Warum sieht dieses Moiré-Muster so aus?

Ich machte einige Gifs von Mobius-Transformationen in Matlab, und einige seltsame Muster tauchten auf. Ich bin mir nicht sicher, ob eine tiefere Kenntnis des Dateityps / Algorithmus erforderlich ist, um dieses Phänomen zu verstehen, aber ich dachte, dass es möglicherweise eine rein mathematische Erklärung geben könnte. Das Bild wird erhalten, indem die komplexe Ebene wie ein Schachbrett gefärbt und dann invertiert wird, indem der Kehrwert des komplexen Konjugats genommen wird. Hier ist der mathematische Pseudocode für das Bild mit einem bestimmten Zoom $k$ :

\begin{aligned} checkerboard : C \to {black, white}} \\ Schachbrett (z) : = {\begin{cases} schwarz & wenn ⌊ ℑ (z) ⌋ + ⌊ ℜ (z) ⌋ \equiv 0 \mod 2 \\ Weiß & wenn ⌊ ℑ (z) ⌋ + ⌊ ℜ (z) ⌋ \equiv 1 \mod 2 \end{cases} \\ Bild = {z \in C. :: | ℜ (z) |, | ℑ (z) | \leq 1}} \\ Farbe :: Bild \to {schwarz, Weiß}} \\ Farbe (z) : = Schachbrett (k /. \bar{z}) \end{aligned}

$\begin{align} &\mbox{checkerboard}:\mathbb C \to\{\mbox{black},\mbox{white}\}\\ &\mbox{checkerboard}(z):=\begin{cases} \mbox{black} & \mbox{if }\lfloor\Im(z)\rfloor+\lfloor\Re(z)\rfloor\equiv 0\mod 2\\ \mbox{white} & \mbox{if }\lfloor\Im(z)\rfloor+\lfloor\Re(z)\rfloor\equiv 1\mod 2 \end{cases}\\ &\mbox{image} = \{z\in\mathbb C:|\Re(z)|,|\Im(z)|\leq 1\}\\ &\mbox{color}:\mbox{image}\to\{\mbox{black},\mbox{white}\}\\ &\mbox{color}(z):=\mbox{checkerboard}(k/\overline{z}) \end{align}$

Und hier sind die Bilder für , und . Die Auflösung jedes Bildes beträgt . Ich habe keinen Hintergrund in der Signalverarbeitung, aber ich würde gerne etwas lernen! $k=1$ $k=50$ $k=200$ $1000\times 1000$

BEARBEITEN:

Warum synchronisiert sich das Moiré-Muster an bestimmten Stellen mit der Auflösung des Bildes?
Kann das Moiré-Muster vorhergesagt werden?

image-processing aliasing pattern

— BH
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Was Sie sehen, ist Aliasing. Sie versuchen, ein Bild mit Komponenten mit höherer Frequenz darzustellen, als es Ihr Monitor zulässt, sodass Sie Aliase erhalten. en.wikipedia.org/wiki/Moiré_pattern

— MBaz

MBaz, ich suche nach einer mathematischen Erklärung, warum das Aliasing-Muster so aussieht, wie es aussieht!

— BH

Ja, das Moiré-Muster kann vorhergesagt werden. Kennen Sie die Fourier-Transformation?

— Marcus Müller

Nicht genug, um es in dieser Situation zu verwenden!

— BH

Sie müssen jetzt ins Bett gehen und hoffen, dass Ihnen die grob mathematische Erklärung unten hilft - basierend auf der Vermutung, dass jemand mit der Kardinalität einer zählbaren unendlichen Menge mehr oder weniger an einer eher abstrakten Sichtweise als an einer funktional-analytischen Erklärung interessiert sein könnte.

— Marcus Müller

Sie müssen den Stichprobensatz verstehen . Kurz gesagt, jedes Signal hat ein sogenanntes Spektrum ¹, das die Fourier-Transformation des Signals im Zeitbereich (wenn es ein Zeitsignal ist) oder im räumlichen Bereich (wenn es ein Bild ist) ist. Seit der Fourier-Transformation ist bijektiv, ein Signal und seine Transformation sind äquivalent, tatsächlich kann man die Fourier-Transformation oft als Änderung der Basis interpretieren. Wir nennen das "Umwandlung in den Frequenzbereich", da die Werte der Fourier-Transformation für niedrige Ordinaten die Dinge beschreiben, die sich langsam ändern im ursprünglichen (zeitlichen oder räumlichen) Domänensignal, während der Hochfrequenzinhalt durch Fourier-Transformationswerte mit hoher Position dargestellt wird.

Im Allgemeinen können solche Spektren eine gewisse Unterstützung haben ; Die Unterstützung ist das minimale Intervall, außerhalb dessen das Spektrum 0 ist.

Wenn Sie jetzt ein Beobachtungssystem verwenden, dessen Fähigkeit, Frequenzen zu reproduzieren, auf ein Intervall beschränkt ist, das kleiner als diese Unterstützung ist (das übrigens oft unendlich ist und für Signale mit endlicher zeitlicher oder räumlicher Ausdehnung immer unendlich ist), sind Sie kann mit diesem System nicht das ursprüngliche Signal darstellen.

In diesem Fall hat Ihr Bild eine bestimmte Auflösung - was letztendlich die Tatsache ist, dass Sie den Wert Ihrer Funktion an diskreten Punkten in einem festen, nicht infinitesimalen Abstand bewerten. Die Umkehrung dieses Abstands ist die (räumliche) Abtastrate.

Daher kann Ihr Bild nicht das ursprüngliche Signal darstellen - es ist einfach mathematisch unmöglich, dass die Zuordnung der zugrunde liegenden Funktion zu Pixeln wirklich der ursprünglichen Funktion entspricht, da wir wissen, dass in diesem Fall der gesamte Frequenzbereich durch Ihre Auswertung an diskreten Punkten dargestellt werden kann ("Abtastung") ist die Hälfte der Abtastrate, und daher muss mit dem Teil Ihres Signalspektrums, der über der Hälfte der Abtastrate liegt , etwas schief gehen.

$f_o \ge \frac{f_\text{sample}}{2}$ $n\cdot f_\text{sample},\, n\in \mathbb Z$ $|f_o-nf_\text{sample}| < \frac{f_\text{sample}}{2}$ . Tatsächlich führt dies zu einer "Struktur", in der es keine geben sollte (wie es sich anfühlt).

Nehmen Sie die "großen" Strukturen von Ihrem Bild, das ich grün gestrichen habe:

$>\frac{f_\text{sample}}2$ , die auf niedrige Frequenzen ausgerichtet wurden, da sie nahe an einem ganzzahligen Vielfachen der Abtastrate lagen.

So, ja , können Sie die Artefakte vorhersagen , die zu einem 2D - Signal passieren , wenn durch den Vergleich seiner Fourier - Transformation auf die Bandbreite durch die Abtastrate angeboten abgetastet werden.

¹ Dies kann sich von dem Spektrum unterscheiden, das in der linearen Algebra zur Beschreibung der Eigeneigenschaften von Operatoren verwendet wird.

— Marcus Müller
quelle

n

$n$