Warum funktionieren digitale Filter?

Also habe ich gerade angefangen, über FIR- und IIR-Filter zu lesen und bin erstaunt, wie "einfach" die Theorie bisher scheint.

• Was mich jedoch verwirrt ist, warum funktioniert das Filtern, indem eine gewichtete Summe früherer Stichproben erstellt wird?

• Welche Intuition lässt vermuten, dass dies zu gewünschten Filtereffekten führen kann?

• Es scheint mir ein bisschen unintuitiv zu sein, obwohl jeder überprüfen kann, ob das Summieren verzögerter Signale zu einer Kammfilterung führt. Aber wünschenswerte Filterung? Warum?

Betrachten Sie ein zeitdiskretes Eingangssignal der Form:

wobei die Radianfrequenz $\omega_0$ zwischen 0 und $\pi$ Radiant pro Probe eingestellt wird.

Betrachten Sie nun zwei einfachste Arten von zeitdiskreten (digitalen) LTI-FIR-Filtern, die durch die grundlegenden arithmetischen Operationen der Addition und Subtraktion ihrer Eingangsabtastwerte definiert werden und dann die Ausgänge $y_1[n]$ und $y_2[n]$ gemäß erzeugen :

Ermöglicht eine qualitative Analyse dieser Filter zu machen , indem ihr Eingangssignals der Frequenzeinstellung $\omega_0$ zu niedrig (nahe $0$ ) und hoch (nahe $\pi$ ) -Werten, und das Beobachten dann die entsprechenden Ausgänge $y_1[n]$ und $y_2[n]$ jeweils ;;

Nehmen wir zunächst an, dass $\omega_0$ auf niedrige Frequenzen eingestellt ist. Dann wird die aufeinanderfolgenden Eingangsabtastungen $x[n]$ und $x[n-1]$ haben sehr ähnliche Werte, wie ein Niederfrequenz - Sinuswelle nicht viel von einer Probe zur anderen ändert. Wenn dies der Fall ist, deren Summe wird summieren sich , während ihre Differenz wird stornieren . Daher ist $y_1[n]$ ungefähr gleich dem Wert der Eingabe $x[n]$, während der Ausgang $y_2[n]$ aufgrund des Abbrechens nahe Null ist. Der erste Teil der qualitativen Analyse kommt zu dem Schluss, dass das erste Filter $y_1[n]$ die Niederfrequenzsignale durchlässt, während das zweite Filter $y_2[n]$ abschwächt.

Nehmen Sie für den zweiten Teil der Analyse an, dass $\omega_0$ auf hohe Frequenzen eingestellt ist; dann wird die Werte der Eingangsabtastwerte $x[n]$ und $x[n-1]$ von seinen entgegengesetzten Polaritäten , wie schnell der Kosinus von Probe zu Probe sein wird , zu verändern. Wenn dies der Fall ist, dann ist ihre Summe wird abbrechen , während ihre Differenz wird nach oben hinzufügen . Daher ist $y_1[n]$ ungefähr Null, während der Ausgang $y_2[n]$ ähnelt seiner Eingabe$x[n]$ . Der zweite Teil der Analyse kommt zu dem Schluss, dass das erste Filter$y_1[n]$ Hochfrequenzsignale stoppt, während das zweite Filter$y_2[n]$ diese durchlässt.

Wenn wir diese beiden qualitativen Analysen kombinieren, schließen wir, dass der erste Filter $y_1[n] = 0.5 (x[n]+x[n-1])$ einTiefpassfilter ist, das niedrige Frequenzen durchlässt und hohe Frequenzen dämpft, während das zweite Filter$y_2[n] = 0.5(x[n]-x[n-1])$ ist einHochpass Filter, der niedrige Frequenzen dämpft und hohe Frequenzen durchlässt.

In dieser Einstellung werden komplexere Filter realisiert, indem mehr Abtastwerte aus weiteren Verzögerungen verwendet werden, die entsprechend gewichtet werden. Die Grenzfrequenzen für das Durchlassband und das Sperrband, die Übergangsbandbreite und die Welligkeiten werden alle durch die Gewichte bestimmt, die in die Summierungs- (oder Differenzierungs-) Abtastwerte angewendet werden, und durch die Anzahl der Abtastwerte (Filterlänge), die in den Summen (oder Differenzen) verwendet werden.

Diese Gewichte werden dann als die genannten Filterkoeffizienten (oder seine Impulsantwort $h[n]$ für die FIR - Filter), die die Filter charakterisieren.

Sie haben wahrscheinlich schon viel gefiltert. Ein gleitender Durchschnitt ist ein Filter!

Stellen Sie sich das allgemeine Filtern als einen ausgefallenen gleitenden Durchschnitt vor, bei dem Sie die Komponenten gewichten, anstatt jede Komponente in einem Fenster gleich zu mitteln.

Wenn Sie nur das Signal glätten möchten, können Sie jeden im Durchschnitt verwendeten Wert beispielsweise durch eine Gaußsche (Glocken-) Kurve gewichten. Dies ist ein Tiefpassfilter.

Wenn Sie eine bestimmte Frequenz isolieren möchten, können Sie jeden Wert abwechselnd positiv und negativ mit derselben Frequenz gewichten.

Ich denke, Sie suchen nach einer Intuition, warum Sie bei der Berechnung einer gewichteten Summe von Eingangsabtastwerten ein bestimmtes Frequenzbereichsverhalten erhalten. Wie Sie wissen, ist das Ausgangssignal eines FIR-Filters mit kausaler Länge gegeben durch$N$

wobei die Filterkoeffizienten (Abgriffe) oder äquivalent die Impulsantwort endlicher Länge des Filters sind und x [ n ] das Eingangssignal ist.$h[n]$$x[n]$

Nun lass , dh ein komplexes Exponential bei der Frequenz ω 0 . Das entsprechende Ausgangssignal ist$x[n]=e^{j\omega_0n}$$\omega_0$

wo

ist der Frequenzgang des Filters, bewertet bei . Es entspricht der zeitdiskreten Fourier-Transformation der Impulsantwort h [ n ] .$\omega=\omega_0$$h[n]$

Gl. zeigt, wie eine Eingangsfrequenzkomponente mit der Frequenz ω 0 am Ausgang erscheint. Seine Amplitude wird mit | skaliert H ( ω 0 ) | und seine Phase wird um arg { H ( ω 0 ) } verschoben . Als Beispiel könnten Sie die Koeffizienten h [ n ] so wählen, dass H ( ω 0 ) = 0 für eine bestimmte Frequenz ω $(2)$$\omega_0$$|H(\omega_0)|$$\arg\{H(\omega_0)\}$$h[n]$$H(\omega_0)=0$$\omega_0$. In diesem Fall wird die entsprechende Frequenzkomponente im Eingangssignal vom Filter vollständig unterdrückt. Dies ist, was Notch-Filter tun.

Gl. erklärt das Frequenzbereichsverhalten eines zeitdiskreten Filters. Sie können jeden gewünschten Frequenzgang D ( ω ) approximieren.$(2)$$D(\omega)$ durch indem Sie die Koeffizienten h [ n ] auf geeignete Weise auswählen . Dies ist das Thema der Approximationstheorie oder insbesondere des (Frequenzbereichs-) Entwurfs digitaler Filter. Schauen Sie sich diese Antwort an, um einen kurzen Überblick über das Design digitaler Filter und einige Referenzen zu erhalten.$H(\omega)$$h[n]$

Zu den nützlichen Antworten, die bisher hinzugefügt wurden, möchte ich intuitiv hinzufügen, dass das Filtern funktioniert, weil es auf der Wellentheorie und speziell auf der Wechselwirkung von Wellen basiert . Dies bietet eine Vielzahl intuitiver Beispiele.

Aber auch, dass es grundsätzlich zwei Gesichtspunkte gibt. Einer ist der abstrakte Standpunkt, der durch Modellierung der Realität und anschließende Arbeit mit den Modellen eingenommen wird, und der andere ist die "physische" Realität. Das heißt, was tatsächlich in der Natur passiert.

In der Realität wird beispielsweise der Schall einer Quelle von einer Wand reflektiert und kommt zu den Ohren der Zuhörer zurück. Das ist die Realität. "Modellieren" Realität ist zu sagen, dass die Wand nur ein Detail ist. Was passiert ist, dass es eine andere Quelle gibt, an einem genau definierten Ort HINTER der Wand, die den Klang der Quelle wiedergibt. Dieses einfache Modell ermöglicht es dann, Reflexionen als Addition von Wellen zu untersuchen ... Aber auf der anderen Seite der Wand befindet sich nichts.

$y=a \times cos(\omega t + \phi)$$y$$a$$\omega$$\phi$

$h$$h$$h$

$h$$h$$h$$h$$h$$h$$h$$h$

Stellen Sie sich vor, was wir als freien Raum bezeichnen . Freier Speicherplatz ist so groß, dass Ihre Stimme flach fällt und überhaupt nicht mitschwingt. Es ist ein sehr seltsames Gefühl. Um zu erkennen, was "flach" wirklich bedeutet, müssen Sie sich in einem Geschäft befinden, in dem Stoffe verkauft werden (oder in einer unechoic Kammer ... das Stoffgeschäft ist einfacher). Alle Waren absorbieren so viel Schall, dass Sie ein Gefühl der völligen Isolation und ohne Orientierungssinn bekommen.

Trotzdem sind wir im freien Raum und haben diesen Funktionsgenerator auf einem Lautsprecher irgendwo vor uns. Mach es an. Sie hören das kristallklare Pfeifen. Der Lautsprecher versetzt die Luft in vibrierende Bewegung und schließlich erreichen die Wellen unsere Ohren.

Wir bringen jetzt eine flache Granitplatte herein. Es ist eine große Granitplatte auf Rädern, und wir können sie an einer beliebigen Stelle positionieren. Wir positionieren sie irgendwo hinter uns und stellen fest, dass sich die Schallamplitude verringert, wenn wir uns an einer bestimmten Stelle zwischen dem Lautsprecher und der Granitplatte bewegen verschwindet vollständig. Warum passiert dies? Weil sich die Spitzen der Wellen, die der Lautsprecher vor uns erzeugt, (perfekt) mit den Tälern der Wellen verbinden, die vom Phantomlautsprecher hinter uns erzeugt werden (oder tatsächlich der Tatsache, dass dieselben Wellen vom Lautsprecher abprallen) der Granitplatte und rekombinieren. Übrigens wird aufgrund der Physik dieses Springens, wo immer Sie eine Reflexion haben, die Phase des reflektierten Signals umgedreht. Wenn der vordere Lautsprecher etwas Druck erzeugt, erzeugt der hintere Lautsprecher (die Reflexion) einen gewissen "Sog" und die Luft bewegt sich effektiv nicht.

Was hat das mit zu tun?$h$ ?

$h$$h= [1,0,0,0,0,0,0,0]$$z=y * h$$*$$h$$z$$y$$h$

$h=[1,0,0,0,0,1,0,0,0,0]$$1$$z$

$z$$h$

$h$$h=[1.0,0,0,0,0,-0.6,0,0.1,-0.05,0,0,0,0,0]$

$h$$h$$h$ zu modellieren, da der Architekt die Form des Raumes spezifizierte.

$h$$h$ .

$h$

$1$$h$$h$

$h$

Was haben all diese Phänomene gemeinsam? Wellen! Mechanische Wellen in der Tat, im Fall von Schall und der Art und Weise, wie sie interagieren. Und tatsächlich ist es nur eine gute Annäherung. Es gibt viele interessante nichtlineare Phänomene (oder dieses ), die im Meer und in der Luft und sicherlich in elektronischen Schaltkreisen (Realität im Allgemeinen) auftreten, die in diesem einfachen Modell interagierender Sinuskurven zusammengefasst werden und in denen diese Darstellung von Die Realität würde brechen .

Schließlich ist zu beachten, dass in der "Modellierungs" -Realität (aus mathematischer Sicht) das Faltungsintegral eine Möglichkeit zur Lösung von Differentialgleichungen (Modellmodelle) darstellt und auch andere Anwendungen hat (siehe die letzten drei in dieser Liste ). .

Eine intuitive Möglichkeit, einen FIR-Filter anzuzeigen, ist eine Art laufende Match-Funktion. Eine gewichtete Summe von Stichproben gibt aus, wie sehr die Eingabe einem "Übereinstimmungs" -Wert ähnelt, der den Gewichten inhärent ist.

Ein Bandpassfilter sieht bei der Frequenz, die der Filter passieren soll, wie ein Teil einer Wellenform aus. Eine gute Übereinstimmung von einem Segment mit ungefähr der gleichen Frequenz des Eingangssignals gibt einen hohen positiven Wert aus. Verschieben Sie diesen Eingang um 90 Grad, und die Übereinstimmung ist orthogonal oder nahezu orthogonal, sodass der Filter einen niedrigen Wert ausgibt. Verschieben Sie weitere 90 Grad, und die Signalwellenform scheint nun ungefähr umgekehrt zur FIR-Wellenform zu sein, sodass der Filter einen negativen Wert ausgibt. Dieser Wechsel von positiv zu negativ erzeugt somit eine Ausgangswellenform, die der Eingangswellenform etwas ähnelt, wenn sie in einer Phase gut und in anderen Phasen entgegengesetzt übereinstimmt. Andere Eingangswellenformen wie Gleichstrom oder eine viel höhere Frequenz stimmen nicht annähernd so gut überein, sodass niedrigere Ausgangswerte erzeugt werden.

Ein FIR-Filter mit gleitendem Durchschnitt oder Tiefpass hat viele gleiche oder nahezu gleiche Gewichte und wird daher auf einem höheren Pegel ausgegeben, wenn der Eingang nicht sowohl mit positiven als auch mit negativen Werten um DC schwingt, was sich zumindest teilweise aufhebt. wenn nach fast der gleichen Gewichtung summiert.

Während ein FIR-Filterkern, der jedes Gewicht oder fast jedes Gewicht abwechselt, bei einem Gleichstromeingang aufhebt, aber besser zu den Eingängen mit der höchsten Frequenz passt und somit mehr bei einem Eingang ausgibt, der weniger wie Gleichstrom aussieht, z. B. ein Hochpassfilter.

Da die FIR als LTI-Prozess gefiltert wird, bedeutet "linear" in LTI, dass Sie mehrere "Übereinstimmungstypen" zusammenfassen können, um eine lineare Kombination von Frequenzantworten zu erstellen. Dies ist eine Art Grund, warum die inverse FT eines Frequenzgangs eine Impulsantwort erzeugt Dies kann für die FIR-Filterung mit ungefähr dem gewünschten Frequenzgang verwendet werden.

Einige Funktionen wie Sinus und Cosinus können durch eine kurze Rekursion genau angenähert werden. Ein IIR-Filter kann einfach als eine Kombination eines Generators für kurze Rekursionsfunktionen betrachtet werden, der eine gewünschte FIR-Filter-ähnliche "Match" -Wellenform erzeugt und gleichzeitig den obigen Match-Prozess gleichzeitig ausführt.