Stationäre versus instationäre Signale?

Es gibt nette technische Definitionen in Lehrbüchern und Wikipedia, aber ich habe Schwierigkeiten zu verstehen, was stationäre und instationäre Signale in der Praxis unterscheidet?

Welche der folgenden diskreten Signale sind stationär? Warum?:

1. weißes Rauschen - JA (nach allen möglichen gefundenen Informationen)
2. Farbrauschen - JA (nach Farbrauschen : stationär oder instationär? )
3. Chirp (Sinus mit wechselnder Frequenz) -?
4. Sinus -?
5. Summe mehrerer Nebenhöhlen mit unterschiedlichen Perioden und Amplituden -?
6. EKG, EEG, PPT und ähnliches -?
7. Chaotische Systemausgabe (Mackey-Glass, Logistikkarte) -?
8. Aufzeichnung der Außentemperatur -?
9. Rekord der Währungspaarentwicklung am Devisenmarkt -?

Vielen Dank.

Es liegt kein stationäres Signal vor. Stationär und instationär sind Charakterisierungen des Prozesses, der das Signal erzeugt hat.

Ein Signal ist eine Beobachtung. Eine Aufzeichnung von etwas, das passiert ist. Eine Aufzeichnung einer Reihe von Ereignissen als Ergebnis eines Prozesses. Wenn sich die Eigenschaften des Prozesses, der die Ereignisse generiert, NICHT zeitlich ändern, ist der Prozess stationär.

Wir wissen, was ein Signal ist, es ist eine Sammlung von Ereignissen (Messungen) zu verschiedenen Zeitpunkten ( n ). Aber wie können wir den Prozess beschreiben, der ihn erzeugt hat?$x(n)$$n$

Eine Möglichkeit, die Eigenschaften eines Prozesses zu erfassen, besteht darin, die Wahrscheinlichkeitsverteilung der beschriebenen Ereignisse zu ermitteln. In der Praxis könnte dies wie ein Histogramm aussehen, aber das ist hier nicht ganz nützlich, da es nur Informationen zu jedem Ereignis liefert, als ob es nicht mit seinen Nachbarereignissen verbunden wäre. Eine andere Art von "Histogramm" ist eine Art von "Histogramm", bei der wir ein Ereignis festlegen und fragen könnten, wie wahrscheinlich es ist, dass die anderen Ereignisse eintreten, WENN bereits ein anderes Ereignis stattgefunden hat. Wenn wir also dieses "Monsterhistogramm" erfassen würden , das die Wahrscheinlichkeit des Übergangs von einem möglichen Ereignis zu einem anderen möglichen Ereignis beschreibt, könnten wir jeden Prozess beschreiben.

Wenn wir dies zu zwei verschiedenen Zeitpunkten erhalten würden und die Wahrscheinlichkeiten von Ereignis zu Ereignis sich nicht zu ändern schienen, würde dieser Prozess als stationärer Prozess bezeichnet. (Eine absolute Kenntnis der Eigenschaften eines Prozesses in der Natur wird natürlich selten vorausgesetzt).

Schauen wir uns die Beispiele an:

1. Weißes Rauschen:

   • Weißes Rauschen ist stationär, da es gleich wahrscheinlich ist, dass ein Signalwert (Ereignis) bei jedem anderen Signalwert (ein anderes Ereignis) zu zwei Zeitpunkten auftritt, unabhängig davon, wie weit sie voneinander entfernt sind.

2. Farbiges Rauschen:

   • Was ist farbiges Rauschen? Es ist im Wesentlichen weißes Rauschen mit einigen zusätzlichen Einschränkungen. Die Einschränkungen bedeuten, dass die Wahrscheinlichkeiten von Ereignis zu Ereignis jetzt nicht gleich sind, aber dies bedeutet nicht, dass sie sich mit der Zeit ändern dürfen. So, Rosa Rauschen wird weißes Rauschen , dessen gefiltertes Frequenzspektrum verringert nach einer bestimmten Beziehung. Dies bedeutet, dass rosa Rauschen niedrigere Frequenzen hat, was wiederum bedeutet, dass zwei benachbarte Ereignisse höhere Wahrscheinlichkeiten des Auftretens haben würden, was jedoch nicht zutrifft irgendwelche zwei Ereignisse (wie es im Fall von weißem Rauschen war). Gut, aber wenn wir diese Ereignis-zu-Ereignis-Wahrscheinlichkeiten zu zwei verschiedenen Zeitpunkten erhalten würden und sie sich nicht zu ändern scheinen, dann wäre der Prozess, der die Signale erzeugt, stationär.

3. Zwitschern:

   • Nicht stationär, da sich die Wahrscheinlichkeiten von Ereignis zu Ereignis mit der Zeit ändern. Dies lässt sich auf relativ einfache Weise veranschaulichen: Betrachten Sie eine abgetastete Version der Sinuskurve mit der niedrigsten Frequenz bei einer bestimmten Abtastfrequenz. Dies hat einige Wahrscheinlichkeiten von Ereignis zu Ereignis. Zum Beispiel kann man nicht wirklich von -1 auf 1 gehen, wenn man bei -1 ist, dann ist es viel wahrscheinlicher, dass der nächste wahrscheinliche Wert näher bei -0,9 liegt, abhängig von der Abtastfrequenz. Um jedoch die höheren Frequenzen zu erzeugen, können Sie diese niederfrequente Sinuskurve neu abtasten. Um die Tonhöhe zu ändern, müssen Sie nur "schneller spielen". AHA! DAHER JA! Sie können in einem Sample von -1 auf 1 wechseln, vorausgesetzt, die Sinuskurve wird wirklich sehr schnell neu abgetastet. DESHALB!!! Die Wahrscheinlichkeiten von Ereignis zu Ereignis VERÄNDERN SICH MIT DER ZEIT!

4. Sinus (oid)

   • Stationär ... Selbsterklärend, Punkt 3

5. Summe mehrerer Nebenhöhlen mit unterschiedlichen Perioden und Amplituden

   • Selbsterklärend mit # 1, # 2, # 3 und # 4. Wenn sich die Perioden und Amplituden der Komponenten zeitlich nicht ändern, ändern sich die Einschränkungen zwischen den Abtastwerten zeitlich nicht, so dass der Prozess stationär endet.

6. EKG, EEG, PPT und ähnliches

   • Ich bin mir nicht sicher, was PPT ist, aber EKG und EEG sind erstklassige Beispiele für instationäre Signale. Warum? Das EKG repräsentiert die elektrische Aktivität des Herzens. Das Herz hat einen eigenen Oszillatordie von Signalen aus dem Gehirn bei jedem Herzschlag moduliert wird! Da sich der Prozess mit der Zeit ändert (dh die Art und Weise, wie das Herz schlägt, ändert sich bei jedem Herzschlag), wird er daher als nicht stationär betrachtet. Gleiches gilt für das EEG. Das EEG repräsentiert eine Summe der lokalisierten elektrischen Aktivität von Neuronen im Gehirn. Das Gehirn kann nicht als zeitlich stationär angesehen werden, da ein Mensch verschiedene Aktivitäten ausführt. Umgekehrt könnten wir, wenn wir das Beobachtungsfenster reparieren würden, irgendeine Form von Stationarität beanspruchen. In den Neurowissenschaften können Sie beispielsweise sagen, dass 30 Probanden angewiesen wurden, mit geschlossenen Augen in Ruhe zu bleiben, während 30 Sekunden lang EEG-Aufzeichnungen aufgenommen wurden. wird als stationär angenommen.

7. Chaotische Systemausgabe.

   • Ähnlich wie bei # 6 könnten chaotische Systeme über kurze Zeiträume als stationär betrachtet werden, aber das ist nicht allgemein.

8. Temperaturaufzeichnungen:

   • Ähnlich wie # 6 und # 7. Das Wetter ist ein Paradebeispiel für einen chaotischen Prozess und kann nicht zu lange als stationär angesehen werden.

9. Finanzkennzahlen:

   • Ähnlich wie # 6, # 7, # 8, # 9. Kann im Allgemeinen nicht als stationär betrachtet werden.

Ein nützliches Konzept, an das Sie denken sollten, wenn Sie über praktische Situationen sprechen, ist Ergodizität . Es gibt auch etwas, das sich irgendwann hier einschleicht, und das ist die Skala der Beobachtung. Schauen Sie zu nah und es ist nicht stationär, schauen Sie von weitem und alles ist stationär. Der Umfang der Beobachtung ist kontextabhängig. Für weitere Informationen und eine Vielzahl von illustrierenden Beispielen, soweit die chaotischen Systeme betroffen sind, würde ich dieses Buch empfehlen und insbesondere die Kapitel 1,6,7,10,12 und 13 die sich wirklich auf Stationarität und Periodizität konzentrieren.

Hoffe das hilft.

Bei der guten Antwort von @ A_A fehlt ein Punkt: Stationarität oder Nichtstationarität werden im Allgemeinen nur auf stochastische Signale angewendet, nicht auf deterministische Signale.

Wenn statistische Tests auf Stationarität oder Nichtstationarität angewendet werden, muss im Allgemeinen zuerst die deterministische Komponente entfernt werden.

Daher sind meines Erachtens die Nummern 3, 4 und 5 unsinnige Fragen, da sie keine stochastische Komponente enthalten und daher weder als stationär noch als nichtstationär angesehen werden können.

Punkt 3 kann, wenn dem Sinus ein stationäres Rauschen hinzugefügt wird, als ein zyklostationärer Prozess angesehen werden , da sich der Mittelwert des Prozesses ändert (obwohl im Allgemeinen bei zyklostationären Prozessen angenommen wird, dass sich die Varianz auch mit der Zeit ändert).