Wie man einen Phasenschieber mit beliebiger Phasenverschiebung baut

Fred, ein DSP-Ingenieur, geht in seinen Lieblings-DSP-Laden, um ein paar Einkäufe zu erledigen.

Fred: Hallo, ich würde gerne einen Phasenschieber kaufen.

Verkäuferin: Hmm, was genau meinst du?

Fred: Nun, wissen Sie, wenn Sie eine Sinuskurve wie $x(t)=\sin(\omega_0t)$ eingeben, erhalten Sie am Ausgang $y(t)=\sin(\omega_0t-\theta)$ für jedes $\omega_0$ . Und natürlich muss $\theta$ einstellbar sein.

Verkäuferin: Oh, ich verstehe. Entschuldigung, nein, die haben wir nicht. Aber ich erinnere mich, dass andere Leute das Gleiche brauchen und immer einen Hilbert-Transformator, ein paar Multiplikatoren und einen Addierer kaufen und all diese Dinge irgendwie miteinander verbinden, um einen einstellbaren Phasenschieber herzustellen.

Fred: Oh ja, richtig!

Fred gibt vor zu verstehen, wovon der Typ spricht. Natürlich hat er keine Ahnung, wie das geht. Er kauft alles, was der Typ gesagt hat, dass er es braucht, und denkt selbst, dass er es zu Hause herausfinden könnte, oder, wenn alles andere fehlschlägt, könnte er es bei DSP.SE fragen.

Wie kann Fred mit den Komponenten, die er im Laden bekommen hat , einen Phasenschieber mit einstellbarer Phasenverschiebung bauen ?$\theta$

Gute Frage! Es verwendet eine meiner bevorzugten Triggeridentitäten (die auch verwendet werden kann, um zu zeigen, dass Quadraturmodulation tatsächlich simultane Amplituden- und Phasenmodulation ist).

Die Hilbert-Transformation von ist - cos ( 2 π f 0 t ) . Auch sin ( 2 π f 0 t + θ ) = a sin ( 2 π f 0 t ) + B cos ( 2 π f 0 t ) (beschränkt auf ein 2 + b 2$\sin(2\pi f_0t)$$-\cos(2\pi f_0t)$

$$\sin(2\pi f_0t+\theta)=a\sin(2\pi f_0t)+b\cos(2\pi f_0t)$$ ) mit θ = atan2 ( b , a ) . Dies legt einen möglichen Ansatz nahe. Angenommen, Fred benötigt θ = 2,1 Radian. Er berechnet tan ( 2.1 ) ≈ - 1.71 . Dann muss er a und b so finden, dass a 2 + b 2 = 1 und b / a = - 1,71 mit a < 0 und b > $a^2+b^2=1$$\theta=\text{atan2}(b,a)$$\theta=2.1$$\tan(2.1)\approx-1.71$$a$$b$$a^2+b^2=1$$b/a=-1.71$$a<0$$b>0$, das ist ein einfaches Algebra-Problem. Setze , b 0 = 1,71 , n = $a_0=-1$$b_0=1.71$ ,a=a0/nundb=b0/n. Dann kann Fred leicht eine Sinus mit der gewünschten Phase erzeugenindem einen Hilbert Transformator, zwei Multiplizierer, zwei Gleichstromquellen (ein Satz zueinemVolt und die andere-bVolt, kümmern das Vorzeichen des Kosinus) und ein Addierer.$n=\sqrt{a_0^2+b_0^2}$$a=a_0/n$$b=b_0/n$$a$$-b$

Die Impulsantwort des oben beschriebenen Systems ist gegeben durch:

$a\delta(t)+\frac{b}{\pi t}$

Blockdiagramm:

Die Antwort von MBaz ist richtig. Ich möchte nur eine andere Denkweise hinzufügen, die natürlich zum gleichen Ergebnis führt:

Ein idealer Phasenschieber mit Phasenverschiebung $\theta$ hat einen Frequenzgang

$$H(\omega)=\begin{cases}e^{-j\theta},&\omega>0\\e^{j\theta},&\omega<0\end{cases}$$ welches umgeschrieben werden kann als $$H(\omega)=e^{-j\theta\text{sign}(\omega)}=\cos(\theta)-j\,\text{sign}(\omega)\sin(\theta)$$ Das geschulte Auge wird sich identifizieren $G(\omega)=-j\,\text{sign}(\omega)$als Frequenzgang eines idealen Hilbert-Transformators. Die entsprechende Impulsantwort ist$g(t)=\frac{1}{\pi t}$. Folglich ist die Impulsantwort des idealen Phasenschiebers $$h(t)=\cos(\theta)\delta(t)+\sin(\theta)\frac{1}{\pi t}$$ which can be implemented as a weighted parallel connection of a Hilbert transformer and a piece of wire with weights $\sin(\theta)$ and $\cos(\theta)$, respectively.

Note that this system can be approximated quite well in a practical (discrete-time) implementation. Just take a well designed FIR linear-phase Hilbert transformer of length $2N+1$, and add a delay of $N$ samples to the other signal path.