Zwischen der Bedeutung von Faltung und Korrelation besteht eine Menge Subtilität. Beides gehört zur umfassenderen Vorstellung von inneren Produkten und Projektionen in der linearen Algebra, dh, dass ein Vektor auf einen anderen projiziert wird, um zu bestimmen, wie "stark" er in Richtung des letzteren ist.
Diese Idee erstreckt sich auf das Gebiet der neuronalen Netze, wo wir eine Datenprobe auf jede Zeile einer Matrix projizieren, um zu bestimmen, wie gut diese Zeile "passt". Jede Zeile repräsentiert eine bestimmte Klasse von Objekten. Beispielsweise könnte jede Zeile einen Buchstaben im Alphabet für die Handschrifterkennung klassifizieren. Es ist üblich, jede Zeile als Neuron zu bezeichnen, man könnte sie aber auch als Matched-Filter bezeichnen.
Im Wesentlichen messen wir, wie ähnlich zwei Dinge sind, oder wir versuchen, ein bestimmtes Merkmal in etwas zu finden, z. B. ein Signal oder ein Bild. Wenn Sie beispielsweise ein Signal mit einem Bandpassfilter falten, versuchen Sie herauszufinden, welchen Inhalt es in diesem Band hat. Wenn Sie ein Signal mit einer Sinuskurve korrelieren, z. B. der DFT, suchen Sie nach der Stärke der Sinusfrequenz im Signal. Beachten Sie, dass im letzteren Fall die Korrelation nicht verschoben wird, aber Sie immer noch zwei Dinge "korrelieren". Sie verwenden ein inneres Produkt, um das Signal auf die Sinuskurve zu projizieren.
Was ist dann der Unterschied? Nun, bedenken Sie, dass das Signal bei Faltung in Bezug auf das Filter rückwärts ist. Bei einem zeitvariablen Signal bewirkt dies, dass die Daten in der Reihenfolge korreliert werden, in der sie in den Filter gelangen. Definieren wir die Korrelation für einen Moment einfach als ein Skalarprodukt, dh das Projizieren einer Sache auf eine andere. Zu Beginn korrelieren wir also den ersten Teil des Signals mit dem ersten Teil des Filters. Wenn das Signal den Filter durchläuft, wird die Korrelation vollständiger. Beachten Sie, dass jedes Element im Signal nur mit dem Element des Filters multipliziert wird, das es zu diesem Zeitpunkt "berührt".
Mit der Faltung korrelieren wir also in gewisser Weise, aber wir versuchen auch, die zeitliche Reihenfolge beizubehalten, in der Änderungen auftreten, wenn das Signal mit dem System interagiert. Wenn der Filter jedoch symmetrisch ist, wie es häufig der Fall ist, spielt es eigentlich keine Rolle. Faltung und Korrelation führen zu denselben Ergebnissen.
Mit der Korrelation vergleichen wir nur zwei Signale und versuchen nicht, eine Reihenfolge von Ereignissen beizubehalten. Um sie zu vergleichen, wollen wir, dass sie in die gleiche Richtung weisen, dh sich aneinanderreihen. Wir schieben ein Signal über das andere, damit wir ihre Ähnlichkeit in jedem Zeitfenster testen können, falls sie außer Phase sind oder wir nach einem kleineren Signal in einem größeren suchen.
Bei der Bildverarbeitung sieht es etwas anders aus. Die Zeit ist uns egal. Die Faltung hat jedoch noch einige nützliche mathematische Eigenschaften . Wenn Sie jedoch versuchen, Teile eines größeren Bilds mit einem kleineren Bild abzugleichen (dh eine passende Filterung), möchten Sie es nicht spiegeln, da die Funktionen dann nicht in einer Linie stehen. Es sei denn natürlich, der Filter ist symmetrisch. Bei der Bildverarbeitung werden Korrelation und Faltung manchmal austauschbar verwendet, insbesondere bei neuronalen Netzen . Offensichtlich ist die Zeit immer noch relevant, wenn das Bild eine abstrakte Darstellung von zweidimensionalen Daten ist, wobei eine Dimension die Zeit ist - z. B. ein Spektrogramm.
Zusammenfassend gesagt, sind sowohl Korrelation als auch Faltung gleitende innere Produkte, die verwendet werden, um eine Sache auf eine andere zu projizieren, wenn sie sich über Raum oder Zeit ändern. Faltung wird verwendet, wenn die Reihenfolge wichtig ist, und wird normalerweise zum Transformieren der Daten verwendet. Korrelation wird normalerweise verwendet, um ein kleineres Objekt in einem größeren Objekt zu finden, dh um eine Übereinstimmung zu erzielen. Wenn mindestens eines der beiden "Dinge" symmetrisch ist, spielt es keine Rolle, welches Sie verwenden.
