Quantisierungsrauschen für kohärente Probenahme

Update: Siehe zusätzliche Gedanken am Ende dieses Beitrags.

Unter allgemeinen Abtastbedingungen, die nicht durch das unten Beschriebene eingeschränkt sind (Signal nicht mit dem Abtasttakt korreliert), wird das Quantisierungsrauschen häufig als gleichmäßige Verteilung über einen Quantisierungspegel geschätzt. Wenn zwei ADCs mit I- und Q-Pfaden kombiniert werden, um die Abtastung eines komplexen Signals zu erzeugen, weist das Quantisierungsrauschen sowohl Amplituden- als auch Phasenrauschkomponenten auf, wie nachstehend simuliert. Wie gezeigt, hat dieses Rauschen eine dreieckige Verteilung, wenn die I- und Q-Komponenten gleichermaßen zu Amplitude und Phase beitragen, beispielsweise wenn sich ein Signal in einem Winkel von 45 ° befindet, und ist gleichmäßig, wenn sich das Signal auf der Achse befindet. Dies wird erwartet, da das Quantisierungsrauschen für jedes I und Q nicht korreliert ist, so dass sich die Verteilungen zusammenfalten, wenn beide zum Ausgabeergebnis beitragen.

Die Frage ist, ob sich diese Verteilung des Phasenrauschens für Fälle kohärenter Abtastung signifikant ändert (vorausgesetzt, der Abtasttakt selbst weist ein weit überlegenes Phasenrauschen auf, also kein Faktor). Insbesondere versuche ich zu verstehen, ob kohärente Abtastung das quantisierungsbedingte Phasenrauschen signifikant reduziert. Dies wäre direkt auf die Taktsignalerzeugung anwendbar, bei der die Kohärenz leicht aufrechterhalten werden würde.

Betrachten Sie sowohl reale Signale (ein ADC) als auch komplexe Signale (zwei ADCs; eines für I und eines für Q, die zusammen eine einzelne komplexe Probe beschreiben). Bei realen Signalen ist der Eingang eine Sinuswelle im Vollmaßstab, und der Phasenterm wird aus dem analytischen Signal abgeleitet. Jitter im Zusammenhang mit Änderungen des Nulldurchgangs eines Sinustons wäre ein Beispiel für das resultierende Phasenrauschen für ein reales Signal. Für den Fall komplexer Signale ist der Eingang ein Vollausschlag , wobei die realen und imaginären Komponenten jeweils Sinuswellen im Vollausschlag wären. $Ae^{j \omega t}$

Dies hängt mit dieser Frage zusammen, bei der die kohärente Abtastung gut beschrieben ist, das Phasenrauschen jedoch speziell nicht erwähnt wurde:

Kohärente Probenahme und Verteilung des Quantisierungsrauschens

Um die induzierten AM- und PM-Rauschkomponenten klarer zu beschreiben, habe ich die folgende Grafik für den Fall einer komplexen Quantisierung hinzugefügt, die einen komplexen Vektor in kontinuierlicher Zeit zu einem bestimmten Abtastzeitpunkt und die zugehörige quantisierte Probe als roten Punkt zeigt, wobei linear angenommen wird gleichmäßige Verteilung der Quantisierungspegel des Real- und Imaginärteils des Signals.

Vergrößern des Ortes, an dem die Quantisierung in der obigen Grafik erfolgt, um den induzierten Amplitudenfehler und Phasenfehler zu veranschaulichen:

Somit ist ein beliebiges Signal gegeben

\begin{aligned} s (t) & = a (t) e^{j ω t} \\ = a (t) \cos (ω t) + j a (t) \sin (ω t) \\ = i (t) + j q (t) \end{aligned}

$\begin{align} s(t) &= a(t) e^{j\omega t} \\ &= a(t) \cos(\omega t) + j a(t) \sin(\omega t) \\ &= i(t) + j q(t) \\ \end{align}$

Das quantisierte Signal ist der nächstgelegene Abstandspunkt, der durch gegeben ist

s_{k} = i_{k} + j q_{k}

$s_k = i_k+ j q_k$

$i_k$ $q_k$

Q {x} = Δ ⌊ \frac{x}{Δ} + \frac{1}{2} ⌋

$\mathcal{Q}\{x\} = \Delta \Bigl \lfloor \frac{x}{\Delta}+\tfrac{1}{2} \Bigr \rfloor$

$\lfloor (\cdot) \rfloor$ $\Delta$

\begin{aligned} i_{k} = Q {i (t_{k})} \\ q_{k} = Q {q (t_{k})} \end{aligned}

$\begin{align} i_k = \mathcal{Q}\{i(t_k)\} \\ q_k = \mathcal{Q}\{q(t_k)\} \\ \end{align}$

$|s(t_k)|-|s_k|$ $t_k$ $s(t)$ $s_k$

$\arg\{s(t_k)\} - \arg\{s_k\} = \arg\{s(t_k) \cdot (s_k)^*\}$

Die Frage für diesen Beitrag ist, wie die Phasenkomponente beschaffen ist, wenn der Abtasttakt dem Eingangssignal (einem ganzzahligen Vielfachen) entspricht.

Um zu helfen, hier sind einige simulierte Verteilungen der Amplituden- und Phasenfehler für den komplexen Quantisierungsfall mit 6-Bit-Quantisierung auf I und Q. Für diese Simulationen wird angenommen, dass das tatsächliche Signal "Wahrheit" gleich wahrscheinlich irgendwo in einer Quantisierung ist Sektor definiert als das in der obigen Abbildung gezeigte Gitter. Beachten Sie, dass, wenn sich das Signal entlang eines der Quadranten befindet (entweder alle I oder alle Q), die Verteilung wie erwartet im Einzel-ADC-Fall mit realen Signalen gleichmäßig ist. Wenn sich das Signal jedoch in einem Winkel von 45 ° befindet, ist die Verteilung dreieckig. Dies ist sinnvoll, da in diesen Fällen das Signal gleiche I- und Q-Beiträge hat, die jeweils unkorrelierte Gleichverteilungen sind; Die beiden Verteilungen sind also dreieckig.

Nach dem Drehen des Signalvektors auf 0 ° sind die Größen- und Winkelhistogramme erwartungsgemäß viel gleichmäßiger:

Update: Da wir noch eine Antwort auf die spezifische Frage benötigen (Ollis Antwort unten bot eine gute Klarstellung der Eigenschaften des Rauschens, die zu meiner Aktualisierung der dreieckigen und gleichmäßigen Rauschdichten führten, aber der Eigenschaften des Phasenrauschens unter kohärente Stichprobenbedingungen sind immer noch schwer fassbar.) Ich biete die folgenden Gedanken an, die eine tatsächliche Antwort oder einen weiteren Fortschritt hervorrufen können (Beachten Sie, dass dies viele Gedanken sind, die möglicherweise falsch sind, aber im Interesse, zu der Antwort zu gelangen, die ich noch nicht habe):

Beachten Sie, dass unter kohärenten Abtastbedingungen die Abtastrate ein ganzzahliges Vielfaches der Eingangsfrequenz ist (und auch phasenverriegelt ist). Dies bedeutet, dass es immer eine ganzzahlige Anzahl von Abtastwerten gibt, wenn wir uns einmal für ein komplexes Signal und eine Abtastung durch die komplexe Ebene drehen, oder eine ganzzahlige Anzahl von Abtastwerten eines Zyklus einer Sinuskurve für ein reales Signal und eine Abtastung (einzelner ADC).

Und wie beschrieben nehmen wir den Fall an, dass der Abtasttakt selbst weit überlegen ist und nicht als Beitrag betrachtet wird. Daher landen die Proben jedes Mal genau an der gleichen Stelle.

Wenn wir im Fall des realen Signals nur die Nulldurchgänge bei der Bestimmung des Phasenrauschens berücksichtigen würden, wäre das Ergebnis der kohärenten Abtastung nur eine feste, aber konsistente Verschiebung der Verzögerung (obwohl die ansteigenden und abfallenden Flanken unterschiedliche Verzögerungen aufweisen können wenn die Kohärenz eine ungerade ganze Zahl ist). In dem komplexen Abtastfall geht es eindeutig um Phasenrauschen bei jeder Probe, und ich vermute, dass dies auch für den realen Fall gleich wäre (mein Verdacht ist, dass die Zeitverzögerung einer Probe zu jedem Zeitpunkt von "Wahrheit" die ist Phasenrauschkomponente, aber dann bin ich verwirrt, wenn ich doppelt zähle, was auch die Amplitudendifferenz ist ...) Wenn ich Zeit habe, werde ich dies simulieren, da alle Verzerrungen bei ganzzahligen Harmonischen des Eingangssignals angezeigt werden, wenn das sich wiederholende Muster über eins liegt Zyklus, und der Test der Phase gegenüber der Amplitude wäre die relative Phase der Harmonischen gegenüber der Grundwelle - was durch Simulation oder Berechnung interessant wäre, wäre, wenn sich diese Harmonischen (die für ein reales Signal alle komplexe konjugierte Gegenstücke hätten) summieren würden in Quadratur mit der Grundwelle oder in Phase, und somit gezeigt, dass alles Phasenrauschen, alles Amplitudenrauschen oder eine Zusammensetzung von beiden ist. (Der Unterschied zwischen einer geraden und einer ungeraden Anzahl von Proben kann dies möglicherweise bewirken.)

Für den Fall eines Komplexes kann Ollis Grafik, die mit einer angemessenen Anzahl von Proben erstellt wurde, weitere Erkenntnisse liefern, wenn er den Probenort auf "Wahrheit" zeigt, der mit jeder gezeigten quantisierten Probe verbunden ist. Wieder sehe ich die Möglichkeit eines interessanten Unterschieds, wenn es eine ungerade oder gerade Anzahl von Abtastwerten gibt (seine Grafik war gerade und ich beobachte die Symmetrie, die sich ergibt, kann aber nicht weiter davon sehen, was es für Phasen- / Amplitudenrauschen tun kann). Was mir jedoch klar erscheint, ist, dass die Rauschkomponenten sowohl in realen als auch in komplexen Fällen nur bei den ganzzahligen Harmonischen der Grundfrequenz existieren, wenn die Abtastung kohärent ist. Obwohl das Phasenrauschen möglicherweise immer noch vorhanden ist, wie ich vermute, ist seine Position bei ganzzahligen Harmonischen viel günstiger, um durch nachfolgende Filterung beseitigt zu werden.

(Hinweis: Dies gilt für die Erzeugung von Referenztaktsignalen mit hoher spektraler Reinheit.)

sampling adc

— Dan Boschen
quelle

Ich wünschte, Sie könnten mathematisch expliziter darüber sein, was die eigentliche Frage ist.

— Robert Bristow-Johnson

f_{s} = N f_{s i g}

$f_s = N f_{sig}$

f_{s}

$f_s$

f_{s} i g

$f_sig$

Ich stimme rbj zu. Was meinst du mit Phase-gegen-Amplituden-Verteilung? Ich glaube eine Mathematik. Modell über das Problem wird helfen, es zu lösen. Kann auch genauer sein, wie Sie Quantisierungsrauschen in Amplitude und Phase zerlegen würden?

— Maximilian Matthé

Betrifft dies beliebige Signale, auf die im Text hingewiesen wird, oder speziell sinusförmige Signale, wie sie in den mathematischen Beschreibungen impliziert sind? Der Fall wird stark vereinfacht, wenn man nur sinusförmige Signale berücksichtigt, dies spiegelt jedoch möglicherweise nicht das Verhalten von Signalen der realen Welt wider. Im entsprechenden Fall für sinusförmige Signale ist der Quantisierungsfehler periodisch und führt zu einem periodischen Phasenfehler. Diese Art der Korrelation würde in einem Histogramm nicht angezeigt, ist aber wahrscheinlich wichtig für die Beschreibung der "Natur der Phasenkomponente" (damit meinen Sie den Phasenfehler, oder?).

— Hopfen

Ich habe die Frage auch aktualisiert, um zu verdeutlichen, dass es sich um eine Taktsignalerzeugung handelt, falls Sie Ihren letzten Absatz synchron halten möchten (Sie haben vorgeschlagen, dass er zur Messung dient).

— Dan Boschen

Ich habe Zweifel an (Bearbeiten: Dies wurde später aus der Frage entfernt):

Die Verteilung dieser AM- und PM-Rauschkomponenten kann vernünftigerweise als gleichmäßig angenommen werden, solange das Eingangssignal nicht mit dem Abtasttakt korreliert ist

signal (t) = \cos (t) + j \sin (t)

$\operatorname{signal}(t) = \cos(t) + j\sin(t)$

q u a n t i z e d_s i g n a l (t) = \frac{round (N \cos (t))}{N} + j \times \frac{round (N \sin (t))}{N}

$\operatorname{quantized\_signal}(t) = \frac{\operatorname{round}\big(N\cos(t)\big)}{N} + j\times\frac{\operatorname{round}\big(N\sin(t)\big)}{N}$

$1/N$ $N = 5$

$N=5$ $a\operatorname{signal}(t) + (1-a)\operatorname{quantized\_signal}(t)$ $a = \left[\frac{1}{5}, \frac{2}{5},\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right].$

Der Fehler in der Phase aufgrund des Quantisierungsfehlers ist:

p h a s e_e r r o r (t) = atan (Im (q u a n t i z e d_s i g n a l (t)), Re (q u a n t i z e d_s i g n a l (t))) - atan (Im (signal (t)), Re (signal (t))) = atan (round (N \sin (t)), round (N \cos (t))) - atan (N \sin (t), N \cos (t)) = atan (round (N \sin (t)), round (N \cos (t))) - \mod (t - π, 2 π) + π

$\operatorname{phase\_error}(t) = \operatorname{atan}\Big(\operatorname{Im}\big(\operatorname{quantized\_signal}(t)\big), \operatorname{Re}\big(\operatorname{quantized\_signal}(t)\big)\Big)\\- \operatorname{atan}\Big(\operatorname{Im}\big(\operatorname{signal}(t)\big), \operatorname{Re}\big(\operatorname{signal}(t)\big)\Big) \\= \operatorname{atan}\Big(\operatorname{round}\big(N\sin(t)\big), \operatorname{round}\big(N\cos(t)\big)\Big) - \operatorname{atan}\big(N\sin(t), N\cos(t)\big) \\= \operatorname{atan}\Big(\operatorname{round}\big(N\sin(t)\big), \operatorname{round}\big(N\cos(t)\big)\Big) - \operatorname{mod}(t-\pi, 2\pi) + \pi$

Das Subtrahieren von umwickelten Phasen ist riskant, funktioniert aber in diesem Fall.

$\operatorname{phase\_error}(t)$ $N = 5$

$t$ $\operatorname{phase\_error}(t),$ $\operatorname{phase\_error}(t)$

$N$ $N,$ $N$ Die Verteilungen der I- und Q-Fehler sind gleichmäßig, und die Phasen- und Größenfehler sind Pseudozufallszahlen, die aus Verteilungen stammen, die von der Signalphase abhängen. Die Abhängigkeit von der Phase ist da, weil das rechteckige Quantisierungsgitter eine Orientierung hat.

$N,$ $\arcsin$ $\alpha$ $\alpha$ $\alpha + \pi/2$

[(1 / 2, 1 / 2), (- 1 / 2, 1 / 2), (- 1 / 2, - 1 / 2), (1 / 2, - 1 / 2)]

$\big[(1/2, 1/2),\quad(-1/2, 1/2),\quad(-1/2, -1/2),\quad(1/2, -1/2)\big]$

Die Drehung dieser Koordinaten oder die äquivalente Projektion dieser Koordinaten auf die Proportionalphasenfehler- und die Proportionalgrößenfehlerachse ergibt für beide die gleiche stückweise stückweise lineare Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion mit Knoten:

[\frac{\cos (α)}{2} - \frac{\sin (α)}{2}, \frac{\cos (α)}{2} + \frac{\sin (α)}{2}, - \frac{\cos (α)}{2} + \frac{\sin (α)}{2}, - \frac{\cos (α)}{2} - \frac{\sin (α)}{2}] = [\sqrt{2} \cos (α + π / 4), \sqrt{2} \sin (α + π / 4), - \sqrt{2} \cos (α + π / 4), - \sqrt{2} \sin (α + π / 4)]

$\left[\frac{\cos(\alpha)}{2} - \frac{\sin(\alpha)}{2},\quad \frac{\cos(\alpha)}{2} + \frac{\sin(\alpha)}{2},\quad -\frac{\cos(\alpha)}{2} + \frac{\sin(\alpha)}{2},\quad -\frac{\cos(\alpha)}{2} - \frac{\sin(\alpha)}{2}\right] = \left[\sqrt{2}\cos(\alpha + \pi/4),\quad \sqrt{2}\sin(\alpha + \pi/4),\quad -\sqrt{2}\cos(\alpha + \pi/4),\quad -\sqrt{2}\sin(\alpha + \pi/4)\right]$

$\alpha$ $\alpha \in \{-\pi, -\pi/2, 0, \pi/2, \pi\}$ $\alpha \in \{-3\pi/4, -\pi/4, \pi/4, 3\pi/4\}$ $N$ $\sqrt{2}/2$ $\sqrt{2}/2$ $\arcsin$

In Zwischenphasen sieht das PDF beispielsweise so aus:

$\alpha = \pi/8.$

$|\cos(\alpha)|$ $|\sin(\alpha)|$ $\cos^2(\alpha)/12 + \sin^2(\alpha)/12 = 1/12,$ $\alpha$

Es kann einige "pseudolucky" Kombinationen der Anfangsphase und eines rationalen Zahlenverhältnisses der Frequenz der komplexen Sinuskurve und der Abtastfrequenz geben, die nur einen kleinen Fehler für alle Abtastungen in der Wiederholungssequenz ergeben. Aufgrund der Symmetrien der in Fig. 1 gezeigten Fehler sind im maximalen absoluten Fehlersinn jene Frequenzen von Vorteil, für die die Anzahl der auf dem Kreis besuchten Punkte ein Vielfaches von 2 ist, weil Glück (geringer Fehler) bei benötigt wird nur die Hälfte der Punkte. Der Fehler an den übrigen Punkten sind Duplikate der ersten Punkte mit Vorzeichen. Mindestens ein Vielfaches von 6, 4 und 12 hat einen noch größeren Vorteil. Ich bin mir nicht sicher, wie die genaue Regel hier lautet, da es nicht nur darum zu gehen scheint, ein Vielfaches von etwas zu sein. Es' s etwas über die Gittersymmetrien kombiniert mit Modulo-Arithmetik. Trotzdem sind die Pseudozufallsfehler deterministisch, sodass eine umfassende Suche die besten Anordnungen ergibt. Am einfachsten ist es, die besten Anordnungen im absoluten Fehlersinn des quadratischen Mittelwerts (RMS) zu finden:

$N\to\infty$ $\sqrt{1/6}/N,$ $N=2^k-1,$ $k+1$

$12$

\frac{{(0, \pm 112), (\pm 112, 0), (\pm 97, \pm 56), (\pm 56, \pm 97)}}{112.00297611139371}

$\frac{\{(0, \pm112),\quad (\pm112, 0),\quad (\pm97, \pm56),\quad (\pm56, \pm97)\}}{112.00297611139371}$

$-91.5$

$[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11]\cdot 2\pi/12$ $1/12$ $5/12$ $[0, 5, 10, 3, 8, 1, 6, 11, 4, 9, 2, 7]\cdot 2\pi/12$

$\pi/2$ $\sqrt{3}$ $\pi/3$

Abbildung 6. Niedrigstmögliche absolute RMS-Quantisierungsfehler im komplexen IQ-Oszillator für verschiedene Oszillator-Bittiefen unter Verwendung eines rechteckigen Quantisierungsgitters mit einer der durch skalierten Achsen $\sqrt{3}$

Insbesondere für einen 8-Bit-Oszillator mit 30 Punkten auf dem Kreis beträgt der kleinstmögliche absolute RMS-Fehler -51,3 dB im quadratischen Gitter und -62,5 dB im nicht quadratischen rechteckigen Gitter, wobei der niedrigste RMS-absolute Fehler vorliegt Pseudolucky-Sequenz hat Fehler:

Abbildung 7. Werte des Fehlers in der IQ-Ebene durch eine 8-Bit-Pseudo-Glückssequenz der Länge 30 nutzen die Symmetrieachsen des um einen Faktor gestreckten Quantisierungsgitters $\sqrt{3}$

Ich habe keine praktischen Erfahrungen mit IQ-Taktsignalen, daher bin ich mir nicht sicher, worauf es ankommt. Bei der Taktsignalerzeugung mit einem Digital-Analog-Wandler (DAC) würde ich vermuten, dass es besser ist, ein niedrigeres Grundrauschen für weißes Rauschen zu haben, als ein harmonisches Rauschspektrum mit einem höheren, wenn keine guten Pseudolucky-Anordnungen verwendet werden Spitzen, die aus einer sich wiederholenden Folge von Quantisierungsfehlern stammen (siehe Kohärente Abtastung und Verteilung des Quantisierungsrauschens ). Diese spektralen Spitzen sowie weißes Rauschen können über die parasitäre Kapazität auslaufen und unerwünschte Auswirkungen auf andere Teile des Systems haben oder die elektromagnetische Verträglichkeit (EMV) des Geräts beeinträchtigen. In Analogie dazu verbessert die Spread-Spectrum-Technologie die EMV, indem sie spektrale Spitzen auf ein Grundrauschen mit niedrigerer Spitze umwandelt.

$1 \le M \le 100$

// Compile with g++ -O3 -std-c++11

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <complex>
#include <float.h>
#include <algorithm>

// N = circle size in quantization steps
const int maxN = 127;
// M = number of points on the circle
const int minM = 1; 
const int maxM = 100;
const int stepM = 1;
// k = floor(log2(N))
const int mink = 2;
const double IScale = 1; // 1 or larger please, sqrt(3) is very lucky, and 1 means a square grid

typedef std::complex<double> cplx;

struct Arrangement {
  int initialI;
  int initialQ;
  cplx fundamentalIQ;
  double fundamentalIQNorm;
  double cost;
};

int main() {
  cplx rotation[maxM+1];
  cplx fourierCoef[maxM+1];
  double invSlope[maxM+1];
  Arrangement bestArrangements[(maxM+1)*(int)(floor(log2(maxN))+1)];
  const double maxk(floor(log2(maxN)));
  const double IScaleInv = 1/IScale;
  for (int M = minM; M <= maxM; M++) {
    rotation[M] = cplx(cos(2*M_PI/M), sin(2*M_PI/M));
    invSlope[M] = tan(M_PI/2 - 2*M_PI/M)*IScaleInv;
    for (int k = 0; k <= maxk; k++) {
      bestArrangements[M+(maxM+1)*k].cost = DBL_MAX;
      bestArrangements[M+(maxM+1)*k].fundamentalIQNorm = 1;
    }
  }
  for (int M = minM; M <= maxM; M += stepM) {
    for (int m = 0; m < M; m++) {
      fourierCoef[m] = cplx(cos(2*M_PI*m/M), -sin(2*M_PI*m/M))/(double)M;
    }
    for (int initialQ = 0; initialQ <= maxN; initialQ++) {
      int initialI(IScale == 1? initialQ : 0);
      initialI = std::max(initialI, (int)floor(invSlope[M]*initialQ));
      if (initialQ == 0 && initialI == 0) {
    initialI = 1;
      }
      for (; initialI*(int_least64_t)initialI  <= (2*maxN + 1)*(int_least64_t)(2*maxN + 1)/4 - initialQ*(int_least64_t)initialQ; initialI++) {
    cplx IQ(initialI*IScale, initialQ);
    cplx roundedIQ(round(real(IQ)*IScaleInv)*IScale, round(imag(IQ)));
        cplx fundamentalIQ(roundedIQ*fourierCoef[0].real());
    for (int m = 1; m < M; m++) {
      IQ *= rotation[M];
      roundedIQ = cplx(round(real(IQ)*IScaleInv)*IScale, round(imag(IQ)));
          fundamentalIQ += roundedIQ*fourierCoef[m];
    }
    IQ = fundamentalIQ;
    roundedIQ = cplx(round(real(IQ)*IScaleInv)*IScale, round(imag(IQ)));
    double cost = norm(roundedIQ-IQ);
    for (int m = 1; m < M; m++) {
      IQ *= rotation[M];
      roundedIQ = cplx(round(real(IQ)*IScaleInv)*IScale, round(imag(IQ)));
      cost += norm(roundedIQ-IQ);
    }
    double fundamentalIQNorm = norm(fundamentalIQ);
    int k = std::max(floor(log2(initialI)), floor(log2(initialQ)));
    //  printf("(%d,%d)",k,initialI);
    if (cost*bestArrangements[M+(maxM+1)*k].fundamentalIQNorm < bestArrangements[M+(maxM+1)*k].cost*fundamentalIQNorm) {
      bestArrangements[M+(maxM+1)*k] = {initialI, initialQ, fundamentalIQ, fundamentalIQNorm, cost};
    }
      }
    }
  }
  printf("N");
  for (int k = mink; k <= maxk; k++) {
    printf(",%d-bit", k+2);
  }
  printf("\n");
  for (int M = minM; M <= maxM; M += stepM) {
    printf("%d", M);
    for (int k = mink; k <= maxk; k++) {
      printf(",%.13f", sqrt(bestArrangements[M+(maxM+1)*k].cost/bestArrangements[M+(maxM+1)*k].fundamentalIQNorm/M));
    }
    printf("\n");
  }

  printf("bits,M,N,fundamentalI,fundamentalQ,I,Q,rms\n");
  for (int M = minM; M <= maxM; M += stepM) {
    for (int k = mink; k <= maxk; k++) {
      printf("%d,%d,%.13f,%.13f,%.13f,%d,%d,%.13f\n", k+2, M, sqrt(bestArrangements[M+(maxM+1)*k].fundamentalIQNorm), real(bestArrangements[M+(maxM+1)*k].fundamentalIQ), imag(bestArrangements[M+(maxM+1)*k].fundamentalIQ), bestArrangements[M+(maxM+1)*k].initialI, bestArrangements[M+(maxM+1)*k].initialQ, sqrt(bestArrangements[M+(maxM+1)*k].cost/bestArrangements[M+(maxM+1)*k].fundamentalIQNorm/M));
    }
  }
}

Beispielausgabe, die die erste Beispielsequenz beschreibt, die gefunden wurde mit IScale = 1:

bits,M,N,fundamentalI,fundamentalQ,I,Q,rms
8,12,112.0029761113937,112.0029761113937,0.0000000000000,112,0,0.0000265717171

Beispielausgabe, die die zweite Beispielsequenz beschreibt, die gefunden wurde mit IScale = sqrt(3):

8,30,200.2597744568315,199.1627304588310,20.9328464782995,115,21,0.0007529202390

Oktavcode zum Testen der ersten Beispielsequenz:

x = [112+0i, 97+56i, 56+97i, 0+112i, -56+97i, -97+56i, -112+0i, -97-56i, -56-97i, 0-112i, 56-97i, 97-56i];
abs(fft(x))
20*log10(abs(fft(x)(6)))-20*log10(abs(fft(x)(2)))

Oktavcode zum Testen der zweiten Beispielsequenz:

x = exp(2*pi*i*(0:29)/30)*(199.1627304588310+20.9328464782995i);
y = real(x)/sqrt(3)+imag(x)*i;
z = (round(real(y))*sqrt(3)+round(imag(y))*i)/200.2597744568315;
#Error on IQ plane
star = z-exp(2*pi*i*(0:29)/30)*(199.1627304588310+20.9328464782995i)/200.2597744568315;
scatter(real(star), imag(star));
#Magnitude of discrete Fourier transform
scatter((0:length(z)-1)*2*pi/30, 20*log10(abs(fft(z))/abs(fft(z)(2)))); ylim([-120, 0]);
#RMS error:
10*log10((sum(fft(z).*conj(fft(z)))-(fft(z)(2).*conj(fft(z)(2))))/(fft(z)(2).*conj(fft(z)(2))))

— Olli Niemitalo
quelle

Sehr schön. Jede Achse I und Q in ihrer Größe ist gut als einheitlich angenähert; Ich frage mich, ob wir eine Faltung von zwei gleichmäßigen Verteilungen sehen - haben Sie versucht, ein Histogramm Ihres Ergebnisses zu erstellen? Ich würde auch mit dieser nicht verifizierten Logik annehmen, dass ich verwende, dass die Amplitudenverteilung für das komplexe Signal auch dreieckig sein kann? Haben Sie daraus einen Einblick, was passieren kann, wenn der Abtasttakt angemessen ist?

— Dan Boschen

Ich werde die Frage jedoch aktualisieren, um nicht vorzuschlagen, dass sie einheitlich ist!

— Dan Boschen

siehe mein Update - Ich habe meinen Verdacht mit dreieckigen Verteilungen simuliert und bestätigt. Es scheint mir, dass die Verteilung je nach Winkel zwischen gleichmäßig und dreieckig variieren wird (Erklärung finden Sie in meinem Update). Wenn also unser Winkel gleichmäßig verteilt ist, müssen wir insgesamt eine gerundete Verteilung erhalten.

— Dan Boschen

@OlloNiemitalo Sehr cool. Haben Sie weitere Einblicke in das, was passieren würde (insbesondere bei den Phasenfehlerkomponenten), wenn wir die Positionen auf dem Einheitskreis auf eine angemessene Abtastung beschränken? was bedeutet ein festes Vielfaches der Rotationsrate eines einzelnen komplexen Tons? Mit zunehmender Abtastrate würde sich dies sicherlich dem nähern, was Sie gezeigt haben. Aber wie könnten wir die Phasenkomponenten gegenüber dieser Rate mathematisch beschreiben, wenn wir die Auswahlmöglichkeiten einschränken, um angemessen zu sein?

— Dan Boschen

Vielen Dank, dass Sie daran gekaut haben und weitere Anweisungen gegeben haben, wo die Antwort sein könnte. Beachten Sie, dass das Muster zweimal pro Zyklus wiederholt wird, wenn das Verhältnis ein gerades ganzzahliges Vielfaches ist, und dann schnellere Multiplikationen für Vielfache, die durch eine höhere Potenz von 2 teilbar sind. In diesem Muster, wie es aus der Modulo-Zahlentheorie bestimmt wurde, könnte die Antwort tatsächlich liegen

— Dan Boschen,

Quantisierungsrauschen für kohärente Probenahme - Phasenrauschen?