Warum ist eine lineare Phase wichtig?

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Wenn Symmetriebedingungen erfüllt sind, haben FIR-Filter eine lineare Phase. Dies gilt nicht für IIR-Filter.

Für welche Anwendungen ist es jedoch schlecht, Filter anzuwenden, die diese Eigenschaft nicht haben, und was wäre der negative Effekt?

filters filter-design fir

— Das Pheromon-Kind
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Ein lineares Phasenfilter bewahrt die Wellenform des Signals oder der Komponente des Eingangssignals (soweit dies möglich ist, da sich die Amplitude einiger Frequenzen durch die Wirkung des Filters ändert).

Dies kann in mehreren Bereichen wichtig sein:

kohärente Signalverarbeitung und Demodulation , bei der die Wellenform wichtig ist, weil eine Schwellenwertentscheidung in der Wellenform getroffen werden muss (möglicherweise im Quadraturraum und mit vielen Schwellenwerten, z. B. 128-QAM-Modulation), um zu entscheiden, ob ein empfangenes Signal eine "1" darstellt "oder" 0 ". Daher ist das Erhalten oder Wiederherstellen der ursprünglich übertragenen Wellenform von größter Bedeutung, da sonst falsche Schwellenwertentscheidungen getroffen werden, die einen Bitfehler im Kommunikationssystem darstellen würden.
Radarsignalverarbeitung , bei der die Wellenform eines zurückgesendeten Radarsignals wichtige Informationen über die Eigenschaften des Ziels enthalten kann
Audioverarbeitung , bei der einige glauben (obwohl viele die Bedeutung bestreiten), dass die "zeitliche Ausrichtung" der verschiedenen Komponenten einer komplexen Wellenform wichtig ist, um subtile Qualitäten des Hörerlebnisses zu reproduzieren oder beizubehalten (wie das "Stereobild" und dergleichen)

— AndyW
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(Ich habe ABX-Hörtests durchgeführt und konnte zwischen simuliertem Linkwitz-Riley-Crossover 8. Ordnung und ohne unterscheiden. Impulsive Klänge werden "chirpy", da die hohen Frequenzen etwas früher ankommen als die niedrigen. Also ist # 3 nicht ganz weit hergeholt.)

— Endolith

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Es ist unnötig zu erwähnen , dass die Wellenformbewahrungseigenschaft nur für Schmalbandsignale gilt. Andernfalls (für allgemeine Breitbandsignale) ändert das Filter (ob in linearer Phase oder nicht) die Signalform so stark, wie sich die Impulsantwort mit dem Signal faltet. .

— Fat32

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Lassen Sie mich die folgende Grafik zu den bereits gegebenen tollen Antworten hinzufügen.

Wenn ein Filter eine lineare Phase hat, werden alle Frequenzen innerhalb dieses Signals zeitlich um den gleichen Betrag verzögert (wie mathematisch in Fat32s Antwort beschrieben).

Jedes Signal kann (über die Fourier-Serie) in separate Frequenzkomponenten zerlegt werden. Wenn das Signal durch einen Kanal (z. B. ein Filter) verzögert wird, wird nach der Verzögerung dasselbe Signal (interessierendes Signal im Durchlassbereich des Kanals) wiederhergestellt, solange alle diese Frequenzkomponenten um denselben Betrag verzögert werden .

Stellen Sie sich eine Rechteckwelle vor, die durch die Fourier-Reihenexpansion aus einer unendlichen Anzahl ungerader harmonischer Frequenzen besteht.

In der obigen Grafik zeige ich die Summe der ersten drei Komponenten. Wenn diese Komponenten alle um den gleichen Betrag verzögert sind, ist die interessierende Wellenform intakt, wenn diese Komponenten summiert werden. Eine signifikante Verzerrung der Gruppenverzögerung tritt jedoch auf, wenn jede Frequenzkomponente zeitlich unterschiedlich verzögert wird.

Das Folgende kann dazu beitragen, einen zusätzlichen intuitiven Einblick für Personen mit HF- oder analogem Hintergrund zu geben.

Stellen Sie sich eine ideale verlustfreie Breitband-Verzögerungsleitung vor (z. B. approximiert durch eine Länge eines Koaxialkabels), die Breitbandsignale ohne Verzerrung durchlassen kann.

Die Übertragungsfunktion eines solchen Kabels ist in der folgenden Grafik dargestellt. Sie hat eine Größe von 1 für alle Frequenzen und eine Phase, die im direkten linearen Verhältnis zur Frequenz negativ ansteigt. Je länger das Kabel, desto steiler die Steigung der Phase, aber in allen Fällen "lineare Phase".

Das macht Sinn; Die Phasenverzögerung eines 1-Hz-Signals, das mit einer Verzögerung von 1 Sekunde durch ein Kabel geleitet wird, beträgt 360 °, während ein 2-Hz-Signal mit derselben Verzögerung 720 ° usw. beträgt.

Wenn man dies auf die digitale Welt zurückbringt, ist $z^{-1}$ die z-Transformation einer Verzögerung von 1 Abtastwert (daher eine Verzögerungsleitung) mit einem ähnlichen Frequenzgang zu dem, was gezeigt wird, nur in Bezug auf H (z); eine konstante Größe = 1 und eine Phase , die linear von geht $0$ bis $-2\pi$ von f = 0 Hz bis f = fs (die Abtastrate).

Die einfachste mathematische Erklärung ist, dass die mit der Frequenz lineare Phase und die konstante Verzögerung Fourier-Transformationspaare sind. Dies ist die Verschiebungseigenschaft der Fourier-Transformation. Eine konstante Zeitverzögerung von $\tau$ Sekunden führt zu einer linearen Phase der Frequenz $-\omega \tau$ , wobei $\omega$ die Winkelfrequenzachse im Bogenmaß pro Sekunde ist:

F {g (t - τ)} = \int_{- \infty}^{\infty} g (t - τ) e^{j ω t} d t

$\mathscr{F}\{g(t-\tau)\} = \int_{-\infty}^{\infty}g(t-\tau)e^{j\omega t}dt$

u = t - τ

$u = t - \tau$

F {g (u)} = \int_{- \infty}^{\infty} g (u) e^{- j ω (u + τ)} d u

$\mathscr{F}\{g(u)\} = \int_{-\infty}^{\infty}g(u)e^{-j\omega (u+\tau)}du$

= e^{- j ω τ} \int_{- \infty}^{\infty} g (u) e^{- j ω u} d u

$= e^{-j\omega \tau}\int_{-\infty}^{\infty}g(u)e^{-j\omega u}du$

= e^{- j ω τ} G (j ω)

$= e^{-j\omega \tau}G(j\omega)$

— Dan Boschen
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Dan, dein fröhliches und trauriges Gesicht hat mich laut zum Lachen gebracht, wie einfach informativ es ist! Schön gemacht!

— Oreo

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Um das bereits Gesagte zu ergänzen, können Sie dies intuitiv erkennen, indem Sie die folgende Sinuskurve mit monoton zunehmender Frequenz betrachten.

Wenn Sie dieses Signal nach rechts oder links verschieben, ändert sich die Phase. Beachten Sie jedoch auch, dass die Phasenänderung bei höheren Frequenzen größer und bei niedrigeren Frequenzen kleiner ist. Mit anderen Worten nimmt die Phase linear mit der Frequenz zu. Eine konstante Zeitverschiebung entspricht also einer linearen Phasenänderung im Frequenzbereich.

— orodbhen
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Beste Antwort imo.

— Felix Crazzolara

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τ (ω) = - \frac{d ϕ (ω)}{d ω}

$\tau(\omega) = - \frac {d\phi(\omega)}{d\omega}$

x [n]

$x[n]$

ϕ (ω)

$\phi(\omega)$

$n_0$ $x[n]$ $y[n] = K x[n-n_0]$ $K$ $x[n]$ $\omega$ $K(w)$

Wie wirkt sich dann ein Filter mit nichtlinearer Phase (oder frequenzabhängiger Gruppenverzögerung) auf das Eingangssignal aus? Ein einfaches Beispiel wäre ein kompliziertes Eingangssignal, das als Summe mehrerer Wellenpakete bei verschiedenen Mittenfrequenzen betrachtet wird. Nach der Filterung wird jedes Paket mit einer bestimmten Mittenfrequenz aufgrund der frequenzabhängigen Gruppenverzögerung unterschiedlich verschoben (verzögert). Und dies wird zu einer Änderung der zeitlichen (oder räumlichen) Reihenfolge dieser Wellenpakete führen, manchmal drastisch, abhängig davon, wie nichtlinear die Phase ist, was als Dispersion bezeichnet wirdin der Kommunikationsterminalologie. Nicht nur die zusammengesetzte Wellenform, sondern auch einige Ereignisreihenfolgen können verloren gehen. Diese Art von dispersiven Kanälen hat schwerwiegende Auswirkungen wie ISI (Inter Symbol Interference) auf übertragene Daten.

Diese Eigenschaft von linearen Phasenfiltern ist daher auch als Wellenformbewahrungseigenschaft bekannt , die insbesondere auf Schmalbandsignale anwendbar ist. Ein Beispiel , in die Wellenform wichtig, andere als ISI ist , wie oben erwähnte, ist in der Verarbeitung von Bildern, wobei die Fourier - Transformations - Phaseninformation ist von größter Bedeutung im Vergleich zur Größe der Fourier - Transformation, für die Verständlichkeit des Bildes. Das gleiche kann jedoch nicht für die Wahrnehmung von gesagt werden Schallsignale aufgrund einer anderen Art von Empfindlichkeit des Ohres auf den Reiz.

— Fat32
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Was bedeutet verallgemeinerte lineare Phase in diesem Zusammenhang?

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@ 0MW Ich nehme an, es bedeutet, dass auch eine konstante Phasenverschiebung zulässig ist, wie bei der Hilbert-Transformation .

— Olli Niemitalo

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Die Antwort auf diese Frage wurde bereits in den vorherigen Antworten klar erläutert. Ich möchte es dennoch versuchen, eine mathematische Interpretation derselben zu präsentieren

$H(w)$

$e^{jw_{0}t}$ $H(w_{0})e^{jw_{0}t}$

$H(w_{0})$ $arg(H(w))$ $|H(w)|$

a r g (H (w)) = K w

$arg(H(w)) = Kw$

K

$K$

$e^{jw_{0}t}$

y (t) = | H (w) | * e^{j w_{0} t + j K w_{0}}

$y(t) = |H(w)|*e^{jw_{0}t + jKw_{0}}$

= | H (w) | * e^{j w_{0} (t + K)}

$= |H(w)|*e^{jw_{0}(t + K)}$

Wenn die Phase linear ist, unterliegen alle Frequenzkomponenten des Signals im Zeitbereich der gleichen Verzögerung, wodurch die Form erhalten bleibt.

— Saketh_S
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Ich werde nur eine Zusammenfassung für diese großartigen Antworten einfügen:

Das Verschieben des Signals im Zeitbereich führt zu einer Phasenverschiebung proportional zur Frequenz, so dass f (t + dt) F (f) e (j2πfdt) wäre.
Wenn ein Filter mit einer linearen Phasenantwort alle Frequenzen des Eingangssignals zu diesem Filter mit dem gleichen Betrag in der Zeitdomäne verschoben werden, führt dies zur Machbarkeit der Wiederherstellung des Eingangssignals.

— Youssef Rafaat
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