Wie kann die Ausgangssequenz gleich der Summe der Kopien der Impulsantwort, der skalierten und der zeitversetzten Signale sein?

Es tut mir leid, das ist eine sehr grundlegende Frage. Aber es fällt mir schwer zu verstehen, wie es möglich ist.

Ich weiß, dass die Impulsantwort der Ausgang des Systems ist, wenn die Impulsfolge als Eingang mit Anfangsbedingungen auf 0 gegeben wird.

Durch Skalieren wird die Amplitude des Signals erhöht, dh wenn ich den Eingang mit 2 multipliziere, wird der Ausgang auch mit 2 multipliziert.

Zeitverschobenes Signal ist, wenn ich den Eingang verzögere, dann wird der Ausgang auch um den gleichen Faktor verzögert.

Kann jemand dies bitte anhand eines Beispiels veranschaulichen, wie jede Sequenz in eine Summe von Kopien der Impulsantwort, skalierten und zeitversetzten Signalen zerlegt werden kann?

Vielen Dank im Voraus.

Eine Interpretation Ihrer Frage könnte wie folgt sein:

Vorausgesetzt, ein System hat die folgenden zwei Eigenschaften:

1. die Skalierungs- oder Homogenitätseigenschaft , die, wenn die Antwort auf Eingabe$x(t)$ wird ausgegeben $y(t)$, dann für jede Wahl von $\alpha$, die Systemantwort auf skalierte Eingabe $\alpha\cdot x(t)$ ist skalierte Ausgabe $\alpha\cdot y(t)$,

2. die Zeitinvarianzeigenschaft , die für alle Auswahlmöglichkeiten von$\tau$, die Antwort auf zeitverzögerte Eingabe $x(t-\tau)$ ist eine zeitverzögerte Ausgabe $y(t-\tau)$,

Warum hat das System dann die Additivitäts- oder Überlagerungseigenschaft , die die Antwort auf die Eingabe darstellt?$x_1(t)+x_2(t)$ ist $y_1(t) + y_2(t)$ wo die Systemantwort auf $x_i(t)$ ist $y_i(t)$, $i = 1,2~$ ???? $~~~~~~~~~~~$ Allgemeiner gesagt, warum reagiert das System auf Eingaben? $\alpha\cdot x_1(t-\tau_1) + \beta\cdot x_2(t-\tau_2)$ gegeben durch $\alpha\cdot y_1(t-\tau_1) + \beta\cdot y_2(t-\tau_2)~$?

Die Antwort ist, dass ein System mit den Eigenschaften 1 und 2 nicht unbedingt die Additivitäts- oder Überlagerungseigenschaft aufweist. Wenn die Überlagerungseigenschaft auch gilt, wird das System als lineares zeitinvariantes System bezeichnet. Dies ist jedoch eine zusätzliche Annahme, die Sie treffen (oder beweisen) müssen.

Im Allgemeinen werden Homogenität und Additivität zu der Linearitätseigenschaft kombiniert , die besagt, dass die Antwort auf die Eingabe$\alpha\cdot x_1(t)+\beta\cdot x_2(t)$ (das heißt, eine lineare Kombination von Eingaben $x_1(t)$ und $x_2(t)$) ist $\alpha\cdot y_1(t) + \beta\cdot y_2(t)$ (das heißt, die gleiche lineare Kombination von Ausgängen$y_1(t)$ und $y_2(t)$).

Ein paar Punkte, die man im Hinterkopf behalten sollte:

• Ein System kann linear sein, ohne zeitinvariant zu sein (z. B. ein Modulator) $x(t) \to x(t)\cos(\omega t)$oder zeitinvariant, ohne linear zu sein (z. B. eine Schaltung nach dem Quadratgesetz) $x(t) \to [x(t)]^2$

• Ein additives System, das Output erzeugt $y(t) + y(t) = 2y(t)$ als Antwort auf die Eingabe $x(t) + x(t) = 2x(t)$und so scheint die Skalierungseigenschaft tatsächlich nicht die Skalierungseigenschaft zu haben. Überzeugen Sie sich selbst, dass dies wahr ist, indem Sie versuchen zu beweisen, dass die Antwort auf$0.5x(t)$ ist $0.5y(t)$. Kurz gesagt, Skalierung und Additivität sind zwei verschiedene Eigenschaften, und ein System, das eine davon genießt, genießt nicht unbedingt die andere.

---

---

Eine zweite Interpretation Ihrer Frage könnte wie folgt lauten:

Für ein lineares zeitinvariantes System soll die Ausgabe die Summe der skalierten und zeitverzögerten Versionen der Impulsantwort sein, aber ich sehe nicht, wie das so ist. Zum Beispiel sagt das Standard-Faltungsergebnis (für zeitdiskrete Systeme)

$$y[n] = \sum_m x[m]h[n-m]$$ wo $h[\cdot]$ist die Impulsantwort (oder Einheitsantwort) des Systems. Dies scheint jedoch völlig rückwärts zu sein, da die Impulsantwort zeitlich rückwärts läuft (wie in$-m$ im Argument von $h$ in der obigen Formel im Vergleich zu $x[m]$ in welcher Zeit läuft vorwärts.

Dies ist in der Tat ein berechtigtes Anliegen, aber tatsächlich ist die Faltungsformel sehr erfolgreich darin , das Ergebnis zu verbergen, dass die Ausgabe die Summe der skalierten und zeitverzögerten Versionen der Impulsantwort ist. Was los ist, ist wie folgt.

Wir brechen das Eingangssignal auf $x$in eine Summe von skalierten Einheitspulssignalen. Die Systemantwort auf das Einheitspulssignal $\cdots, ~0, ~0, ~1, ~0, ~0, \cdots$ist die Impulsantwort oder Impulsantwort

$$h[0], ~h[1], \cdots, ~h[n], \cdots$$ und so durch die Skalierungseigenschaft den einzelnen Eingabewert $x[0]$oder, wenn Sie es vorziehen $$x[0](\cdots, ~0, ~0, ~1, ~0,~ 0, \cdots) = \cdots ~0, ~0, ~x[0], ~0, ~0, \cdots$$ erstellt eine Antwort $$x[0]h[0], ~~x[0]h[1], \cdots, ~~x[0]h[n], \cdots$$

Ebenso der einzelne Eingabewert $x[1]$ oder schafft

$$x[1](\cdots, ~0, ~0, ~0, ~1,~ 0, \cdots) = \cdots ~0, ~0, ~0, ~x[1], ~0, \cdots$$ erstellt eine Antwort $$0, x[1]h[0], ~~x[1]h[1], \cdots, ~~x[1]h[n-1], x[1]h[n] \cdots$$ Beachten Sie die Verzögerung in der Antwort auf $x[1]$. Wir können in diesem Sinne weiter machen, aber es ist am besten, zu einer tabellarischeren Form zu wechseln und die verschiedenen Ausgaben zeitlich richtig auszurichten. Wir haben $$\begin{array}{l|l|l|l|l|l|l|l} \text{time} \to & 0 &1 &2 & \cdots & n & n+1 & \cdots \\ \hline x[0] & x[0]h[0] &x[0]h[1] &x[0]h[2] & \cdots &x[0]h[n] & x[0]h[n+1] & \cdots\\ \hline x[1] & 0 & x[1]h[0] &x[1]h[1] & \cdots &x[1]h[n-1] & x[1]h[n] & \cdots\\ \hline x[2] & 0 & 0 &x[2]h[0] & \cdots &x[2]h[n-2] & x[2]h[n-1] & \cdots\\ \hline \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \\ \hline x[m] & 0 &0 & 0 & \cdots & x[m]h[n-m] & x[m]h[n-m+1] & \cdots \\ \hline \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{array}$$ Die Zeilen im obigen Array sind genau die skalierten und verzögerten Versionen der Impulsantwort, die sich zur Antwort addieren $y$ zum Eingangssignal $x$. Aber wenn Sie eine spezifischere Frage stellen wie

Was ist die Ausgabe zur Zeit $n$?

dann können Sie die Antwort erhalten, indem Sie die summieren $n$-te Spalte zu bekommen

$$y[n] = x[0]h[n] + x[1]h[n-1] + x[2]h[n-2] + \cdots + x[m]h[n-m] + \cdots = \sum_{m=0}^{\infty} x[m]h[n-m],$$ Die geliebte Faltungsformel, die Generationen von Studenten verwirrt, weil die Impulsantwort in der Zeit rückwärts zu laufen scheint.

Wenn wir ein diskretes Signal betrachten, sagen wir

x [n] = {1,5,3} mit drei Impulsen bei n = 0, 1 und 2 mit der Amplitude 1, 5 und 3.

Jetzt können wir schreiben

x [n] = 1 *$\delta[n]$ + 5 *$\delta[n-1]$ + 5 *$\delta[n-2]$

oder wir verallgemeinern es,

x [n] = $\sum^{\infty}_{-\infty} x[k]\delta(n-k)$

Für das lineare zeitinvariante System wissen wir, dass

für eine gegebene Eingabe ist x [n] = $x[m]\delta[n-m]$eine Systemantwort als h [n], Ausgabe $y_m[n]$ = $x[m]h[n-m]$

Verwenden Sie daher die kommutative Eigenschaft,

y [n] = $\sum^{\infty}_{-\infty} y_k[n]$ = $\sum^{\infty}_{-\infty} x[k]h[n-k]$