Zufallssignale als Leistungssignale

Warum werden Zufallssignale als Leistungssignale betrachtet (dh Signale mit unendlicher Energie und endlicher Durchschnittsleistung)?

Ist das sinnvoll? Was bedeutet es für zufällige Signale, unendliche Energie zu haben, obwohl wir wissen, dass reale Signale (normalerweise mit inhärenter Zufälligkeit) endliche Energie haben!

— Wahrscheinlich
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Sie machen mehrere Aussagen, die nicht oder nur zur Hälfte wahr sind. Zunächst definieren Sie ein Modell für Ihr Zufallssignal. Wenn dieses Modell unendlich viel Energie hat, ist das deine Schuld. Dann ist das Universum endlich und die Sonne wird eines Tages sterben, aber für alle praktischen Zwecke sind alle natürlich vorkommenden Geräuschquellen eine unendliche Energiequelle.

— Marcus Müller

@ MarcusMüller Ok. Sie sagen also im Grunde, dass dies nur für zufällige Signale gilt, bei denen das Rauschen von einer natürlich vorkommenden Quelle stammt (wie z. B. Brownsche Bewegung). Ist das korrekt?

— Wahrscheinlich

Nein das ist nicht richtig.

— Marcus Müller

Genauso wie

\sin (w t)

$\sin(wt)$ hat unendliches Ausmaß, ist ein mathematisches Konstrukt und keine pysische (praktische) Realität, die mathematische Definition eines zufälligen Prozesses sollte unendliche Energie haben: Das Energieintegral kann nicht konvergieren, weil man das nicht zeigen kann

X (t)

$X(t)$ geht auf Null als

t

$t$ geht ins Unendliche (wie Sie zeigen müssen, damit das Integral konvergent ist). Denn wenn Sie es zeigen könnten, dann

X (t)

$X(t)$ würde ein deterministisches Signal werden, wenn t gegen unendlich geht ... (da sein Wert mit Sicherheit vorhergesagt wird, was 0 im Grenzwert ist).

— Fat32

Ja, es geht um die mathematische Definition eines zufälligen Prozesses. Andererseits wird jede praktische Anwendung nur ein begrenztes Ausmaß eines solchen Prozesses beobachten und daher eine große, aber endliche Energie haben. Dieses Thema ist so ähnlich wie das Beobachten eines Gleichstromsignals. Das wahre Gleichstromsignal sollte eine unendliche Ausdehnung haben, daher unendliche Energie. Aber das Praktische wird es nicht. Als Konsequenz aus dieser Tatsache wird der Fourier der wahren DC - Transformation ist ein Impuls (Amplitude unendlich) , während die FT eines Fenster (praktisch) DC ist ein sinc-Impuls , finite bewertet, endliche Energie.

— Fat32

Antworten:

Beachten Sie, dass die Bedingung

\begin{matrix} (1) & \int_{- \infty}^{\infty} | f (t) |^{2} d t < \infty \end{matrix}

$\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^2dt<\infty\tag{1}$

(dh, dass das Signal $f(t)$ hat endliche Energie) ist sehr restriktiv, wenn wir versuchen, Signale zu modellieren, obwohl offensichtlich jedes tatsächlich auftretende Signal endliche Energie haben muss. Das Modellieren von Signalen als zufällige Prozesse bedeutet, dass wir die Bedingung ignorieren $(1)$ . Modelle sind bis zu einem gewissen Grad immer unrealistisch, aber viele Signale können durch zufällige Prozesse sehr gut beschrieben werden, obwohl die Signale endliche Energie haben und ihre Modelle dies nicht tun. Dieser Aspekt des Modells ist oft irrelevant.

Ein Beispiel, das dazu dienen kann, diese Tatsache ein wenig besser zu verstehen, ist das häufig verwendete Modell eines (weitsichtigen) stationären Prozesses. Bestimmte statistische Eigenschaften eines solchen Prozesses ändern sich im Laufe der Zeit nicht, und folglich werden Realisierungen eines solchen Prozesses im Allgemeinen nicht als verfallen $t\rightarrow\pm\infty$ , und $(1)$ wird im Allgemeinen nicht zufrieden sein, obwohl wir nur an den Eigenschaften dieses Prozesses während eines bestimmten endlichen Zeitfensters interessiert sind. Die Leistung und das Leistungsspektrum können jedoch für solche Prozesse definiert werden, und die praktischsten nützlichen Prozesse haben eine endliche Leistung (oder können leicht zu einer endlichen Leistung gebracht werden).

— Matt L.
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"Das Modellieren von Signalen als zufällige Prozesse bedeutet, dass wir Bedingung (1) ignorieren". Bedeutet dies, dass die Aussage, dass zufällige Signale keine endliche Energie haben können, sondern nur endliche Potenz, wahr ist? Es tut mir leid, wenn dies so aussieht, als würde ich zweimal dasselbe fragen, aber ich bin jetzt wirklich verwirrt und denke, ich brauche eine klare Antwort auf diese Frage.

— Wahrscheinlich

@ Wahrscheinlich: Ja, das stimmt, obwohl bestimmte Realisierungen eines zufälligen Prozesses theoretisch endliche Energie haben könnten.

— Matt L.

Ich denke einfach.

Wir wollen ein zufälliges physikalisches Phänomen zu Analysezwecken modellieren. Eine Möglichkeit besteht darin, es durch einen stochastischen Prozess zu modellieren $X(t)$ dh eine Zeitreihe von Zufallsvariablen $\left\lbrace X(t_k) = X(t=t_k), t_k \in \mathbb{R} \right\rbrace$ .

Die Zufallsvariable $X(t_k)$ ist mit einer Wahrscheinlichkeitsverteilungsfunktion (PDF) mit einigen endlichen Momenten verbunden (in typischen Fällen entspricht der 1. und 2. Moment dem Mittelwert und der Varianz), wiederum zu Analysezwecken.

Die Tatsache, dass das Ergebnis der Zufallsvariablen $X(t_k)$ kann unendlich sein, selbst mit sehr geringer Wahrscheinlichkeit, macht (im Allgemeinen) Energie aus Realisierungen des stochastischen Prozesses $X(t)$ unendlich in jeder zeitgesteuerten Version von $X(t)$ .

Was ist mit der Kraft?

P = lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{- T}^{+ T} | x (t) |^{2} d t

$P=\lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{-T}^{+T} |x(t)|^2 \mathrm{d}t$

Die Potenz kann endlich definiert werden, indem beispielsweise die Ergodizität von und endlichen Momenten angenommen wird. $P$ $X(t)$

Die Leute hielten diese Art von Modell für vernünftig, versuchten es zu verwenden und fanden, dass es zu vielen nützlichen Prozessen passt. Somit bleibt das Modell erhalten.

— AlexTP
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-1 für den Unsinn im vierten Absatz. Per Definition nehmen Zufallsvariablen Werte in , nicht in und daher können Realisierungen von über einen Zeitraum von ungleich Null keinen Wert , dh nichts zur Energie der Realisierung beitragen, ob Zeitfenster oder nicht.

R

$\mathbb R$

R +

$\mathbb R+$

X (t)

$X(t)$

\pm \infty

$\pm \infty$

— Dilip Sarwate

@ DilipSarwate danke, könnte ich verstehen, dass Realisierungen von Wert haben können , wenn Variablen Werte in annehmen (ist ?) über ein Intervall von ungleich Null? Und wie können Sie erklären, dass ein zeitfenstergesteuertes Zufallssignal unendlich viel Energie hat?

R +

$\mathbb{R}+$

(0, + \infty) \subset R

$(0,+\infty) \subset \mathbb{R}$

X (t)

$X(t)$

\pm \infty

$\pm \infty$

— AlexTP

In dem Grunde Ausstellungen der Theorie des Zufallsvariablen, eine Zufallsvariable ist eine Zuordnung von einem Probenraum zu und leugnet die Existenz jegliche Ergebnisse in , die gemappt werden : diese Werte sind nicht in . Eine formellere Darstellung erlaubt den Bereich , besteht jedoch darauf, dass die Menge aller Ergebnisse, die sind, ein Ereignis der Wahrscheinlichkeit . Nun Energie ist das Integral von und einem momentanen Wert von

Ω

$\Omega$

R

$\mathbb R$

ω

$\omega$

\pm \infty

$\pm\infty$

R

$\mathbb R$

R +

$\mathbb R+$

\pm \infty

$\pm \infty$

0

$0$

| x (t) |^{2}

$|x(t)|^2$

\pm \infty

$\pm \infty$ vermittelt keine Energie; du brauchstzu sein über ein Intervall von Null verschiedener Dauer ...

| x (t) |

$|x(t)|$

\infty

$\infty$

— Dilip Sarwate

... und wenn Ihr zufälliges Prozessmodell es zulässt, dass unzählige unendlich viele den Wert wie es sein muss, wenn eine Realisierung von treffen und dort für ein Intervall ungleich Null bleiben soll , Sie haben ernstere Probleme zu befürchten als Kleinigkeiten in Bezug auf Energie und Energie.

X (t_{k})

$X(t_k)$

\pm \infty

$\pm \infty$

X (t)

$X(t)$

\pm \infty

$\pm\infty$

— Dilip Sarwate

@ DilipSarwate Ich stimme Ihnen zu, dass meine Erklärung zu "Zufallssignal hat unendliche Energie" falsch ist. Und wenn ich das richtig verstehe, haben Sie gerade erklärt, dass ein zufälliges Prozessmodell nicht unzählige mit dem Wert zu beweisen, dass ich falsch lag. Können Sie mir eine Vorstellung davon geben, warum ein zufälliges Signal unendlich viel Energie hat? Die Antwort von Matt L "Signale als zufällige Prozesse zu modellieren bedeutet, dass wir den endlichen Energiezustand ignorieren" scheint vage. Vielen Dank

X (t_{k})

$X(t_k)$

\pm \infty

$\pm \infty$

— AlexTP

Zusätzlich zum Kommentar von Marcus Müller: Wenn ein Signal eine endliche Energie hat, muss der Signalwert nach ausreichend langer Zeit Null erreichen, aber für zufällige Signale haben Ihre Signale im Allgemeinen keine solche Einschränkung.

— Mohammad M.
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Aber was Sie sagen, bedeutet, dass zufällige Signale keine endliche Energie haben !! Daher ist es richtig zu sagen, dass sie stattdessen endliche Macht haben können!

— Wahrscheinlich

Betrachten Sie das thermische Rauschen eines Widerstands. Wenn Sie die Temperatur dieses Widerstands für immer ungleich Null halten könnten, hätte Ihr thermisches Rauschen unendlich viel Energie. Mit anderen Worten, wenn Sie es geschafft hätten, Energie aus dem thermischen Rauschen dieses Widerstands abzuleiten, würde seine Temperatur sinken, es sei denn Sie fügen diesem Widerstand Energie hinzu und halten seine Temperatur über Null.

— Mohammad M

@ Wahrscheinlich Das Problem der unendlichen Energie steigt, wenn die Amplitude des Signals divergiert oder unendlich lang ist.

— Mohammad M

Okay, das habe ich verstanden. Trotzdem verwirrst du mich. In Ihrer Antwort haben Sie eine Bedingung angegeben, dass Signale endliche Energie haben, und diese zufälligen Signale folgen ihr nicht, mit anderen Worten, zufällige Signale können keine endliche Energie haben. Jetzt geben Sie Bedingungen an, unter denen ein zufälliges Signal unendlich viel Energie haben kann, was praktisch unmöglich ist, was bedeutet, dass zufällige Signale keine unendliche Energie haben können. Am Ende kann ich nicht sagen, was wahr ist!

— Wahrscheinlich

Ich habe nicht gesagt, dass nicht alle Zufallssignale dieser Bedingung folgen. Sie könnten zufällige Prozesse (Zufallssignale) mit endlicher Energie definieren. In der Wissenschaft verwenden wir immer vereinfachende Annahmen, z. B. in der Himmelsmechanik nehmen wir an, dass die Erde nur ein Punkt ohne Dimension ist und überraschenderweise zufriedenstellende Ergebnisse erzielt.

— Mohammad M