Abs (Pole) <1 mit welchem ​​Abstand für einen stabilen Filter?

Ich habe in der Literatur nach neueren Algorithmen gesucht, die zum Entwerfen eines digitalen Filters verwendet wurden, das eine Minimax-Annäherung an einen gewünschten Frequenzgang darstellt. Alle Artikel, die ich gefunden habe, erarbeiten Beispiele, bei denen alle Pole eine Größe von weniger als 0,92 oder weniger als 0,89 usw. haben. Ich habe kein veröffentlichtes Beispiel mit einem Pol mit einer Größe von 0,95 und schon gar nicht 0,9995 gesehen. Wenn ein Filter mit Maschinenarithmetik mit doppelter Genauigkeit implementiert wird, wie nahe kann ein Pol dem Einheitskreis kommen, um einen nützlichen Filter zu erhalten? Wäre es eine schlechte Idee, einen Pol mit einer Stärke von 0,95 zu haben?

Es würde höchstwahrscheinlich von der Reihenfolge des Filters abhängen, aber einen Pol an der Position haben $z_p$ wo $|z_p| = 0.95$ sollte kein Stabilitätsproblem darstellen, wenn Sie Gleitkomma-Arithmetik mit doppelter Genauigkeit und einem Filter mit angemessener Länge verwenden.

Da ich nichts über Ihre spezifische Anwendung weiß, ist ein weiterer Effekt der Polgröße, der relevant sein könnte, die Impulsantwort des resultierenden Filters. Denken Sie daran, dass Pole in der Übertragungsfunktion eines Systems abklingenden Exponentialtermen in der Impulsantwort des Systems entsprechen. Wie Wikipedia bemerkt:

wo $u[n]$ist die diskrete Einheitsschrittfunktion , die hier verwendet wird, um auszudrücken, dass die Impulsantwort kausal ist ($0\ \forall\ n < 0$). Daher, wenn Ihr Filter einen Pol an hat$z = a$, dann wird es eine entsprechende geben $a^n$ Term in der Impulsantwort des Filters.

• Für kleine $|a|$Dieser Begriff wird in einer relativ kleinen Anzahl von Proben abklingen. Wie$|a| \rightarrow 1$erhöht sich die Zeit (gemessen in Proben), die erforderlich ist, damit die Exponentialfunktion abfällt.

• Wenn Sie den "kritisch stabilen" Punkt von erreichen $|a| = 1$Das Exponential fällt niemals ab und die Systemimpulsantwort fällt nicht auf Null ab.

• Wenn $|a| > 1$(dh der Pol liegt außerhalb des Einheitskreises), dann divergiert die Exponentialfunktion und die Impulsantwort bläst bis ins Unendliche; Aus diesem Grund ist ein zeitdiskretes System nicht BIBO-stabil, wenn es Pole außerhalb des Einheitskreises enthält.

In Anbetracht des oben Gesagten besteht die andere Sorge, die Sie möglicherweise haben, in der insgesamt effektiven Zeitdauer der Impulsantwort des Filters. Obwohl ein IIR-Filter , wie der Name vermuten lässt, theoretisch eine Impulsantwort von unendlicher Länge aufweist, wird die Antwort in der Praxis nach einer endlichen Zeitspanne normalerweise auf ein vernachlässigbares Maß abfallen. Wenn Ihre Anwendung für diese Eigenschaft empfindlich ist, ist es sinnvoll, Polpositionen zu wählen, die weiter vom Einheitskreis entfernt sind. Es wird entsprechende Kompromisse bei den Frequenzbereichseigenschaften geben, da die Platzierung von Polen in der Nähe des Einheitskreises dazu beitragen kann, Übergangsbereiche schärfer und enger zu machen, wie dies häufig wünschenswert ist.