Warum kann das LTI-System keine neuen Frequenzen erzeugen?

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Warum impliziert , dass ein LTI-System keine neuen Frequenzen erzeugen kann? $Y (\omega) = X(\omega)H(\omega)$
Warum ist ein System, das neue Frequenzen erzeugt, kein LTI?

convolution time-frequency

— NUTZER
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Eines der entscheidenden Merkmale von LTI- Systemen ist, dass sie keine neuen Frequenzen erzeugen können, die nicht bereits in ihren Eingängen vorhanden sind. Bitte beachten Sie, dass sich eine Frequenz in diesem Zusammenhang auf Signale vom Typ $x(t)=e^{j\Omega_0 t}$ oder bezieht, $\cos(\Omega_0 t)$ die von unendlicher Dauer sind und auch als Eigenfunktionen von LTI-Systemen bezeichnet werden (speziell für nur das komplexe Exponential) und dessen CT-Fourier-Transformationen durch Impulsfunktionen im Frequenzbereich als ausgedrückt werden $X(\Omega) =2\pi \delta (\Omega - \Omega_0)$ oder $X(\Omega)=\pi \delta (\Omega - \Omega_0) + \pi \delta (\Omega + \Omega_0)$ .

Ein Weg , um zu sehen , warum das so ist, kommt von dem beobachtenden CTFT, , der Ausgang , die durch die gut bekannte Beziehung gegeben ist , nur wenn das System LTI ist (und tatsächlich auch stabil ist , so dass existiert). $Y(\omega)$ $y(t)$ $Y(\omega) = H(\omega)X(\omega)$ $H(e^{j \omega})$

(also gilt nur , wenn die Impulsantwort vorhanden ist, und es wird nur existieren, wenn das System LTI ist.)

y (t) = \int_{- \infty}^{\infty} x (τ) h (t - τ) d τ ⟷ Y (ω) = X (ω) H (ω),

$y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)h(t-\tau)d\tau \longleftrightarrow Y(\omega)=X(\omega)H(\omega),$

h (t)

$h(t)$

Aus einem kleinen Gedanken, der von einem einfachen grafischen Diagramm geleitet wird und die obige Multiplikationseigenschaft verwendet, kann man sehen, dass der Frequenzbereich der Unterstützung (Satz von Frequenzen, für die nicht Null ist) des Ausgangs ist gegeben durch den Schnittpunkt der Unterstützungsbereiche und der Eingänge und des Frequenzgangs des LTI-Systems: $R_y$ $Y(\omega)$ $Y(\omega)$ $R_x$ $R_h$ $X(\omega)$ $H(\omega)$

R_{y} = R_{x} \cap R_{h}

$R_y = R_x \cap R_h$

Und aus der Menge Algebra wissen wir , dass , wenn dann und . Das heißt, eine Kreuzung ist immer kleiner oder gleichwertig mit dem, was geschnitten wird. Daher ist der Unterstützungsbereich für kleiner oder höchstens gleich dem Träger von . Daher werden am Ausgang keine neuen Frequenzen beobachtet. $A = B \cap C$ $A \subset B$ $A \subset C$ $Y(\omega)$ $X(\omega)$

Da diese Eigenschaft eine notwendige Bedingung für ein LTI- System ist, kann kein System, das sie nicht besitzt, kein LTI sein.

— Fat32
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Unter der von Ihnen angegebenen Voraussetzung können Sie ein einfaches algebraisches Argument vorbringen. Wenn:

Y (ω) = X (ω) H (ω)

$Y(\omega) = X(\omega) H(\omega)$

wo ist das Spektrum des Eingangssignals und ) die Frequenzantwort des Systems ist, dann ist es offensichtlich, dass , wenn es einige in dem Eingangssignal für die , dann ebenfalls; Es gibt keinen Faktor , mit dem Sie multiplizieren könnten, um einen Wert ungleich Null zu erhalten. $X(\omega)$ $H(\omega$ $\omega$ $X(\omega) = 0$ $Y(\omega) = 0$ $H(\omega)$

Vor diesem Hintergrund erfordert es einige Arbeit, die Wahrheit der Prämisse zu ermitteln, mit der ich oben für LTI-Systeme begonnen habe. Wenn wir jedoch davon ausgehen, dass dies der Fall ist, folgt die Tatsache, dass ein LTI-System keine neuen Frequenzkomponenten in seinen Ausgang einführen kann, direkt.

— Jason R.
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Der Beweis wäre zu zeigen, dass für jedes ausreichend gut verhaltene Signal die Fourier-Transformation invertierbar ist und sowohl die FT als auch ihre Inverse linear sind. Jedes Signal mit einer Frequenz verhält sich ausreichend gut.

— Marcus Müller

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Warum impliziert , dass ein LTI-System keine neuen Frequenzen erzeugen kann? $Y(ω)=X(ω)H(ω)$

Wenn in unserer Eingabe keine bestimmte Frequenz ist, ist . Da 0 der multiplikativen Identität gehorcht , . Somit ist die Frequenz ; im Ausgangssignal nicht vorhanden. $\omega_\text{abs}$ $X(\omega_\text{abs}) = 0$ $\forall x\in \mathbb{R},~ 0 \cdot x = 0$ $Y(\omega_\text{abs}) = 0$ $\omega_\text{abs}$

Warum ist ein System, das neue Frequenzen erzeugt, kein LTI?

Nehmen wir an, unsere Eingabe ist . Wenn wir dann annehmen, dass unser System neue Frequenzen erzeugen kann, ist es möglich, die Ausgabe . Da wir die Konstanten nicht so finden können dass , ist unser System kein LTI. $x(t) = \cos(t)$ $y(t) = \cos(2\cdot t)$ $c_1, c_2$ $y(t) = c_1 \cos(t - c_2)$

— Scott
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Wird für die Überprüfung des LTI nicht nur c1 verwendet, und nicht auch c2?

— USER

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Ich würde sagen, dass der erste Punkt, der im Wesentlichen darin besteht, dass man durch Multiplikation von Null mit irgendetwas nichts ungleich Null erhalten kann, die prägnante Antwort ist.

— Robert Bristow-Johnson

c1 wird für die Linearität verwendet, c2 wird für die Zeitverschiebung verwendet. Wir könnten ein LTI-System haben, das alles um eine Zeiteinheit verzögert.

— Scott

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Ein LTI-System wird durch reine Frequenzen diagonalisiert . Sinus / Cosinus sind Eigenvektoren des linearen Systems. Mit anderen Worten, jeder einzelne Sinus- oder Cosinus-Eingang ungleich Null (oder ein komplexer Cisoid-Eingang) hat einen Sinus- oder Cosinus-Ausgang mit genau derselben Frequenz (die Ausgangsamplitude kann jedoch verschwinden).

Das einzige, was sich ändern kann, ist ihre Amplitude oder ihre Phase. Wenn Sie also keinen Sinus mit einer bestimmten Frequenz im Eingang haben, erhalten Sie mit dieser Frequenz am Ausgang nichts (Null).

$A\implies B$ $\overline{B}\implies \overline{A}$

— Laurent Duval
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