Warum heißt Gaußsches Rauschen so?

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Können Sie bitte erklären: Warum wird eine bestimmte Art von Rauschen als "Gaußsches Rauschen" bezeichnet? Warum ist es relevant, es Gaußsch zu nennen? Bitte erklären Sie es in Laienbegriffen.

noise gaussian statistics

— MBaz
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Rauschen ist ein zufälliger Prozess und ein zufälliger Prozess

oder

ist eine Sammlung von Zufallsvariablen

oder

für jedes

oder

. Wie Sie wissen, zeichnen sich Zufallsvariablen durch ihre Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen (pdf) aus, z. B. Uniform, Bernoulli, Binomial, Multinomial, Poisson, Exponential, Rayleigh, Gamma und Gauß. Wenn die Sammlung von Zufallsvariablen, die einem zufälligen Prozess zugeordnet sind, alle ihre PDFs als Gaußschen Typ haben, wird dieser Prozess als Gaußscher Zufallsprozess bezeichnet.

x (t)

$x(t)$

x [n]

$x[n]$

X_{t}

$X_t$

X_{n}

$X_n$

t

$t$

n

$n$

— Fat32

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Rauschen ist zufällig, aber wie die meisten zufälligen Phänomene folgt es einem bestimmten Muster. Unterschiedliche Muster erhalten unterschiedliche Namen.

Erwägen Sie, einen Würfel zu würfeln. Dies ist eindeutig zufällig. Wirf den Würfel 1000 Mal und verfolge jedes Ergebnis. Berechnen Sie dann das Histogramm des Ergebnisses. Sie werden feststellen, dass Sie jeweils 1, 2, 3, 4, 5 und 6 ungefähr gleich oft erhalten haben. Dieses Muster wird als "einheitlich" bezeichnet, und das Werfen eines Würfels kann durch eine "einheitliche Zufallsvariable" modelliert werden.

Das gleiche Experiment kann mit thermischem Rauschen wiederholt werden. Erhitzen Sie einen Widerstand, verstärken Sie die resultierende Spannung und messen Sie seine momentane Leistung mehrmals. Berechnen Sie dann das Histogramm. Dieses Mal finden Sie kein einheitliches Histogramm. Es wird wie eine Glockenkurve geformt sein, wobei Werte nahe Null häufiger sind als Werte weit entfernt von Null. Diese Art von Histogramm wird nach KF Gauss Gauß genannt.

Gaußsche Zufallsphänomene sind in der Natur sehr verbreitet. Es stellt sich heraus, dass immer dann, wenn das Zufällige, das Sie beobachten, das Aggregat vieler unabhängiger Zufallsereignisse ist, die gesamte Zufallsvariable Gaußsch ist (dies wird technisch als zentraler Grenzwertsatz bezeichnet). Im Fall von thermischem Rauschen messen Sie den Gesamteffekt von Millionen oder Milliarden zufällig schwingender Elektronen, die durch die Wärme angeregt werden.

Es gibt eine einfachere Möglichkeit, zu Hause eine Gaußsche Zufälligkeit zu erstellen (oder in einem Computer zu simulieren): Nehmen Sie viele Würfel, sagen wir 100, werfen Sie sie alle mehrmals und verfolgen Sie die Gesamtsumme jedes Wurfs. Wenn Sie das Histogramm wiederfinden, sehen Sie, dass es einer Glockenkurve folgt. Der Grund ist intuitiv leicht zu verstehen: Mit 100 Würfeln ist es sehr unwahrscheinlich, dass Sie insgesamt 100 erhalten (alle Würfel müssten in 1 landen), aber es ist sehr einfach, eine Zahl um 350 zu erhalten, da viele verschiedene Kombinationen addieren bis zu einer solchen Anzahl.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass es viele verschiedene Arten von Rauschen gibt, die ein Signal oder ein Bild mit jeweils unterschiedlichen statistischen Eigenschaften beeinflussen können. Gaußsches Rauschen ist eine besonders wichtige Art von Rauschen, da es sehr verbreitet ist. Es ist durch ein Histogramm (genauer gesagt eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion) gekennzeichnet, das der Glockenkurve (oder der Gaußschen Funktion) folgt. Wenn Sie es genauer studieren, werden Sie feststellen, dass es auch einige andere wichtige statistische Eigenschaften hat.

Siehe auch:

und viele andere verwandte Fragen auf dieser Website.

— MBaz
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Gute Zusammenfassung. Gaußsche Zufallsvariablen haben auch mehrere eindeutige und oft nützliche Eigenschaften. Eine davon ist beispielsweise, dass die Summe zweier unabhängiger Gaußscher Zufallsvariablen ebenfalls Gauß-verteilt ist.

— Jason R

@ JasonR Danke! Und du hast natürlich recht; Ich habe am Ende irgendwie darauf hingewiesen, als ich erwähnte, dass ich Gaußsche Wohnmobile genauer studieren sollte. Ich dachte, meine Antwort wäre schon lang genug.

— MBaz

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Es ist nach dem äußerst einflussreichen und berühmten deutschsprachigen Mathematiker Carl Friedrich Gauss benannt , der im 18. und 19. Jahrhundert lebte und unter anderem frühe Statistiken beeinflusste, in denen die Gaußsche Verteilung (Normalverteilung) mit dem zentralen Grenzwertsatz , einer Summe oder Der Mittelwert von genug gleichverteilten Zufallszahlen ist (nahe) Gaußsch, wenn die zugrunde liegende Verteilung gut genug ist (in der Praxis muss es eine ziemlich böse Verhaltensverteilung sein, damit sie nicht wahr ist).

Wenn Sie mit Gauß beginnen und mit ag beginnen, läuft der Rest wie eine Maus, aber in der englischsprachigen Welt verwandelt sich das "ou" in der Maus normalerweise in ein "o" in deutschem "hallo".

— Mathreadler
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Nach nur einer Sekunde Posting scheint es eine automatische Ablehnung für mich zu geben. Kann jemand das überprüfen? Ist das ein häufiges Problem?

— Mathreadler

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Es gibt keine Möglichkeit, dass selbst die Mods Downvoting sehen können. . Seien Sie versichert, dass Ihr Mitarbeiter wiederhergestellt wird, wenn er systematisch ist. Jedenfalls +1 von mir. :-)

— Peter K.