komplementäre IIR-Filter

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Ich hätte gerne ein Paar komplementärer IIR-Filter (Tiefpass / Hochpass). Mit komplementär meine ich, wenn die Ausgabe der beiden Filter summiert wird, wird das ursprüngliche Signal wiederhergestellt. Ich dachte, ich könnte solche Paare mit Butterworth-Filtern bauen, aber mit ein wenig Mathematik entdeckte ich, dass nur Filter 1. Ordnung komplementär waren. Ich dachte, ich hätte das schon einmal gemacht, aber ich vergesse wie.

Stimmt etwas mit meiner Mathematik nicht? Gibt es eine einfache Lösung, die ich vergesse?

Vielen Dank!

lowpass-filter infinite-impulse-response highpass-filter

— Björn Roche
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Wenn Sie Ihre Anwendung genauer beschreiben, wäre dies hilfreich. Ich sehe keinen wirklichen Vorteil für komplementäre Filter in diesem Sinne. Wenn Sie jedoch bereit sind, Ihre Signale erneut zu filtern, bevor Sie sie hinzufügen und das Original zurückerhalten, ist dies eine ganz andere Geschichte mit Wavelets. Wenn ich also mehr Informationen darüber bekomme, was Sie versuchen, sollte ich Ihnen helfen können.

— Phonon

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Juanchos Antwort ist irgendwie richtig, es gibt jedoch ein Problem: Der kostenlose Filter eines Tiefpasses ist im Allgemeinen KEIN Hochpassfilter, zumindest nicht in dem Sinne, wie Sie ihn suchen. Zum Beispiel sieht das Kompliment eines Butterworth-Tiefpasses 4. Ordnung überhaupt nicht wie ein Hochpassfilter 4. Ordnung aus. Es hat nur etwa die Hälfte der Steilheit, erreicht einen maximalen Gewinn von ca. +6 dB unter der Übergangsfrequenz und nähert sich dann langsam der Einheitsverstärkung über der Übergangsfrequenz.

Die einzigen passenden Hoch- und Tiefpassfilter, die sich zu Eins summieren, sind Filter erster Ordnung. Sie können jedoch passende Filter höherer Ordnung finden, die sich zu einem Einheitsgewinn summieren, so dass die Gesamtübertragungsfunktion der Summe ein Allpassfilter ist. Dies sind Butterworth-Filter ungerader Ordnung und Linkwitz Riley-Filter gerader Ordnung.

— Hilmar
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Ah, interessant! Das erste, was ich versuchte, als ich mir das ansah, war Butterworth dritter Ordnung, weil ich dachte, ich erinnere mich daran, dass Butterworth ungerader Ordnung diese Eigenschaften (und andere Eigenschaften, die ich will) hatte, aber es funktionierte nicht. Ich muss einen Fehler gemacht haben. Ich werde es noch einmal versuchen, danke!

— Björn Roche

BWs ungerader Ordnung sind um 90 Grad phasenverschoben, sodass Sie sie tatsächlich addieren oder subtrahieren können, um eine flache Gesamtantwort zu erhalten. Die Summe und die Differenz haben jedoch eine signifikant unterschiedliche Gruppenverzögerung, so dass es eine einzigartige "beste" Wahl gibt.

— Hilmar

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$H_2(e^{j\theta}) = 1 - H_1(e^{j\theta})$ $h_2[n] = \delta[n] - h_1[n]$

$H_1(z)$ $\frac{b_0 + b_1 z^{-1} + \ldots}{a_0 + a_1 z^{-1} + \ldots}$ $H_2(z)$ $\frac{(a_0 - b_0) + (a_1 - b_1) z^{-1} + \ldots}{a_0 + a_1 z^{-1} + \ldots}$

$H_2$ $(a_0-b_0)$ $(a_1 - b_1)$

Die rekursiven Koeffizienten sind für beide Filter gleich.

— Juancho
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Eine gute Antwort ist eine, die im Nachhinein offensichtlich erscheint! Vielen Dank!

— Björn Roche