Wie ist die Beziehung zwischen den PSDs von Filtereingang und -ausgang?

Wenn ein stationäres Weitwinkel-Signal einem LTI-Filter mit der Übertragungsfunktion zugeführt wird , kann die Leistungsspektraldichte (PSD) des Ausgangs ausgedrückt werden als: $X$ $H$ $Y$

R_{Y} (f) = {| H (f) |}^{2} R_{X} (f)

$R_Y(f) = \left|H(f)\right|^2R_X(f)$

wobei die PSD von . $R_X$ $X$

Hat diese Beziehung einen gemeinsamen Namen?

transfer-function terminology

— Gilles
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Antworten:

Ich kenne den Namen der Beziehung nicht, aber wird als Leistungsübertragungsfunktion des LTI-Systems bezeichnet. Das Ausgangsleistungsspektrum ist , das Eingangsleistungsspektrum , das durch die multiplizierte Kraftübertragungsfunktion, ebenso wie für die deterministischen Signale, das Ausgangsspektrum ist das Eingangsspektrum durch die Übertragungsfunktion multipliziert . $\vert H(f)\vert^2$ $H(f)$

— Dilip Sarwate
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Um besonders pedantisch zu sein, ist H (f) die Frequenzantwortfunktion . H (w) ist die Übertragungsfunktion.

— mtrw

@mtrw Haben Sie ein Zitat, um Ihre Pedanterie zu sichern? Bracewells klassischer Text Die Fourier-Transformation und ihre Anwendungen nennt

die Übertragungsfunktion; andere Texte nennen

oder

die Übertragungsfunktion wie Sie; Wieder andere nennen

die Übertragungsfunktion. Geben Sie daher bitte ein Zitat an, das besagt, dass beim Aufrufen von

die Übertragungsfunktion falsch ist, da dieser Name für

reserviert ist .

H (f)

$H(f)$

H (ω)

$H(\omega)$

H (j ω)

$H(j\omega)$

H (s)

$H(s)$

H (f)

$H(f)$

H (ω)

$H(\omega)$

— Dilip Sarwate

Zuerst muss ich mich für einen dummen Fehler entschuldigen. Ich hätte sagen sollen, dass H (f) die FRF und H (s) die Übertragungsfunktion ist. Leider habe ich meine Kopie von Oppenheim, Schafer & Youngs Signalen und Systemen nicht mehr, und ich erinnere mich, dass ich dies gelernt habe. Die Mnemonik, die mir beigebracht wurde, war, dass die Fourier-Transformation der Impulsantwort (entweder H (f) oder H (jw)), da sie für reine Sinuskurven ausgewertet wird, die Antwort auf Frequenzen ergibt. Die Laplace- und z-Transformationen (H (s) oder H (z)) geben Übertragungsfunktionen.

— mtrw

Die Beziehung, die Sie haben, ergibt sich aus dem Wiener-Khinchin-Theorem (WK). Der WK-Satz bezieht sich hauptsächlich auf die Autokorrelation des Eingangs und seiner Leistungsspektraldichte (PSD) als Fourier-Transformationspaar. Ich habe nicht gehört, dass es mit einem anderen Namen bezeichnet wird, als ausdrücklich zu sagen: "Aus dem WK-Theorem haben wir bla ..." Aus dem zitierten Artikel:

Eine Folge [des WK-Theorems] ist, dass die Fourier-Transformation der Autokorrelationsfunktion des Ausgangs eines LTI-Systems gleich dem Produkt der Fourier-Transformation der Autokorrelationsfunktion des Eingangs des Systems multipliziert mit der quadratischen Größe des Fouriers ist Transformation der Systemimpulsantwort.

Während es für Signale (oder Funktionen) geschrieben und bewiesen wurde, die quadratisch integrierbar sind und daher eine Fourier-Transformation aufweisen, wird es üblicherweise verwendet, um WSS-Zufallsprozesse (die keine Fourier-Transformation haben) zu untersuchen, indem die Autokorrelation eher über Erwartungen als über Beziehungen in Beziehung gesetzt wird Integrale.

— Lorem Ipsum
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Es ist eine gute Antwort, aber Sie beantworten die Frage wirklich nicht? Ich habe den Eindruck, dass Ihre Antwort das Wiener-Khincin-Theorem ist, aber das ist meiner Meinung nach nicht wirklich wahr. Ich hoffe, ich sehe nicht mürrisch aus, aber die Frage ist wirklich präzise, daher sollte / könnte die Antwort präzise sein.

— Niaren

A_{Y} = h * \tilde{h} * A_{X}

$A_Y = h * \tilde{h} * A_X$

A_{Y} = h * \tilde{h} * A_{X}

$A_Y = h * \tilde{h} * A_X$

A_{X} (t) \leftrightarrow R_{X} (f)

$A_X(t) \leftrightarrow R_X(f)$

A_{Y} (t) \leftrightarrow R_{Y} (f)

$A_Y(t) \leftrightarrow R_Y(f)$

h (t) \leftrightarrow H (f)

$h(t) \leftrightarrow H(f)$

\tilde{h} (t) \leftrightarrow H^{*} (f)

$\tilde{h}(t) \leftrightarrow H^*(f)$

R_{Y} (f) = | H (f) |^{2} R_{X} (f)

$R_Y(f) = |H(f)|^2 R_X(f)$

A_{Y} = h * \tilde{h} * A_{X}

$A_Y = h * \tilde{h} * A_X$

@ Dilip Ich bin damit nicht einverstanden und behaupte nie, dass das Ergebnis für WSS eine Folge von WK ist. Der von mir zitierte Text spricht nur über die Beziehung zwischen der Autokorrelation und Fourier-Transformationen für Ein- und Ausgänge eines LTI-Systems. Es geht nicht um WSS. Ich habe direkt darunter klargestellt, dass WK zwar für quadratisch integrierbare Signale bewiesen wurde, aber verwendet wird , um WSS unter Verwendung eines probabilistischen Ansatzes zu untersuchen und die Autokorrelation über Erwartungen in Beziehung zu setzen. Es ist ziemlich genau das, was Sie hier gesagt haben, aber ich bin nicht ins Detail gegangen, weil das OP nie danach gefragt hat.

— Lorem Ipsum

R_{Y} (f) = | H (f) |^{2} R_{X} (f)

$R_Y(f)=|H(f)|^2R_X(f)$

A_{Y} = h * \tilde{h} * A_{X}

$A_Y=h∗\tilde{h}∗A_X$

R_{Y} (f) = | H (f) |^{2} R_{X} (f)

$R_Y(f)=|H(f)|^2R_X(f)$

A_{Y} = h * \tilde{h} * A_{X}

$A_Y=h∗\tilde{h}∗A_X$