Was ist ein gutes Beispiel für einen ergodischen Prozess?

Ich versuche, einfache Beispiele für einen ergodischen Prozess zu finden. Welcher Prozess kommt Ihnen in den Sinn, um seine Eigenschaften gut zu veranschaulichen?

Eine schnelle Recherche ( Wikipedia , eine andere Antwort ) liefert hauptsächlich Beispiele für nichtergodische Prozesse. Ich frage mich auch, welche realen Phänomene sich als ergodischer Prozess modellieren lassen.

Angenommen, ich gebe Ihnen eine Reihe von Zahlen und sage Ihnen, sie wurden zufällig ausgewählt. Und du weißt, ich versuche nicht, dich zu täuschen. Zahlen sind: $3$ , $1$ , $4$ , $1$ , $5$ , $3$ , $2$ , $3$ , $4$ , $3$ .

Ich schlage Ihnen jetzt vor, den nächsten vorherzusagen oder zumindest so nah wie möglich zu sein. Welche Nummer würdest du wählen?

[Denken]

[Berechnen]

• Ich wette, die meisten Leser werden wahrscheinlich eine Zahl zwischen $0$ und $6$ wählen . Wegen der begrenzten Spannweite.
• Vielleicht eine ganze Zahl. Wer wird wahrscheinlich $\pi$ vorschlagen (auch wenn er an die ersten Ziffern denkt)?
• Möglicherweise $2$ , $3$ oder $4$ . Vielleicht sogar $3$ .

Grundsätzlich gehen Sie davon aus, dass ich Zahlen mit einer unbekannten Regel versehen habe. Und vielleicht können Sie denken (oder die Hypothese aufstellen), dass die Reihe der gegebenen Zahlen, wenn sie lang genug ist, Ihnen ein gutes Verständnis der Regeln verschaffen kann, die ich im Sinn habe. Wenn Sie dies tun, nehmen Sie an, dass mein mentaler Prozess ergodisch ist:

ein Prozess, bei dem jede Sequenz oder große Stichprobe für das Ganze gleichermaßen repräsentativ ist (in Bezug auf einen statistischen Parameter) ( Merriam-Webster )

Hier kann man nicht sicher sein, dass meine Serie einem ergodischen Prozess folgt. 3432 ist meine Karten-PIN, 3 ein Fehler (ich wollte 6, aber ich bin ungeschickt), 4, 3, 1 und 5 sind die ersten Ziffern von $\pi$ , die ich ziemlich oft benutze. Meine nächste "Zahl" wäre C (hexadezimal) gewesen. Ich glaube nicht, dass dieser Prozess ergodisch ist. Jede Zahl ergibt sich aus unterschiedlichen Gesetzen. Aber ehrlich gesagt weiß ich es nicht. Vielleicht bin ich Kräften höherer Ordnung ausgesetzt, die mich unter Ergodizitätsregeln treiben.

Also, Ergodizität ist eine Hypothese von einer Art „Einfachheit“ in den Regeln eines Prozesses. Wie Stationarität oder Sparsamkeit. Wirf einen normalen Würfel mit $6$ Gesichtern. Wirf eine normale Münze. Wenn nichts von außen versucht, das Ergebnis zu beeinflussen (ein unsichtbares Wesen, das den Würfel fängt und ein Gesicht seiner Wahl zeigt), ist es wahrscheinlich, dass Sie einen ergodischen Prozess erzeugen.

Anstatt in der Lage zu sein, eine unendliche Anzahl von Münzen mit Ihrer unendlichen Anzahl von Daumen genau in derselben Sekunde zu werfen, werfen Sie jede Sekunde eine Münze und glauben, dass das Endergebnis in etwa gleich ist.

Die Brownsche Bewegung besitzt auch ergodische Eigenschaften.

Aus dem Wikipedia-Artikel:

Ein stochastischer Prozess wird als ergodisch bezeichnet, wenn seine statistischen Eigenschaften aus einer einzigen, ausreichend langen Zufallsstichprobe des Prozesses abgeleitet werden können.

Mit anderen Worten: Die statistischen Eigenschaften des Zeit-Ensembles sind dieselben wie die statistischen Eigenschaften des Realisierungs-Ensembles.

Vielleicht müssen wir einen Schritt zurücktreten und darüber sprechen, was ein stochastischer Prozess ist, um anzufangen.

Stellen Sie sich vor, es ist ein stürmischer Tag. Sie sitzen zu Hause und schauen aus dem Fenster. Gelegentlich sehen Sie Blätter von Ihrem Fenster geweht. Sie erhalten Ihre Whiteboard-Marker und zeichnen ein Koordinatensystem auf Ihr Fenster, sodass Sie jetzt mehrere Blattpfade beobachten und vergleichen können:

Jeder Pfad ist also eine Realisierung des stochastischen Prozesses "Laubpfade an einem stürmischen Tag".

$y$$x$

$x$$y$$x$

Normalerweise ist es schwieriger, den nichtergodischen Fall zu verstehen (daher wird häufiger nach Beispielen für solche Prozesse gesucht).

$X(t)$$t$$X$$0$$1$$\frac{1}{2}$

$N$$m=\frac{X(1)+X(2)+\cdots}{N}$$m\to \frac{1}{2}$

In Bezug auf den zweiten Teil Ihrer Frage können wir Ergodizität verwenden, um Probleme zu vereinfachen. Beispielsweise kann es schwierig oder sogar unmöglich sein, zwischen dem Ensemble-Mittelwert und dem Zeitmittelwert zu berechnen (oder zu simulieren). Da wir jedoch wissen (oder annehmen), dass der Prozess ergodisch ist (dh, sie sind identisch), berechnen wir nur den einfacheren. Als Beispiel kann ich mir Monte-Carlo-Methoden vorstellen (wie die, mit denen wir die Fehlerleistung eines Kommunikationssystems modellieren), bei denen wir die Sende-Empfangs-Kette simulieren und mehrmals wiederholen und die Ergebnisse mitteln, um das herauszufinden Ensemble-Eigenschaften (wie Fehlerwahrscheinlichkeit usw.).