Interpretation der spektralen Dichte der Clarke-Doppler-Leistung

Was ich unter Doppler-Ausbreitung verstehe, ist, dass die Relativbewegung zwischen Sender (TX) und Empfänger (RX) die Belichtungszeit des Signals ändert. In Bezug auf einen TX-RX mit konstantem Abstand "komprimiert" eine sich aufeinander zu bewegende TX-RX das Signal in der Zeit (das Signal benötigt weniger Zeit, um sich auszubreiten), dann wird das Signal im Frequenzbereich "erweitert". In ähnlicher Weise "erweitert" ein sich wegbewegender RX-TX das Signal zeitlich und "komprimiert" sein Spektrum. Kurz gesagt, das ist die Skalierung der Fourier-Transformation. Diese beiden Extremfälle legen die linke und rechte Grenze für die Streuung einer ursprünglichen Frequenz zwischen $-f_d$ und $+f_d$ wobei $f_d$ die maximale Doppler-Streuung ist.

Bei der Betrachtung des Clarke-Modells handelt es sich lediglich um ein Mehrfachausbreitungsmodell mit einer reichen Streuumgebung und einem gleichen Ankunftswinkel. (Link für weitere Details Clarke Modell )

Wenn ich es gut verstehe, gibt es zwei Annahmen, die in der städtischen Umgebung vernünftig sind:

Rayleigh verblasst
gleicher Ankunftswinkel oder gleiche Empfängerempfindlichkeit

Ich habe die Mathematik aus dem Originalartikel befolgt, es scheint in Ordnung zu sein. Das endgültige Doppler-Leistungsspektrum ist dann $\displaystyle S(f) = \frac{1}{\pi f_d \sqrt{1 - \left(\frac{f}{f_d}\right)^2}}$

Was ich nicht verstehe, ist, warum Energie auf die beiden extremen Ausbreitungsfrequenzen konzentriert wird und während die Ankunftswinkel gleichmäßig sind. Gibt es eine physikalische Interpretation? Was fehlt mir beim berühmten Clarke-Modell? $-f_d$ $f_d$ Persönlich scheint dieses Modell die typische städtische Umgebung gut zu modellieren.

RH Clarke, Eine statistische Theorie des Mobilfunkempfangs , The Bell System Technical Journal, Juli / August 1968, p. 957ff

Antworten Obwohl die Antwort von Carlos den grundlegendsten mathematischen Teil erfasst, ist die eigentliche Antwort in seinem Kommentar über "Abbildung zwischen Winkel und Frequenz". Interessant ist auch die Antwort von Maximilian.

power-spectral-density doppler

— AlexTP
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Bei einer konstanten Geschwindigkeit und ohne Mehrweg würden Sie einen konstanten Frequenzversatz für Doppler erwarten.

— Dan Boschen

Danke Dan, es ist richtig. Aber es ist nicht der Grund, warum ich um Hilfe bitte.

— AlexTP

Entschuldigung, ich habe Ihre Frage falsch verstanden. Ich denke, Carlos hat es unten beantwortet, aber was haben Sie erwartet, um die Energie zu sehen, die Sie nicht zeigen?

— Dan Boschen

Ja, Carlos hat meine Frage beantwortet, aber in seinem Kommentar. Es ist die Abbildung zwischen dem Ankunftswinkel

und der Frequenz

θ

$\theta$

f

$f$

— AlexTP

Antworten:

Eine einfache, "nicht technische" Denkweise ist die Tatsache, dass die Dopplerfrequenz proportional zu ist . Die Kosinusamplituden sind jedoch nicht gleichmäßig verteilt, sondern stark gegen gewichtet. $\cos\theta$ $\pm 1$

Beispielplot zur Demonstration mit Python / Pylab-Code:

theta = linspace(0, 2*pi, 1001)
x = cos(theta)
hist(x)

Mehr Strenge kann man sehen, wenn man feststellt, dass

\begin{aligned} f & = f_{d} \cos θ \\ θ & = \cos^{- 1} (\frac{f}{f_{d}}) \end{aligned}

$\begin{align} f &= f_d \cos\theta\\ \theta &= \cos^{-1}\left(\frac{f}{f_d}\right) \end{align}$ und die unter einem beliebigen Winkel empfangene Leistung ist proportional zu einem kleinen Winkelinkrement

;

d θ

$d\theta$

P (θ) \propto d θ = \frac{- 1}{f_{d} \sqrt{1 - {(\frac{f}{f_{d}})}^{2}}} d f

$P(\theta) \propto d\theta = \frac{-1}{f_d\sqrt{1-\left(\frac{f}{f_d}\right)^2}} df$

Und die Gesamtleistung kann durch Integrieren der obigen Größe bestimmt werden, was identisch ist, was eine Leistungsspektraldichte definiert.

— Robert L.
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Vielen Dank. Die Mathematik ist klar, beantwortet aber meine Frage nicht. Meine Frage ist, wie diese cos-Verteilung physikalisch interpretiert wird oder wie die LoS- und 180 ° -Reflexion die meiste Energie physikalisch erfasst.

— AlexTP

Die LoS- und 180-Grad-Reflexionen erfassen nicht die meiste Energie - dies wird vom Modell nicht beansprucht. Es scheint nur so zu sein, weil die Darstellung mit den Singularitäten gegen die Frequenz ist, nicht gegen den Winkel. Die nichtlineare Abbildung zwischen Frequenz und Winkel ist der Grund, warum die Singularitäten auftreten.

— Robert L.

Δ f

$\Delta f$

d Θ

$d\Theta$

Zusätzlich zur Antwort von Carlos möchte ich Ihr allgemeines Verständnis korrigieren:

Was ich unter Doppler-Ausbreitung verstehe, ist, dass die Relativbewegung zwischen Sender (TX) und Empfänger (RX) die Belichtungszeit des Signals ändert. In Bezug auf einen TX-RX mit konstantem Abstand "komprimiert" eine sich aufeinander zu bewegende TX-RX das Signal in der Zeit (das Signal benötigt weniger Zeit, um sich auszubreiten), dann wird das Signal im Frequenzbereich "erweitert" . In ähnlicher Weise "erweitert" ein sich wegbewegender RX-TX das Signal zeitlich und "komprimiert" sein Spektrum. Kurz gesagt, das ist die Skalierung der Fourier-Transformation .

$f_d=f_c \frac{v}{c}$ $\Delta f$ $f_c$ $f_c\pm\frac{\Delta f}{2}$ $df$ $X_{in},X_{out}$ $\Delta f<<f_c$ $X_{out}(f)=X_{in}(\alpha f)$ $\alpha=\frac{v}{c}$

EDIT: Lassen Sie mich etwas mehr in mathematischen Begriffen erklären:

$f$ $v$ $f(1\pm-\frac{v}{c})$

$f_c\pm\Delta f$ $2\Delta f<<f_c$ $2\Delta f$ $f_c-\Delta f$

f_{o u t} = f_{i n} (1 - \frac{v}{c}) = f_{c} (1 - \frac{v}{c}) - Δ f (1 - \frac{v}{c}) = f_{c} - Δ f - f_{c} \frac{v}{c} - Δ_{f} \frac{v}{c} \approx f_{i n} - f_{c} \frac{v}{c}

$f_{out}=f_{in}\left(1-\frac{v}{c}\right)=f_c\left(1-\frac{v}{c}\right)-\Delta f\left(1-\frac{v}{c}\right)=f_c-\Delta f - f_c\frac{v}{c} - \Delta_f\frac{v}{c}\approx f_{in}-f_c\frac{v}{c}$

Δ f << f_{c}

$\Delta f << f_c$

$f_D=f_c\frac{v}{c}$

— Maximilian Matthé
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X_{o u t} (f_{1}) = X_{i n} (α f_{1}), X_{o u t} (f_{2}) = X_{i n} (α f_{2})

$X_{out}(f_1) = X_{in}(\alpha f_1), X_{out}(f_2) = X_{in}(\alpha f_2)$

f_{1} - f_{2} \approx α (f_{1} - f_{2})

$f_1 - f_2 \approx \alpha (f_1 - f_2)$ weil

a b s (f_{1} - f_{2}) << 1

$abs(f_1 - f_2) << 1$

Δ f

$\Delta f$

Δ f << f_{c}

$\Delta f << f_c$

@AlexTP Ich habe etwas Mathe hinzugefügt. Ableitung, vielleicht macht das es klarer?

— Maximilian Matthé

f_{o u t} = f_{i n} (1 - \frac{v}{c})

$f_{out} = f_{in}(1-\frac{v}{c})$

θ

$\theta$

f_{o u t} (θ)

$f_{out}(\theta)$

— AlexTP

f (θ)

$f(\theta)$

f_{o u t} = f_{i n} + f (θ)

$f_{out}=f_{in}+f(\theta)$

\pm f_{D}

$\pm f_D$

0

$0$