Design des Phasenverschiebungsfilters

Wenn ein Zeitbereichssignal scharfe Ecken aufweist, enthält sein Frequenzspektrum Hochfrequenzkomponenten. Das Abschneiden des Spektrums führt zum Gibbs'schen Phänomen. Wenn Sie also versuchen, eine FIR zu entwerfen, möchten Sie wirklich, dass der Zielfrequenzgang schön und glatt ist, damit das Fenster der Impulsantwort auf eine endliche Länge den Frequenzgang nicht zu stark verzerrt.

Derzeit denke ich darüber nach, einen sehr seltsamen Filter zu entwerfen: einen Filter mit einer Einheitsverstärkung bei allen Frequenzen, aber einer Phase ungleich Null . Ich frage mich, ob ein ähnliches Phänomen auftritt oder nicht: Wenn der Filter bei allen Frequenzen eine Einheitsverstärkung aufweist, was bewirkt dann das Abschneiden der Impulsantwort auf die Phasenausrichtung?

filter-design

— MathematicalOrchid
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Nur eine Randnotiz: Diese Art von Filter wird Allpassfilter genannt. Ein Hilbert-Filter ist ein praktisches Beispiel dafür.

— Deve

Eigentlich ist dies überhaupt kein "sehr seltsamer" Filtertyp. Wenn Sie einen neuen Allpassfilter entwerfen, warum sollten Sie dann dessen Impulsantwort abschneiden? Sie können die genaue Reaktion eines digitalen Filters (bis auf Ihre numerische Genauigkeit) zur Entwurfszeit berechnen.

— Jason R

Das Abschneiden des Spektrums verursacht ein Klingeln, kein Gibbs-Phänomen. Das sind verschiedene Dinge.

— Phonon

@Phonon, ich sehe nicht, wie unterschiedlich der Effekt ist. Unabhängig davon, in welcher Domäne (Zeit / Frequenz) eine Sprungdiskontinuität auftritt, erfährt die andere Domäne einen unendlich langen Effekt.

— Mark Borgerding

@MarkBorgerding Was Sie sagen, ist absolut richtig, aber das ist nicht das Gibbs-Phänomen. Das Gibbs-Phänomen bezieht sich auf einen Einzelpunktpeak in der Wellenform bei der Diskontinuität, wenn die Fourier-Reihe zu einer Rechteckwellenform "konvergiert", dh, dass das Rechteck nicht von geht

1

$1$ zu

0

$0$ , sondern aus

1

$1$ zu

k > 1

$k>1$ bis 0.

— Phonon

Antworten:

Dies wäre ein Allpassfilter. Mit Ausnahme des trivialen Falls von Verzögerungen bei Einheit und Ganzzahlabtastung können diese nicht als FIR-Filter ausgeführt werden, und im Allgemeinen ist ein IIR-Filter erforderlich. Sie sind jedoch einfach herzustellen. Die Nullen eines Allpasses sind einfach die Umkehrung der Pole (und umgekehrt). Wenn Sie die Pole in Polynomform haben, können Sie sie einfach umdrehen, um die Nullpolynome zu erhalten. Zum Beispiel sieht ein Allpass zweiter Ordnung so aus

H (z) = \frac{a_{2} \cdot z^{0} + a_{1} \cdot z^{- 1} + a_{0} \cdot z^{- 2}}{a_{0} \cdot z^{0} + a_{1} \cdot z^{- 1} + a_{2} \cdot z^{- 2}}

$H(z)=\frac{a_{2}\cdot z^{0} + a_{1}\cdot z^{-1} + a_{0}\cdot z^{-2}}{a_{0}\cdot z^{0} + a_{1}\cdot z^{-1} + a_{2}\cdot z^{-2}}$ Strenge Allpassfilter haben

‖ H (e^{j \cdot ω}) ‖ = 1

$\left \|H(e^{j\cdot \omega })\right \|=1$ für alle Frequenzen. Sie können die Approximation sicherlich mit FIR-Filtern entwerfen, wenn Sie diese Eigenschaft nur für einen begrenzten Frequenzbereich benötigen und die Größe nicht genau eins sein muss.

— Hilmar
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Dies hat den gleichen Effekt: Das Fenster mit einem rechteckigen Fenster in einer Domäne (Zeit oder Frequenz) entspricht der Faltung mit einer unendlich langen Sinc-Funktion in der anderen Domäne (dh Gibb-Phänomen).

Wenn Sie also bestimmte Phasenänderungen an N Frequenzpunkten Ihres Allpassfilters wünschen, erhalten Sie im Allgemeinen eine FIR, die um ein Vielfaches länger ist als N Abgriffe.

— Mark Borgerding
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Um die maximale Phasenglätte zu optimieren, möchte ich ein Zieldesign ohne scharfe Änderungen auswählen. (Und vermutlich periodisch?)

— MathematicalOrchid