Ist dieses Signal perfekt rekonstruierbar?

Die Frage lautet wie folgt:

Lassen Sie mich die Analyse durchführen:

Der Downroad zuerst: Und die Straße:

$$\begin{align} X_1(z) &= z^{-1}X(z)\\ X_2(z) &= \frac{1}{2}\left\{X_1\left(z^\frac{1}{2}\right)+X_1\left(-z^\frac{1}{2}\right)\right\}\\ X_3(z) &= X_2(z^2) = \frac{1}{2}\left\{X_1(z)+X_1(-z)\} = \frac{1}{2}\{z^{-1}X(z)- z^{-1}X(-z)\right\}\\ X_4(z) &= zX_3(z) = \frac{1}{2}\left\{X(z)- X(-z)\right\} \end{align}$$ $$X_6(z) = X_5(z^2) = \frac{1}{2}\{X(z) + X(-z) \}$$

Das rekonstruierte Signal lautet also:

$$\bar{X}(z) = X_4(z) + X_6(z) = X(z)$$

Ich bin jedoch sehr verwirrt, dass diese Filterbank nicht die perfekte Rekonstruktion gemäß den Multirate-Systemen und Filterbänken von PP V. auf Seite 193 erfüllt :

$$F_0(z) =H_1(-z), \quad F_1(z) = -H_0(-z)\tag{5.1.7}$$

Ich bin also sehr verwirrt. Wer könnte meine Frage beantworten?

Ja, das Signal ist perfekt rekonstruiert. Betrachten Sie den Prozess in jeder Phase, wie ich anhand des folgenden Blockdiagramms zeige:

Betrachten Sie jede Stichprobe des Signals an jedem Knoten im Diagramm (jede Stichprobe wird anhand des Stichprobenindex am Knoten für jede Zeile angezeigt):

(Hinweis: Im FFT-Algorithmus wird dieselbe Form der Rekonstruktion angezeigt.)

Ich werde versuchen zu veranschaulichen, wie das Aliasing abgebrochen wird (unter Berücksichtigung des Kommentars von MBaz):

Betrachten Sie zunächst den Frequenzgang von (und ). ist die z-Transformation einer Verzögerung von 1 Abtastwert im Zeitbereich (siehe Wie / warum hängen die Transformation und die Verzögerungen der Einheiten zusammen? ). Der Frequenzgang einer Verzögerung ist von konstanter Größe und linearer Phase (wie wir es bei einem Kabel fester Länge sehen würden; sehr niedrige Frequenzen würden nur um einen Bruchteil eines Zyklus verzögert, während höhere Frequenzen um mehrere Zyklen verzögert werden:$z^{-1}$$z^{+1}$$z^{-1}$$\mathcal Z$

Speziell für ist die Amplitude konstant (1) und die Phase ist linear von 0 bis für die Frequenzachse, die von 0 zu unserer Abtastrate geht , da die Verzögerung 1 Abtastung pro Zyklus beträgt . (Und das ein Fortschritt anstelle einer Verzögerung ist, ist bei positiver Phase gegenüber Frequenz ähnlich:$z^{-1}$$-2\pi$$z^{+1}$

Phase nur unten gezeigt (die Größe ist 1 für alle Frequenzen)

Betrachten Sie das folgende digitale Spektrum, um zu sehen, was passiert, wenn wir das vom OP präsentierte System durchlaufen. (Beachten Sie, dass es mir beim Umgang mit Mehrraten-Systemen sowie Analog-Digital-Systemen mit gemischten Signalen geholfen hat, die Frequenzachse von bis , die ich unten darstelle.)$-\infty$$+\infty$

Beobachten Sie nun das Schöne, was passiert, wenn wir unser ursprüngliches Spektrum nach einer Verzögerung von einer Einheit mit dem vergleichen. Ich betone, dass sich die Phase bei um 180 ° und dann um 360 ° gedreht hat, was bei wieder 0 ° . Diese Drehung ist kontinuierlich von der linearen Phasenverschiebung von 0 zur Abtastrate (was ich auf diesem Bild nur schwer zeigen kann - ich wäre auf ewig dankbar, wenn mir jemand ein 3D-Diagramm erstellen könnte, das den tatsächlichen Spiraleffekt mit dem roten und blauen Spektral zeigt Artefakte, da ich diese Handlung in meiner Klasse verwende und es zu lange dauert, sie zu erklären)$F_s/2$$F_s$

Überprüfen Sie nun, was mit dem Spektrum passiert, wenn wir um 2 dezimieren (das Aliasing, über das MBaz scharfsinnig besorgt war). Für mich hat mir die Analogie des Aliasing bei der Analog-Digital-Konvertierung geholfen, diesen Prozess intuitiv zu erkennen (da die Dezimierung eine "Digital-Digital-Konvertierung" ist. Dieser Kommentar war nur für diejenigen gedacht, die bereits mit Aliasing in A / vertraut sind D Prozess.):

Überprüfen Sie abschließend, was passiert, wenn wir eine "Zero-Insert" -Interpolation durchführen. Die Null-Einfügungs-Interpolation behält das Spektrum perfekt bei, ohne dass eine andere Verzerrung als das Bild auftritt, das jetzt Teil unseres primären digitalen Spektrums wird. Dies liegt daran, dass eine Null-Einfügung erfolgt, indem unsere Wellenform mit der Einheitsabtastantwort (Impulsantwort) gefaltet wird.

Vor diesem wichtigen Hintergrund folgen wir dem vom OP vorgegebenen System. Zuerst dezimieren wir unser Eingangssignal in gerade und ungerade Abtastwerte. Beachten Sie die durch die Verzögerung verursachte Drehung und dann das durch die Dezimierung verursachte Aliasing (wie oben beschrieben, um dies wirklich richtig zu visualisieren, wäre das Spektrum nach der Verzögerung eine Spirale, bei der das Blau am Punkt genau um 180 ° phasenverschoben ist nur):$f_s/2$

Die geraden und ungeraden Abtastwerte werden dann durch eine Null-Einfügung durch zwei interpoliert, und der untere Pfad wird um eine Abtastung vorgerückt (beachten Sie also, dass dies kein kausaler Prozess ist und wir eine "parasitäre Verzögerung" von einer Abtastung erhalten würden um dies tatsächlich umsetzen zu können, folgen Sie den Anweisungen in der Tabelle). Beachten Sie, dass eine Spirale in die entgegengesetzte Richtung erzeugt. Der kombinierte Effekt von [ , Dezimieren um 2, Interpolieren um 2, ] verschiebt die Phase für jede Frequenzkomponente über in unserem ursprünglichen Spektrum um 180 ° , während jede Frequenz durchgelassen wird Komponente unter$z^{+1}$$z^{-1}$$z^{+1}$$fs/2$$fs/2$mit 0 ° Phasenverschiebung (sowie die Bilder in der Mitte des neuen Spektrums erstellen). Durch Kombinieren (Hinzufügen) der beiden Pfade wird also das ursprüngliche Spektrum wiederhergestellt!

Hinweis: Sie können auch die beiden Spektren subtrahieren, um ein umgekehrtes Spektrum zu erhalten! Beachten Sie, dass das Addieren und Subtrahieren genau das ist, was Sie mit einer 2pt-DFT tun:

$$\begin{bmatrix}1 & 1\\1 & -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}y_1\\y_2\end{bmatrix}$$

Wir lernen, dass Aliasing unser Spektrum katastrophal ruinieren kann und denken, dass wir die Interferenz nicht trennen können, sobald die Spektren kontaminiert sind. Dies wäre hier sicherlich der Fall, wenn wir nur einen der beiden Pfade hätten, aber was passiert, ist, dass unser zweiter Pfad unser Aliasing so verfolgt, dass wir das konstruktiv aufheben können, solange wir beide Pfade haben Interferenz. Dies gibt auch Einblick in Mehrbenutzererkennungsschemata.

Erstens ist die PP-Vaidyanathan-Bedingung ausreichend und nicht notwendig.

Der obere Teil hält jede gerade Probe. Der untere Teil wandelt Gewinnchancen in Evens um, hält jeden (Roman) gerade und setzt den (Roman) Evens wieder an seinen alten Platz. Daher die Verzögerungen$z^{-1}$ und $z^{+1}$ Verschachteln Sie genau die gehaltenen Evens (oben) und Odds (unten).

Von PP Vaidyanathan entspricht Abbildung 5.1-1 Ihrem Diagramm mit $H_0(z) = 1$, $H_1(z) = z^{-1}$, $F_0(z) =1$, $F_1(z) = z^{1}$also

$$H_0(-z)F_0(z) + H_1(-z)F_1(z) = 1 +\frac{1}{-z}z^{1} = 0\,,$$

Das ist in Ordnung.