Abtastung einer stetigen Funktion: Kronecker- oder Dirac-Delta?

Ich habe einige Artikel zur Signalverarbeitung gelesen und bin sehr verwirrt über das Problem im Titel meiner Frage. Betrachte eine stetige Funktion der Zeit , , die ich zu ungeraden Zeiten , wobei . Für mich ist es sinnvoll, dass die abgetastete Funktion lautet: , wo ist Kronecker - Delta (entspricht , wenn , Null anderswo). In diesem definiert der Autor das abgetastete Signal jedoch als: wo $t$ $f(t)$ $t_k$ $k=1,2,...,N$

f_{s} (t) = \sum_{k = 1}^{N} δ_{t, t_{k}} f (t), (1)

$f_s(t)=\sum_{k=1}^N\delta_{t,t_k}f(t),\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$

δ_{t, t_{k}}

$\delta_{t,t_k}$

1

$1$

t = t_{k}

$t=t_k$

f_{s} (t) = \frac{1}{N} \sum_{k = 1}^{N} f (t) δ (t - t_{k}), (2)

$f_s(t)=\frac{1}{N}\sum_{k=1}^{N}f(t)\delta(t-t_k),\ \ \ (2)$

δ (t - t_{k})

$\delta(t-t_k)$ ist Diracs Deltafunktion und ich verstehe wirklich nicht, warum die hier erscheint (der Autor behauptet, dass die Abtastfunktion tatsächlich eine gewichtete Summe von Deltafunktionen ist und hier wählen , die er . ich habe wirklich nicht verstehen warum). Diese letzte Aussage macht für mich wenig Sinn: Das abgetastete Signal hätte bei eine unendliche Amplitude !

1 / N

$1/N$

s (t) = C \frac{\sum_{k = 1}^{N} w_{k} δ (t - t_{k})}{\sum_{k = 1}^{N} w_{k}},

$s(t)=C\frac{\sum_{k=1}^{N}w_k\delta(t-t_k)}{\sum_{k=1}^{N}w_k},$

C = w_{k} = 1

$C=w_k=1$

t = t_{k}

$t=t_k$

Trotz alledem ist es im zweiten Fall (Gleichung ) viel einfacher, die Fouriertransformation von zu definieren , da es sich nur um die Faltung der Fensterfunktion (der FT des Dirac-Kamms) und der FT des stetigen Signals , während in Gleichung die FT etwas komplizierter ist, weil wir eine ganzzahlige Funktion (Kronecker-Delta) multipliziert mit einer stetigen Funktion ( ) haben. Irgendwelche Highlights dazu? $f_s(t)$ $(2)$ $f(t)$ $(1)$ $f(t)$

sampling

— Néstor
quelle

Nach meiner Erfahrung ist die Modellierung des Abtastprozesses durch Multiplikation eines zeitkontinuierlichen Signals mit einem Zug von Dirac-Impulsen die häufigste Interpretation. Wenn Sie sich eingehend damit befassen, werden Sie einige Meinungsverschiedenheiten über die mathematische Genauigkeit dieses Ansatzes * feststellen, aber ich würde mir darüber keine Sorgen machen. Es ist nur ein bequemes Modell für den Prozess. Es gibt keine Impulsgeneratoren im ADC Ihres Mobiltelefons, die periodische Blitze erzeugen, die ihre analogen Eingänge vervielfachen.

Wie Sie bemerkt haben, können Sie die zeitkontinuierliche Fourier-Transformation der Kronecker-Delta-Funktion nicht berechnen, da ihre Domäne nicht kontinuierlich ist (sie ist auf die ganzen Zahlen beschränkt). Die Dirac-Delta-Funktion hat dagegen eine einfache Fouriertransformation, und der Effekt der Multiplikation eines Signals mit einem Zug von Dirac-Impulsen ist aufgrund seiner Siebeigenschaft leicht zu zeigen.

*: Wenn Sie beispielsweise mathematisch genau sein wollen, würden Sie sagen, dass das Dirac-Delta überhaupt keine Funktion, sondern eine Verteilung ist . Auf technischer Ebene handelt es sich jedoch nur um semantische Fragen.

Bearbeiten: Ich werde den Kommentar unten ansprechen. Sie gaben Ihr mentales Modell des Stichprobenprozesses an als:

f_{s} (t) = \sum_{k = 1}^{N} \int_{t_{k} - ϵ_{k}}^{t_{k} + ϵ_{k}} f (t) δ (t - t_{k}) d t .

$f_s(t) = \sum_{k=1}^N \int_{t_k-\epsilon_k}^{t_k+\epsilon_k} f(t) \delta(t-t_k) dt.$

Das Problem bei dieser Interpretation ist, dass dem typischen idealen Abtastmodell diese Integration nicht eingebaut ist. Stattdessen handelt es sich um eine reine Multiplikation des Eingangssignals mit einem Dirac-Impulszug. Wenn Sie sich die Gleichung, die Sie für , genauer ansehen , werden Sie feststellen, dass die rechte Seite tatsächlich keine unabhängige Variable hat. ist die Dummy-Variable der Integration. Für jede in der obigen Tabelle erhalten Sie gemäß der Siebeigenschaft des Dirac-Impulses : $f_s(t)$ $t$ $\epsilon_k > 0$

f_{s} (t) = \sum_{k = 1}^{N} f (t_{k}),

$f_s(t)=\sum_{k=1}^N f(t_k),$

Das ist nicht richtig. Stattdessen lautet das Modell für das abgetastete Signal:

f_{s} (t) = \sum_{k = - \infty}^{\infty} f (t) δ (t - k T)

$f_s(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t-kT)$

Dies ist dem obigen sehr ähnlich, mit der Ausnahme, dass für einen unendlich langen Impulszug entlang der Zeitachse verallgemeinert wird und angenommen wird, dass die Daten zu den Zeitpunkten gleichmäßig abgetastet werden . Die Fourier-Transformation des resultierenden Signals ist: $t_k = kT$

\begin{aligned} F_{s} (ω) & = \int_{- \infty}^{\infty} f_{s} (t) e^{- j ω t} d t \\ = \int_{- \infty}^{\infty} \sum_{k = - \infty}^{\infty} f (t) δ (t - k T) e^{- j ω t} d t \\ = \sum_{k = - \infty}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} f (t) δ (t - k T) e^{- j ω t} d t \\ = \sum_{k = - \infty}^{\infty} f (k T) e^{- j ω k T} \end{aligned}

$\begin{align} F_s(\omega) &= \int_{-\infty}^{\infty}f_s(t) e^{-j \omega t} dt \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} \sum_{k=-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t-kT) e^{-j \omega t} dt \\ &= \sum_{k=-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t-kT) e^{-j \omega t} dt \\ &= \sum_{k=-\infty}^{\infty} f(kT) e^{-j \omega kT} \end{align}$

Wenn wir die diskrete, abgetastete Version des Signals als , bleibt Ihnen Folgendes übrig: $f(t)$ $x[n] = f(nT)$

F_{s} (ω) = \sum_{n = - \infty}^{\infty} x [n] e^{- j ω n}

$F_s(\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-j \omega n}$

Das ist genau die Definition der zeitdiskreten Fourier-Transformation .

— Jason R
quelle

Wie würden Sie die Tatsache angehen, dass die Amplitude "unendlich" ist? Was ich normalerweise gedacht habe, ist, dass Sie das Signal nicht zu einem diskreten Zeitpunkt " , sondern das Signal für eine gegebene Zeit . Diese Interpretation würde jedoch jede Form der Berechnung der Fourier-Transformation aus demselben Grund verletzen wie das Kronecker-Delta. Auch ... warum teilt der Autor des Beitrags in dem von mir angegebenen Link den Dirac-Kamm durch ? Das ergibt für mich keinen Sinn.

t_{k}

$t_k$

Δ t_{k}

$\Delta t_k$

N

$N$

— Néstor

In der Praxis haben Sie recht. Es gibt immer eine effektive "Integrationszeit" des analogen Signals aufgrund der endlichen Bandbreite des analogen Frontends eines ADC. Das theoretische Konstrukt ist jedoch nicht durch solche Bedenken eingeschränkt. Grob gesagt, wird die "unendliche Höhe" des Impulses durch seine "Nullbreite" ausgeglichen, so dass er zur Einheit integriert wird. Wenn Sie in diesem Fall Ihre Kurzzeitintegrationsinterpretation anwenden (Multiplikation mit einem Impuls, Integration für einen unendlich kurzen Zeitraum), dann erhalten Sie durch die Siebeigenschaft

x [n] = x (n T)

$x[n] = x(nT)$ , wie in der Regel ist vorgeführt.

— Jason R

f_{s} (t) = \sum_{k = 1}^{N} \int_{t_{k} - ϵ_{k}}^{t_{k} + ϵ_{k}} f (t) δ (t - t_{k}) d t,

$f_{s}(t)=\sum_{k=1}^N \int_{t_k-\epsilon_k}^{t_k+\epsilon_k} f(t)\delta(t-t_k)dt,$

ϵ_{k} \to 0

$\epsilon_k \to 0$

1 / N

$1/N$

t = t_{k}

$t=t_k$

f (t = t_{k}) \to \infty

$f(t=t_k)\to \infty$

f (t = t_{k}) = f (t_{k})

$f(t=t_k)=f(t_k)$