Ist

Ist ein periodisches Signal? $x(t) = \cos t + \sin\left(\frac{1}{2}t\right)$

Die Antwort des Buches unterscheidet sich von meiner Antwort. Buch sagt, es ist kein periodisches Signal. Könnt ihr mir sagen, warum es kein periodisches Signal ist?

Meine Antwort:

$\cos(t)$ ist periodisch als $2\pi f_1 = 1 \Rightarrow f_1=\frac{1}{2\pi} \Rightarrow T_1=2\pi$

$\sin\left(\frac{1}{2}t\right)$ ist ebenfalls periodisch als $2\pi f_2 = \frac{1}{2} \Rightarrow f_2=\frac{1}{4\pi} \Rightarrow T_2=4\pi$

Daher ist eine rationale Zahl $\frac{T_1}{T_2} = \frac{2\pi}{4\pi} = \frac{1}{2}$

Daher ist das gegebene $x(t)$ ein periodisches Signal.

periodic

— Pranav Peethambaran
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Welches Buch sagt das?

— Matt L.

Pranav: Willkommen bei DSP.SE! Sie haben eine Hausaufgaben- / Selbststudienfrage genau richtig gestellt: Sie haben die Frage gestellt, klargestellt, dass es sich um eine Lehrbuchfrage handelt, die Sie beantworten möchten, und gezeigt, was Ihrer Meinung nach die Antwort ist (oder so viel wie gezeigt Sie verstehen). Gut gemacht!

— Peter K.

Typografische Fehler, ganz zu schweigen von offensichtlichen Fehlern, sind im Lösungshandbuch oder in den "Antworten auf ungeradzahlige Probleme", die in Lehrbüchern enthalten sind, nicht unbekannt, da ein Professor den Text möglicherweise geschrieben und sorgfältig Korrektur gelesen hat, das Lösungshandbuch und die Antworten auf Übungen werden von gehetzten Doktoranden ausgearbeitet und vom Professor nicht so sorgfältig geprüft. Dies bedeutet nicht, dass der Professor von der Verantwortung für die Fehler befreit ist, sondern nur eine Erklärung, warum der "Buchantwort" nicht in allen Fällen als Evangeliumswahrheit vertraut werden darf.

— Dilip Sarwate

Vielen Dank, Freunde, dass Sie meine Zweifel ausgeräumt haben. Ihr seid die Besten! Vielen Dank :) Es war aus dem Buch des Coaching-Instituts, eines der Übungsprobleme. :)

— Pranav Peethambaran

SE.DSP wünscht Ihnen ein frohes neues Jahr 2017 mit einem freundlichen Signal, das daran erinnert, dass Ihre Frage oder ihre Antworten möglicherweise Maßnahmen erfordern (Aktualisierung, Abstimmung, Annahme usw.)

— Laurent Duval

Antworten:

Wie für jedes und Antwort ist richtig: ist periodisch. $t_0\in\mathbb{R}$ $k\in\mathbb{Z}$

\begin{array}{rcl} x (t_{0} + 4 k π) & = \cos (t_{0} + 4 k π) + \sin (t_{0} / 2 + 2 k π) \\ = \cos (t_{0}) + \sin (t_{0} / 2) \\ = x (t_{0}) \end{array}

$\begin{eqnarray} &x(t_0+4k\pi) &=\cos(t_0+4k\pi)+\sin(t_0/2+2k\pi)\\ & &=\cos(t_0)+\sin(t_0/2)\\ & &=x(t_0) \end{eqnarray}$

x (t)

$x(t)$

— Deve
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So fügen Sie eine konträre Antwort hinzu: Wenn Ihr Zeitindex eine Ganzzahl ist, ist Ihr Signal nicht periodisch. $t$

Die Definition von periodisch ist: , ist periodisch mit Periode wenn $x[t]$ $t\in\mathbb{Z}$ $P\in \mathbb{Z}$

x [t] = x [t + P]

$x[t] = x[t+P]$

Wir brauchen also also benötigen wir für die Periodizität mit .

\cos (t) = \cos (t + P)

$\cos(t) = \cos(t+P)$

P = 2 π k

$P = 2\pi k$

k \in Z

$k\in \mathbb{Z}$

Da irrational ist, kann dies nicht der Fall sein. $\pi$

Daher kann die erste Komponente Ihres Signals nicht periodisch sein, sodass das gesamte Signal nicht periodisch sein kann.

— Peter K.
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Es ist nicht erforderlich, dass P eine ganze Zahl ist, also ist cos (t) = cos (t + P). Für jedes t cos (t) = cos (t + 2π), weil cos (t + 2π) = sin (t) · sin (2π) + cos (t) · cos (2π) = sin (t) · 0 + cos (t) * 1 = cos (t)

— Stoleg

Nett! Wenn das Buch jedoch der Konvention folgt, dass

ein zeitkontinuierliches Signal und

ein zeitdiskretes Signal bezeichnet, wobei

nur ganzzahlige Werte annimmt, gilt es nicht ....

x (t)

$x(t)$

x [t]

$x[t]$

t

$t$

— Dilip Sarwate

@Stoleg: Nein,

muss in diesem Fall eine ganze Zahl sein. Weil der Index von

eine ganze Zahl für diskrete Zeitsignale sein muss. Ansonsten ist

undefiniert.

P

$P$

x

$x$

x [t + P]

$x[t+P]$

— Peter K.

x (t) = x (t + P)

$x(t) = x(t+P)$

t \in R

$t\in\mathbb{R}$

\forall P \in R

$\forall P \in \mathbb{R}$

F_{u n}

$\mathbf{F}_{un}$

Die Doppelwinkelformeln für trigonometrische Identitäten sagen Ihnen, dass . $\cos \left(\frac{2t}{t}\right) = 1 - 2\sin^2(\frac{t}{2})$

Sie haben also . Daher besteht Ihr Signal aus Funktionen (als Additionen und Multiplikationen), die alleals Periodezulassen(ja, die konstante Funktionist ebenfallsperiodisch). $x(t) =1 +\sin(\frac{t}{2}) - 2\sin^2(\frac{t}{2})$ $4\pi$ $x\to 1$ $4\pi$

Somit sieht Ihre Funktion sehr periodisch aus.

— Laurent Duval
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