Warum sollte man ein Hann- oder Bartlett-Fenster benutzen?

Angenommen, wir entwerfen einen Tiefpass-FIR-Filter, und ich möchte eines dieser drei Fenster verwenden: Bartlett, Hann oder Hamming. Aus der zeitdiskreten Signalverarbeitung von Oppenheim & Schafer , 2. Aufl . 471:}

Alle drei bieten die gleiche Übergangsbandbreite: wobei die Reihenfolge des Filters ist und als groß genug angenommen wird.

Δ ω = \frac{8 π}{N}

$\Delta\omega=\frac{8\pi}{N}$

N

$N$

Das Überschwingen (nennen wir es ) ist jedoch für jedes Fenster unterschiedlich, und die folgende Ungleichung gilt: $\delta$

δ_{H a m m i n g} < δ_{H a n n} < δ_{B a r t l e t t}

$\delta_{Hamming}<\delta_{Hann}<\delta_{Bartlett}$

Wenn wir also ein Hamming-Fenster verwenden, erhalten wir das kleinste Überschwingen und ein Übergangsband mit der Breite . Wenn wir eines der beiden anderen Fenster verwenden, ist die Breite des Übergangsbandes gleich, aber das Überschwingen nimmt zu. $\Delta\omega$

Dies lässt mich denken, dass es keinen Fall gibt, in dem man ein Hann- oder ein Bartlett-Fenster verwenden würde, da das Hamming-Fenster besser ist als sie: Es verbessert einen Aspekt ( ), bleibt in einem anderen gleich ( ). $\delta$ $\Delta\omega$

Die Frage ist: Warum sollte jemand ein Hann- oder ein Bartlett-Fenster wählen, wenn immer ein Hamming-Fenster verwendet werden kann?

— Tendero
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Könnten Sie etwas Klarheit schaffen - haben Sie Referenzen für diese Gleichungen? Was meinst du in diesem Zusammenhang mit "Überschwingen"?

— Martin Thompson

@ MartinThompson Ich habe gerade die Referenz hinzugefügt. Mit Überschwingen meine ich die Spitze des Frequenzgangs aufgrund der Diskontinuität des idealen Tiefpassfilters, an das man sich zu annähern versucht.

— Tendero

Bei der Überprüfung der Verdienstzahlen von Fred Harris für verschiedene Fenster (Tabelle 1 in diesem Link ) wird das Hamming mit dem Hanning (Hann) bei verschiedenen Werten von verglichen, und daraus wird klar, dass das Hanning eine stärkere Sperrbandunterdrückung liefern würde (The classic) Hann ist mit und aus der Tabelle ergibt sich ein Nebenkeulenabfall von -18 dB pro Oktave. Ich habe den Link bereitgestellt, da Sie bei der Auswahl eines Fensters für verschiedene Anwendungen viele weitere Überlegungen sehen können. $\alpha$ $\alpha =2$

Das Ergebnis ist offensichtlich, wenn die Kernel für ein Hann- und Hamming-Fenster mit 51 Stichproben unter Verwendung von Matlab / Octave verglichen werden. Beachten Sie den höheren ersten Nebenkeulenpegel bei Hann, aber insgesamt eine deutlich höhere Ablehnung:

Persönlich würde ich keines der Fenster für das Filterdesign verwenden. Wenn irgendein Fenster, würde ich das Kaiser-Fenster benutzen oder vorzugsweise Firls. Siehe FIR-Filterdesign: Fenster gegen Parks-McClellan und kleinste Quadrate für die entsprechende Diskussion.

Ich habe eine 26-Stichproben-Hann mit einer 26-Hamming-Probe zusammengestellt, um eine alternative 51-Stichproben-Hann-Hamming-Stichprobe mit folgendem Ergebnis zu erhalten:

UPDATE: Dieser Hann-Hamming übertrifft (im Allgemeinen) ein Kaiser-Fenster mit ähnlicher Hauptkeulenbreite nicht:

Ich habe dann versucht, was ich einen "SuperKaiser" nenne, bei dem ich zwei kürzere Kaiser-Fenster zusammengelegt habe, um ein alternatives 51-Tap-Fenster mit dem folgenden Ergebnis zu erhalten. Dies geschah, indem Kaiser (26,5,5) mit Kaiser (26,5,5) so gefaltet wurde, dass SuperKaiser (51,5,5) = conv (kaiser (26,5,5), kaiser (26,5,5). Auf den ersten Blick scheint es allgemein zu sein übertreffen den Kaiser (51, 12), passen sich der Hauptkeulenbreite an und bieten eine überlegene Sperrbandunterdrückung über den größten Teil des Sperrbands. Eine Integration des gesamten Sperrbandrauschens unter der Annahme von AWGN ist von Interesse, um festzustellen, ob dieses neue Fenster unter diesen Bedingungen überlegen ist (Gleicht der relative Bereich unter den ersten beiden Nebenkeulen, in dem SuperKaiser minderwertig ist, die verbleibende Verbesserung des Stoppbands vollständig aus?) Wenn ich Zeit habe, werde ich diese Einschätzung hinzufügen. Interessant! Wie @A Concerned Citizen scharfsinnig hervorhob,

— Dan Boschen
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Hallo Dan, danke für deine Antwort. Dieser Tisch hat etwas, das mir komisch vorkommt. Ich glaubte, dass das Hann-Fenster eindeutig definiert war . In diesem Artikel scheint es einen variablen Parameter . Woher kommt das? Wenn wir variieren , ist das Fenster streng genommen immer noch eine Hann-Funktion?

α

$\alpha$

α

$\alpha$

— Tendero

@Tendero Fred Harris erklärt ausführlich auf Seite 181 im Linkabschnitt C für die -Fenster, und dort sagt er, dass das Hann-Fenster speziell mit . Ich habe das in der Antwort klarer gemacht, danke!

C o s^{α} (X)

$Cos^{\alpha}(X)$

α = 2

$\alpha =2$

— Dan Boschen

@Tendero Unterm Strich fehlte meiner Meinung nach in Ihrer Referenztabelle, aber eine wichtige Überlegung ist der Abfall des Nebenlappens. Dies ist besonders bei Multisampling-Anwendungen von Bedeutung, da es viele Alias-Bänder geben kann, die sich einklappen, sodass ein schnelles Abrollen das Rauschwachstum minimiert. Auch im Interesse der Minimierung des Gesamtrauschens bei Vorhandensein von AWGN (nur) würde normalerweise ein schnelleres Abrollen auf Kosten einer höheren ersten Keule gewinnen.

— Dan Boschen

Dieser faszinierende Vergleich ließ mich ihn wiederholen, aber ich konnte nicht die gleichen Ergebnisse erzielen. Dann habe ich genauer hingeschaut und es sieht so aus, als ob Sie Kaisers Parameter nicht genau erreicht haben. Mit Hilfe der AsDesign, habe ich ganz in der Nähe mit As=108.5für N=32und N[hann]=17, N[ham]=16aber die Nebenkeulen des convolved Fenster ungleich sind und sie wackeln über Kaiser. Ich habe Leute gesehen, die zwei oder mehr Fenster "vermischt" haben, aber entweder als arithmetisches oder geometrisches Mittel, nie gefaltet. Trotzdem sind die Ergebnisse beeindruckend.

— ein besorgter Bürger

@aconcernedcitizen Ja, daran stimmte etwas nicht, und tatsächlich habe ich zu schnell 30 und 31 verwendet, um ein "äquivalentes" 51-Tap-Fenster zu erstellen: Ich habe ein 60-Beispiel-Fenster mit einem 51-Tap-Kaiser verglichen - nicht fair! Ich habe den Beitrag aktualisiert, indem ich 26 und 26 gefaltet habe, was zu 51 Stichproben führt, was dann ein fairer Vergleich wäre, und natürlich scheint Kaiser für die Gesamtleistung zu gewinnen (obwohl ich kein integriertes Gesamtstoppbandrauschen durchlaufen habe). Das Falten scheint eine natürliche Wahl zu sein, da es zur Multiplikation der Frequenzgänge führt, was einer Kaskadierung von zwei Fenstern entspricht.

— Dan Boschen

Wenn es einen Angreifer gibt, der das Fenster kennt und versucht, das Rauschspektrum so zu fokussieren, dass Ihr Rauschabstand minimiert wird, ist möglicherweise eine Minimax-Lösung wie ein Hamming-Fenster der optimale Zähler.

Das meiste Rauschen ist in der Regel nicht so absichtlich böswillig, was eine Minimax-Lösung zumindest statistisch gesehen weniger optimal macht.

— hotpaw2
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