Faustreihenfolge der Filterreihenfolge

Gibt es eine Faustregel für die Berechnung der ungefähren Filterreihenfolge eines FIR / IIR basierend auf dem Durchlassbereich gegenüber der Abtastrate? Ich erinnere mich, dass ich einmal in Undergrad darüber gelesen habe. Ich würde denken, Sie könnten eine grobe Schätzung wie Scaler * Passband / Stopband machen.

Ich habe an der Implementierung verschiedener FIR / IIR-Filter gearbeitet und möchte eine grobe Formel, die besagt, dass bei einer Änderung einer Variablen ungefähr so ​​viele weitere Abgriffe erforderlich sind, um eine ähnliche Leistung zu erzielen.

Meine bevorzugte "Faustregel" für die Reihenfolge eines Tiefpass-FIR-Filters ist die "Fred Harris Faustregel":

$N=[f_s/delta(f)]*[atten(dB)/22]$

wobei Delta (f) das Übergangsband ist, ist in denselben Einheiten von $f_s$ $f_s$ die Abtastrate der Filterdämpfung (dB) die Zielunterdrückung in dB

Wenn Sie beispielsweise in einem mit 1 kHz abgetasteten System ein Übergangsband von 100 Hz haben und Ihre Sperranforderung im Stoppband 50 dB beträgt, kann die Reihenfolge wie folgt angenähert werden:

N = 1 kHz / 100 Hz * 50/22 = 23 Abgriffe (Aufrundung)

Danke Fred Harris!

Beachten Sie, dass eine weitere detailliertere Formel, die die Welligkeit des Durchlassbereichs berücksichtigt, Kaisers Formel dank James Kaiser von Bell Labs ist, die ich in meine Grafik unten aufgenommen habe.

Für die meisten Anwendungen, die ich durchgeführt habe, war der Fred-Harris-Ansatz in Ordnung, da bei einer bestimmten Zurückweisung die resultierenden Filter, die herkömmliche Filterdesign-Algorithmen wie Parks-McClellan und Remez verwenden, meine Anforderungen an die Durchlasswelligkeit bei Durchlaufen der Ablehnungsanforderung überschritten haben. (Normalerweise schätze ich die Reihenfolge, entwerfe den Filter mit dieser Reihenfolge, überprüfe das Ergebnis und erhöhe oder verkleinere die Reihenfolge von dort aus, um eine Feinabstimmung vorzunehmen.) Die Ergebnisse der Schätzungen sind genau das: Schätzungen, die je nach den allgemeinen Entwurfsparametern stark variieren können und nicht als exakte Lösung anzusehen sind.

$f_s/\Delta f$$2\pi/\Delta\omega$

Das erste Bild unten zeigt den erwarteten Sinc in der Frequenz für ein rechteckiges Zeitfenster und dann in diskreter Form, wobei es sich um eine Alias-Sinc-Funktion handelt, mit dem Schlüsselpunkt, dass für N Abtastwerte in der Zeit der Rechteckfunktion der Frequenzgang bestimmt wird haben ihre erste Null bei f = 1 / N (wobei f die normalisierte Frequenz ist, wobei 1 die Abtastrate ist).

Dieses nächste Bild zeigt den rechteckigen Fensteransatz für das Filterdesign (den ich niemals empfehlen würde, der aber informativ ist). Das erste Diagramm in der oberen linken Ecke zeigt den Zielfrequenzgang für unseren Filter als idealen "Mauer" -Antwort. Bitte verwechseln Sie das nicht mit dem "Boxcar-Fenster" (oder "rechteckigen Fenster"), das ebenfalls eine rechteckige Form hat - das Fenster befindet sich im Zeitbereich!

Um ein solches Filter zu realisieren, würden wir die Impulsantwort des gewünschten Frequenzgangs als Koeffizienten in unserem FIR-Filter verwenden (die Koeffizienten des Filters sind die Impulsantwort - setzen Sie einen Impuls ein und kommen Sie alle Koeffizienten heraus! ). Die Impulsantwort für eine Rechteckfrequenzantwort (Brickwall) ist die inverse FT, bei der es sich um eine Sinc-Funktion im Zeitbereich handelt, die in der unteren linken Ecke als "Erforderliche Impulsantwort" angezeigt wird. Eine Sinc-Funktion erstreckt sich auf plus und minus unendlich. Um einen solchen Filter tatsächlich zu realisieren, benötigen wir einen unendlich langen Filter und eine unendlich lange Verzögerung. Offensichtlich können wir das nicht tun, also kürzen wir die Koeffizienten auf etwas Realisierbares. Je länger der Filter ist, desto näher kommen wir der idealen Brickwall-Reaktion.

Das Abschneiden der Impulsantwort im Zeitbereich ist mathematisch identisch mit dem Multiplizieren mit einem rechteckigen Fenster im Zeitbereich. (Beachten Sie, dass die Impulsantwort auch um die Hälfte der Zeitdauer des Fensters verzögert ist, damit das System kausal ist.) Das Multiplizieren im Zeitbereich entspricht der Faltung im Frequenzbereich. Der Frequenzbereich (FT) der Impulsantwort vor dem Abschneiden ist unser ursprünglich gewünschter Brickwall-Frequenzgang. Der Frequenzgang für das rechteckige Fenster ist eine Sinc-Funktion im Frequenzbereich.

Wenn wir also die gewünschte Impulsantwort abschneiden (zeitlich mit einem rechteckigen Fenster multiplizieren), falten wir die gewünschte Frequenzantwort mit einer Sinc-Funktion, was zu einer Annäherung unserer Zielfrequenzantwort führt, wie in der oberen rechten Ecke des Bildes gezeigt unten.

$2\pi/N$$2 \pi$$\Delta \omega$$2\pi/N$

$2\pi/\Delta\omega$$N = 2\pi/\Delta\omega$

Die Länge eines FIR-Filters oder die Ordnung eines IIR-Filters ist ungefähr umgekehrt proportional zum Verhältnis der Breite des Übergangsbandes (engste, wenn viele) zur Abtastrate, wobei andere Dinge etwas äquivalent sind, außer sehr kurz oder sehr Filter niedriger Ordnung.