Aber ich vermute eine physikalische Interpretation, bei der ich mir nicht sicher bin; Wenn Sie die Kreisbewegung als das Prinzip der Diskussion über die Wellen studieren, ist die Geschwindigkeitsrichtung der Bewegung auf dem Halbkreis umgekehrt zur anderen Hälfte. Dies kann der Grund sein, warum wir für jede Sinuswelle zwei Peaks auf beiden Seiten des Frequenzbereichs haben.

— Hossein
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Hossein, ja, ich stimme zu, es war eine Weile verwirrt. Ich warte auf Yoda auf sein Feedback, aber wenn es nur ein Zeichen für die Ableitung der Phase ist, dann sehe ich ein sprachliches Problem - vielleicht die Ursache für Verwirrung mit den vielen anderen Leuten, mit denen ich darüber gesprochen habe. Die physikalische Bedeutung einer 'Frequenz' ist die 'Schwingungsrate' von etwas, dh sie muss positiv sein. Hier unterscheiden sich meines Erachtens die Definitionen von denen der Physik.

— Spacey

w = 2 * π / T

$w=2∗π/T$

f = 1 / T

$f=1/T$

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Was bedeutet negativer Abstand? Eine Möglichkeit ist, dass es für Kontinuität ist, so dass Sie den Planeten Erde nicht jedes Mal auf den Kopf stellen müssen, wenn Sie über den Äquator gehen, und Ihre Position nach Norden mit einer kontinuierlichen ersten Ableitung zeichnen möchten.

Dasselbe gilt für die Frequenz, wenn man beispielsweise FM-Modulationen mit einer Modulation durchführen möchte, die breiter als die Trägerfrequenz ist. Wie würden Sie das planen?

— hotpaw2
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Siehe meine neue Antwort / Bearbeitung auf Frage

— Spacey

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Eine einfache Möglichkeit, über das Problem nachzudenken, besteht darin, eine stehende Welle abzubilden. Die stehende Welle (im Zeitbereich) kann als Summe von zwei sich entgegengesetzt bewegenden Wanderwellen dargestellt werden (im Frequenzbereich mit positivem und negativem k-Vektor oder + w und -w, was äquivalent ist). Hier kommt die Antwort, warum Sie zwei Frequenzkomponenten in der FFT haben. FFT ist im Grunde eine Summe (Faltung) vieler solcher entgegengesetzt laufender Wellen, die Ihre Funktion im Zeitbereich darstellen.

— user3320933
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Früher musste man die Antwort verdoppeln, um die richtige Antwort für die Macht zu erhalten. Wenn Sie jedoch von minus unendlich bis plus unendlich integrieren, erhalten Sie die richtige Antwort ohne das willkürliche Doppel. Also sagten sie, es müsse negative Frequenzen geben. Aber niemand hat sie jemals wirklich gefunden. Sie sind daher imaginär oder zumindest physikalisch ungeklärt.

— Doug Barr
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Dies hat sich als ziemlich heißes Thema herausgestellt.

Nachdem ich die reiche Menge an guten und unterschiedlichen Meinungen und Interpretationen gelesen und das Thema für einige Zeit in meinem Kopf köcheln lassen habe, glaube ich, eine physikalische Interpretation des Phänomens der negativen Frequenzen zu haben. Und ich glaube, die wichtigste Interpretation hier ist, dass Fourier blind für die Zeit ist. Dies weiter ausbauen:

Es wurde viel über die 'Richtung' der Frequenz geredet und somit darüber, wie sie + ve oder -ve sein kann. Obwohl die übergreifenden Erkenntnisse der Autoren, dass dies nicht verloren geht, nicht mit der Definition der zeitlichen Häufigkeit vereinbar sind, müssen wir zunächst unsere Begriffe sehr sorgfältig definieren. Zum Beispiel:

Die Entfernung ist ein Skalar (kann immer nur + ve sein), während die Verschiebung ein Vektor ist. (dh hat Richtung, kann + ve oder -ve sein, um Überschrift zu veranschaulichen).
Geschwindigkeit ist ein Skalar (kann nur + ve sein), während Geschwindigkeit ein Vektor ist. (dh hat wieder Richtung und kann + ve oder -ve sein).

Also aus den gleichen Gründen,

Die zeitliche Frequenz ist ein Skalar (kann nur + ve sein)! Die Frequenz wird als Anzahl der Zyklen pro Zeiteinheit definiert. Wenn dies die akzeptierte Definition ist, können wir nicht einfach behaupten, dass es in eine "andere Richtung" geht. Immerhin ist es ein Skalar. Stattdessen müssen wir einen neuen Begriff definieren - das Vektoräquivalent der Frequenz. Vielleicht wäre „Winkelfrequenz“ hier die richtige Terminologie, und genau das misst eine digitale Frequenz.

Jetzt sind wir plötzlich im Geschäft, die Anzahl der Umdrehungen zu messen unsere Aufgabe, pro Zeiteinheit (eine Vektorgröße, die eine Richtung haben kann) zu messen, GEGEN die Anzahl der Wiederholungen einer physikalischen Schwingung.

Wenn wir also nach der physikalischen Interpretation negativer Frequenzen fragen, fragen wir implizit auch, wie skalar und sehr real die Anzahl der Schwingungen pro Zeiteinheit eines physikalischen Phänomens wie Wellen an einem Strand, sinusförmiger Wechselstrom über einem Draht gemessen wird. ordnen Sie dieser Winkelfrequenz zu, die nun plötzlich eine Richtung hat, entweder im Uhrzeigersinn oder gegen den Uhrzeigersinn.

Von hier aus müssen zwei Tatsachen beachtet werden, um zu einer physikalischen Interpretation der negativen Frequenzen zu gelangen. Der erste ist, dass, wie Fourier hervorhob, ein oszillierender reeller Ton mit skalarer zeitlicher Frequenz f konstruiert werden kann, indem zwei oszillierende komplexe Töne mit Vektorwinkelfrequenzen + w und -w zusammenaddiert werden.

\cos (ω_{0} t) = \frac{e^{ȷ ω_{0} t} + e^{- ȷ ω_{0} t}}{2}

$\cos(\omega_0 t)=\frac{e^{\jmath \omega_0t}+e^{-\jmath \omega_0 t}}{2}$

Das ist toll, aber na und? Nun, die komplexen Töne drehen sich in entgegengesetzte Richtungen. (Siehe auch Sebastians Kommentar). Aber welche Bedeutung haben hier die "Richtungen", die unseren Winkelfrequenzen ihren Vektorstatus geben? Welche physikalische Größe spiegelt sich in der Drehrichtung wider? Die Antwort ist Zeit. Im ersten komplexen Ton läuft die Zeit in die + ve Richtung und im zweiten komplexen Ton läuft die Zeit in die -ve Richtung. Die Zeit läuft rückwärts.

Unter Berücksichtigung dieser Tatsache und mit einer kurzen Ablenkung, um sich daran zu erinnern, dass die zeitliche Frequenz die erste Ableitung der Phase in Bezug auf die Zeit ist (einfach die Änderung der Phase im Laufe der Zeit), beginnt alles zu passen:

Die physikalische Interpretation negativer Frequenzen lautet wie folgt:

Meine erste Erkenntnis war, dass Fourier zeitunabhängig ist . Das heißt, wenn Sie darüber nachdenken, gibt es in der Fourier-Analyse oder der Transformation selbst nichts, was Ihnen sagen könnte, in welche Richtung die Zeit geht. Stellen Sie sich nun ein physikalisch oszillierendes System vor (dh eine reale Sinuskurve, beispielsweise ein Strom über einen Draht), das mit einer skalaren Zeitfrequenz oszilliert , f .

Stellen Sie sich vor, Sie schauen auf dieser Welle in die vorwärts gerichtete Richtung der Zeit, während sie fortschreitet. Stellen Sie sich nun vor, Sie berechnen die Phasendifferenz zu jedem Zeitpunkt, zu dem Sie weiter voranschreiten. Dies gibt Ihnen Ihre skalare zeitliche Frequenz und Ihre Frequenz ist positiv. So weit, ist es gut.

Aber Moment mal - wenn Fourier blind für die Zeit ist, warum sollte es dann nur Ihre Welle in der Vorwärtsrichtung der Zeit berücksichtigen? Diese Richtung ist in der Zeit nichts Besonderes. Aus Symmetriegründen muss also auch die andere Zeitrichtung berücksichtigt werden. Stellen Sie sich also vor, Sie schauen auf dieselbe Welle (dh rückwärts) in der Zeit ) und führen die gleiche Delta-Phasen-Berechnung durch. Da die Zeit jetzt rückwärts läuft und Ihre Frequenz sich in der Phase ändert (negative Zeit), ist Ihre Frequenz jetzt negativ!

Was Fourier wirklich sagt, ist, dass dieses Signal Energie hat, wenn es rechtzeitig im Frequenzbereich f vorwärts abgespielt wird, aber auch Energie hat, wenn es rechtzeitig rückwärts abgespielt wird, wenn auch im Frequenzbereich -f. In gewissem Sinne MUSS es so lauten, weil Fourier keine Möglichkeit hat, die "wahre" Richtung der Zeit zu "kennen"!

Wie erfasst Fourier das? Nun, um die Richtung der Zeit anzuzeigen, muss eine Art Rotation erfolgenverwendet werden, so dass eine Drehung im Uhrzeigersinn das Signal im Vorwärtspfeil der Zeit "betrachtet" und eine Drehung gegen den Uhrzeigersinn das Signal "betrachtet", als ob die Zeit rückwärts verlaufen würde. Die uns allen bekannte skalare zeitliche Frequenz sollte nun gleich dem (skalierten) Absolutwert unserer Vektorwinkelfrequenz sein. Aber wie kann ein Punkt, der die Verschiebung einer Sinuswelle anzeigt, nach einem Zyklus an seinem Startpunkt ankommen und sich gleichzeitig um einen Kreis drehen und eine Manifestation der von ihm angezeigten zeitlichen Frequenz aufrechterhalten? Nur wenn die Hauptachsen dieses Kreises aus der Messung der Verschiebung dieses Punktes relativ zur ursprünglichen Sinuskurve und einer um 90 Grad versetzten Sinuskurve bestehen. (Dies ist genau, wie Fourier seinen Sinus und Cosinus berechnet, gegen die Sie projizieren, wenn Sie eine DFT durchführen!). Und schließlich, wie halten wir diese Äxte getrennt? Das 'j' garantiert, dass die Größe auf jeder Achse immer unabhängig von der Größe auf der anderen ist, da reale und imaginäre Zahlen nicht addiert werden können, um in beiden Bereichen eine neue Zahl zu erhalten. (Aber das ist nur eine Randnotiz).

Also zusammenfassend:

Die Fourier-Transformation ist zeitunabhängig. Es kann nicht die Richtung der Zeit sagen. Dies ist das Herzstück negativer Frequenzen. Da Frequenz = Phasenwechsel / Zeit ist, sagt Fourier jedes Mal, wenn Sie die DFT eines Signals nehmen, dass, wenn die Zeit vorwärts geht, sich Ihre Energie auf der + ve Frequenzachse befindet, aber wenn Ihre Zeit rückwärts geht, ist Ihre Energie befindet sich auf der -ve Frequenzachse.

Wie unser Universum zuvor gezeigt hat , müssen beide Seiten der DFT symmetrisch sein, und warum die Existenz negativer Frequenzen notwendig und in der Tat sehr real ist, gerade weil Fourier die Richtung der Zeit nicht kennt .

— Spacey
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Ich denke, Sie lesen ein bisschen zu viel darüber, um eine Antwort zu rechtfertigen, für die Sie sich bereits entschieden haben. Die Wurzeln "negativer" Frequenzen wurden in anderen Antworten aufgezeigt. Die Fourier-Transformation verwendet komplexe Exponentiale als Basisfunktionen. Ihre komplexe Natur ermöglicht es, das Vorzeichen der Frequenz des Exponentials mit zunehmender Zeit zu unterscheiden. Komplexe Exponentiale sind von Interesse, weil sie Eigenfunktionen linearer zeitinvarianter Systeme sind. Das macht die FT sehr nützlich als Signal- und Systemanalysewerkzeug.

— Jason R

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Die negativen Frequenzen, die bei der komplex-exponentiellen Zerlegung von Signalen auftreten, sind Teil des Pakets, das mit der Verwendung der Fourier-Transformation einhergeht. Es ist nicht erforderlich, eine komplizierte, qualitative Erklärung für ihre Bedeutung zu finden.

— Jason R

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Ich denke auch, dass Ihre erste Kugel falsch sein könnte. Ich habe immer gehört, dass Distanz als Skalar bezeichnet wird, während Verschiebung eine Vektorgröße ist.

— Jason R

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Zusätzlich zu dem, was Jason gesagt hat, kann ich den "physischen" Aspekt in dieser Antwort, den Sie sagten, in allen anderen nicht sehen ...

— Lorem Ipsum

@JasonR Ich weiß , dass mein Beitrag ist lang, aber bitte Sie versuchen , meine Post (vollständig) bevor kommentieren es in der Zukunft zu lesen. Wenn Sie dies tun, werden Sie feststellen, dass es nicht kompliziert ist, aber gut zu dem passt, was wir bisher wissen. Sie werden sehen, wie meine Erklärung tatsächlich aus allen früheren Antworten und meiner Literaturrecherche abgeleitet und aufgebaut wird .

— Spacey