Wann sind zwei Signale orthogonal?

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Die klassische Definition der Orthogonalität in der linearen Algebra lautet, dass zwei Vektoren orthogonal sind, wenn ihr inneres Produkt Null ist.

Ich dachte, diese Definition könnte auch auf Signale angewendet werden, aber dann dachte ich über das folgende Beispiel nach:

Betrachten Sie ein Signal in Form einer Sinuswelle und ein anderes Signal in Form einer Kosinuswelle. Wenn ich beide abtastet, erhalte ich zwei Vektoren. Während Sinus und Cosinus orthogonale Funktionen sind, ist das Produkt der abgetasteten Vektoren fast nie Null, und ihre Kreuzkorrelationsfunktion bei t = 0 verschwindet nicht.

Wie ist dann in diesem Fall die Orthogonalität definiert? Oder ist mein Beispiel aus?

orthogonal-signals

— user26311
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Wie Sie vielleicht wissen, hängt die Orthogonalität vom inneren Produkt Ihres Vektorraums ab. In Ihrer Frage stellen Sie Folgendes fest:

Während Sinus und Cosinus orthogonale Funktionen sind ...

Dies bedeutet, dass Sie wahrscheinlich von dem "Standard" -Innenprodukt für Funktionsräume gehört haben:

⟨ f, g ⟩ = \int_{x_{1}}^{x_{2}} f (x) g (x) d x

$\langle f,g\rangle=\int\limits_{x_1}^{x_2} f(x)g(x) \ \mathrm{d}x$

Wenn Sie dieses Integral für eine einzelne Periode für und lösen , ist das Ergebnis : Sie sind orthogonal. $f(x)=\cos (x)$ $g(x)=\sin(x)$ $0$

Das Abtasten dieser Signale hängt jedoch nicht mit der Orthogonalität oder irgendetwas zusammen. Die "Vektoren", die Sie erhalten, wenn Sie ein Signal abtasten, sind nur zusammengesetzte Werte, die für Sie sinnvoll sind : Es handelt sich nicht ausschließlich um Vektoren , sondern nur um Arrays (im Programmier-Slang). Die Tatsache, dass wir sie in MATLAB oder einer anderen Programmiersprache Vektoren nennen, kann verwirrend sein.

Eigentlich ist es etwas schwierig, da man einen Vektorraum der Dimension definieren könnte, wenn man Abtastwerte für jedes Signal hat, wobei diese Arrays tatsächlich tatsächliche Vektoren wären . Aber diese würden verschiedene Dinge definieren. $N$ $N$

Nehmen wir zur Vereinfachung an, wir befinden uns im Vektorraum und Sie haben Abtastwerte für jedes Signal, und alle sind reelle Werte. Im ersten Fall würde sich ein Vektor (dh drei Zahlen zusammen) auf eine Position im Raum beziehen. Im zweiten Fall beziehen sie sich auf drei Werte, die ein Signal zu drei verschiedenen Zeiten erreicht. In diesem Beispiel ist der Unterschied leicht zu erkennen. Wenn Sie Samples hätten, wäre der Begriff "Raum" weniger intuitiv, aber die Idee gilt immer noch. $\mathbb{R}^3$ $3$ $n$

Kurz gesagt, zwei Signale sind orthogonal, wenn das innere Produkt zwischen ihnen (nämlich das Integral, das ich oben geschrieben habe) , und die Vektoren / Arrays, die durch Abtasten erhalten werden, sagen nichts darüber aus, dass sie orthogonal sind. $0$

— Tendero
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Der Begriff "Vektor" bedeutet nicht unbedingt "eine Position im Raum". Tatsächlich kann jedes Element aus einem Vektorraum als Vektor betrachtet werden. Der Funktionsraum L2 ist auch ein Vektorraum mit elementweiser Addition und Skalarmultiplikation. Daher können Funktionen, die Element von L2 sind, als Vektoren dieses Vektorraums betrachtet werden. Als solches bestimmt das innere Produkt zwischen diesen Vektoren, ob die Funktionen in diesem Vektorraum orthogonal sind.

— Maximilian Matthé

Hallo @ MaximilianMatthé, ich habe nie gesagt, dass "vector" = "Position im Raum". Ich habe das Beispiel des Vektorraums , um die Dinge klarer zu machen, und in diesem Fall sind Vektoren allgemeine Raumkoordinaten. Die Tatsache, dass ich ein inneres Produkt für Funktionen definiert habe, besagt (implizit), dass Funktionen einen Vektorraum bilden können. Sollte ich etwas in meinem Beitrag bearbeiten, um es klarer zu machen? Ich bezog mich auf Samples, die nicht den gleichen Vektorraum wie die Signale selbst bilden, und das ist der Grund, warum die Samples nichts über Orthogonalität aussagen.

R^{3}

$\mathbb{R}^3$

— Tendero

@ Tendero Danke (Ich habe die Frage gestellt, habe vergessen, mich vorher anzumelden)! Ich kämpfe jedoch immer noch, weil Sie sagten, wenn ich das gegebene Integral mit und berechnen würde, würde ich . Nun, nein . Das Ergebnis ist , was nicht immer Null ist. Zugegeben, wenn ich über einen Zeitraum integriere, bekomme ich Null. Aber in Wirklichkeit habe ich zunächst nichtperiodische Funktionen, und ihr inneres Produkt (wie durch Ihr Integral definiert) ist auch nicht periodisch. Und was dann?

f (x) = c o s (x)

$f(x)=cos(x)$

g (x) = s i n (x)

$g(x)=sin(x)$

0

$0$

- 0.5 c o s^{2} (x)

$-0.5cos^2(x)$

— AlphaOmega

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@AlphaOmega Funktionen sind in bestimmten Intervallen orthogonal. Das Integrationsintervall muss definiert werden, um zu wissen, ob zwei Funktionen in diesem Intervall orthogonal sind . Das Übliche ist, den Kosinus und den Sinus in einer Periode zu integrieren, und dann ist das innere Produkt . Wenn Sie nicht periodische Funktionen haben, sollten Sie vielleicht eine andere Frage stellen und sehen, was in diesem Fall los ist.

0

$0$

— Tendero

Das innere Produkt sollte immer die Grenzen enthalten, sonst ist das innere Produkt keine Funktion für ein Feld. Welches Intervall Sie wählen, ändert auch den Vektorraum, über den gesprochen wird.

— Syntonym

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Orthogonalität wird in der Tat über ein inneres Produkt definiert, mit einem Integral für eine kontinuierliche ordinale Zeitvariable und einer Summe für eine diskrete Zeitvariable.

Wenn Sie zwei (kontinuierliche) orthogonale Signale in diskrete (regelmäßige Abtastung, diskrete Amplituden) umwandeln, die möglicherweise mit Fenstern versehen sind (endliche Unterstützung), können Sie die Orthogonalität beeinflussen. Mit anderen Worten: Zwei orthogonale zeitkontinuierliche Signale können nur nahezu diskret werden, wenn sie diskretisiert werden. Wenn die Diskretisierung gut genug ist und das Fenster gut gewählt ist, behalten Sie in einigen Fällen (in Bezug auf Periodizität, Häufigkeit) die Orthogonalität bei.

In der kontinuierlichen Einstellung ist der Funktionsraum unendlich, sodass Sie viele Optionen haben, um orthogonale Signale zu finden. In einem diskreten Raum ist die maximale Anzahl von zueinander orthogonalen Signalen durch die Dimension des Raums begrenzt.

— Laurent Duval
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Sie müssen zuerst ein inneres Produkt für Funktionen definieren. Sie können nicht einfach miteinander multiplizieren.

Ich bin mir über die Eigenschaften des inneren Produkts selbst nicht sicher, aber nach dieser Vorlesung muss ein inneres Produkt kommutativ, linear sein und das innere Produkt einer Funktion mit sich selbst sollte eindeutig positiv sein.

Eine Option für ein inneres Produkt für Funktionen könnte sein:

⟨ f_{1}, f_{2} ⟩ = \int_{a}^{b} f_{1} (x) f_{2} (x) d x,

$\left\langle f_1, f_2 \right\rangle = \int_a^b f_1(x)\, f_2(x)\, \mathrm{d}x,$

$a<b$ $a$ $b$ $\sin(x)$ $\cos(x)$

— fibonatisch
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s i n (2 π k_{1} f_{0} t)

$sin(2\pi k_1 f_0 t)$

\cos (2 π k_{2} f_{0} t)

$\cos(2\pi k_2 f_0 t)$

b - a = \frac{n}{f_{0}}

$b-a=\frac{n}{f_0}$

k_{1}, k_{2} \in Z

$k_1,k_2\in\mathbb{Z}$

n \in Z

$n\in\mathbb{Z}$

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Innere Produkte sind nicht linear - sie sind bilinear für reale Vektorräume und sesquilinear für komplexe. Sie sind symmetrisch für reale Vektorräume und konjugiert symmetrisch für komplexe.

— Batman

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Ich denke, ich kann die Frage beantworten, nachdem ich den Artikel "Die empirische Modenzerlegung und das Hilbert-Spektrum für nichtlineare und instationäre Zeitreihenanalysen" von Huang gelesen habe. In dieser Arbeit (Seite 927) gab Huang die Definition der Orthogonalität zwischen zwei Signalen an:

Außerdem möchte ich Ihnen meinen MATLAB-Code mitteilen:

function OC=ort(x,y)
x=x(:)';
y=y(:);
xy=x*y;
OC=xy/(sum(x.^2)+sum(y.^2));
end

Das ist alles, viel Glück ~

— Lesan Jia
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In Bezug auf die Matrixmultiplikation (wie für eine DFT) wird das äquivalente Integrationsintervall für Signale durch die Größe der Matrix (oder die Größe des Eingangsvektors) und die Abtastrate bestimmt. Diese werden häufig aus praktischen Gründen ausgewählt (Zeit oder Raum von Interesse und / oder Verfügbarkeit usw.). Die Orthogonalität wird über dieses Integrationsintervall definiert.

— hotpaw2
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Ich würde argumentieren, dass Ihr Beispiel ein bisschen abweicht.

$\sin$ $\cos$ $\{\dfrac{n2\pi}{N}\ |\ n\in\{0,\ldots, N-1\}\}$ $N$

— axplusb
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Ich möchte einen geometrischen Ansatz für diese Art von Problem haben, indem ich mich daran erinnere, dass die Pythogoras-Formel immer noch für Vektoren gilt:

| x - y |^{2} = | x |^{2} + | y |^{2} - 2 \cdot ⟨ x, y ⟩,

$| x - y |^2 = | x |^2 + | y |^2 - 2\cdot\left\langle x, y \right\rangle,$

wobei das Skalarprodukt den Korrelationskoeffizienten als den Cosinus des Winkels zwischen den beiden Vektoren in diesem inneren Produktraum definiert :

⟨ x, y ⟩ = | x | \cdot | y | \cdot \cos (a n g l e (x, y)),

$\left\langle x, y \right\rangle = | x | \cdot | y | \cdot \cos( angle(x, y)),$

$\cos(angle(x, y))$ $-1$ $1$ $angle(x, y)$ $x$ $y$

Um Ihre Frage zu beantworten, wird die Orthogonalität (wie im planaren Raum der üblichen Geometrie) so definiert, als ob der Kosinus Null ist .

— meduz
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\cos (f, g)

$\cos(f,g)$

\cos

$\cos$

\begin{aligned} \cos (f, g) & ≜ \frac{⟨ f, g ⟩}{| f | \cdot | g |} \\ = \frac{| f |^{2} + | g |^{2} - | f - g |^{2}}{2 \cdot | f | \cdot | g |} \end{aligned}

$\begin{align} \cos(f,g) & \triangleq \frac{\langle f, g \rangle}{|f| \cdot |g|} \\ \\ &= \frac{|f|^2+|g|^2-|f-g|^2}{2 \cdot |f| \cdot |g|} \\ \end{align}$

Sie haben Recht, mein Fehler, ich habe die Formulierung meiner Antwort korrigiert.

— Meduz