Für das digitale Filterdesign benötigte mathematische Felder

Ich möchte digitales Filterdesign lernen. Meine Mathematikkenntnisse sind auf der High School-Ebene. Ich kann Mathe über das Internet lernen. Welche Bereiche der Mathematik muss ich dann lernen?

Wenn Sie die Bälle haben, um selbst Mathe zu lernen. Die zwei Bereiche der Mathematik, die Sie dominieren müssen, um Filterdesign zu erstellen, sind: Funktionsanalyse und konvexe Optimierung. Nahezu jedes Filterdesign ist das Ergebnis eines Optimierungsproblems wie: Finden Sie diesen Satz von Zahlen so, dass der Absolutwert der Fourier-Transformation in diesem Frequenzbereich die folgende Form hat (zwischen diesen beiden Grenzen, wenn die Frequenz 0 Hz bis 320 Hz beträgt, und zwischen diesen beiden anderen, wenn die Frequenz größer als 340 Hz ist). Oder was ist die Menge von N Zahlen, so dass, wenn die diskrete Faltung der Folge der Zahlen auf dieses Signal x ( n ) angewendet wird, das Ergebnis dieses Signal y ( $N$$N$$x(n)$ . Und es gibt viele andere Möglichkeiten, sie zu definieren.$y(n)$

Und Sie benötigen eine Funktionsanalyse, um zu verstehen, wie ein Signal modelliert wird, wie ein System modelliert wird und wie die Interaktionen und Operationen zwischen Signalen (Transformationen, Faltungen usw.) modelliert werden.

Ich hoffe es hilft.

So fangen Sie an:

Komplexe Zahlen

Der Frequenzgang eines Filters ist leichter zu verstehen und beschreibt sowohl den Größenfrequenzgang als auch den Phasenfrequenzgang. Sie werden in der Lage sein, Pole und Nullen zu verstehen, die komplex sein können. Mit komplexen Zahlen können Sie negative Frequenzen haben, was die Mathematik vereinfacht.

Trigonometrie

$\sin$$\cos$$e^{i\alpha} = \cos(\alpha) + i\sin(\alpha)$

Unterscheidung

Um herauszufinden, bei welcher Frequenz ein einfaches Filter Spitzenwerte aufweist oder abfällt, können Sie lösen, bei welcher Frequenz die Ableitung seines Frequenzgangs der Größe Null ist.

Integration

Die Integration ist für die Fourier-Transformation und die inverse Fourier-Transformation erforderlich.

Fourier-Transformation

Mit der Fourier-Transformation können Sie von einer Impulsantwort zu einer Frequenzantwort und zurück wechseln. Auch Dinge, die Sie im Zeitbereich tun, haben oft ein einfaches Gegenstück im Frequenzbereich und umgekehrt.

@ George Theodosiou: Anstatt in alle möglichen leistungsstarken mathematischen Fächer einzutauchen (von denen nur ein Teil für Sie nützlich sein wird), empfehle ich Ihnen, zunächst ein anständiges Buch für DSP-Anfänger zu lesen. Wie die populären Bücher "Understanding Digital Signal Processing" oder "The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing". Diese Bücher füttern den Leser langsam und sanft mit der Mathematik, die für den Beginn des DSP-Studiums erforderlich ist. Wenn Sie dann in diesen Büchern auf eine Gleichung stoßen, die Sie verwirrt, können Sie im Internet die Mathematik dieser bestimmten Gleichung genauer lernen.

George, wenn Ihr Wunsch, digitales Filtern zu lernen, aufrichtig ist und Sie Ihre Begeisterung behalten, werden Sie Erfolg haben. Um Susan B. Anthony zu zitieren: "Misserfolg ist unmöglich." Viel Glück.

Vielen Dank an diejenigen, die meine Frage beantwortet, kommentiert und angesehen haben. Meine Antwort ist, dass ich von der Funktionsanalyse ausgehen muss, wie Herr Bone vorschlägt. Ich erinnere mich von der High School, dass, wenn ein Polynom von x mit y gleichgesetzt wird, die Funktion von x mit y erhalten wird. Ich erinnere mich auch an den Grundsatz der Algebra für reelle Koeffizienten. Dann kann ich von diesem Wissen ausgehen.

Für das Design digitaler Filter schätze ich die obigen Antworten und möchte einige Felder hinzufügen.

Beschränken wir uns zunächst auf das lineare Filering. Linearität und Zeitinvarianz sind Grundannahmen. Mit ihnen werden Vektorräume, Faltung (Integrale und Reihen) und Fourier-Transformationen (Teil der Funktionsanalyse mit komplexer Adn-Trigonometrie) zu natürlichen Werkzeugen. Ich bestehe darauf, dass diese Werkzeuge natürliche Konsequenzen von Linearität / Zeitinvarianz sind. Wenn Sie das bekommen, werden Sie sanft zu den Werkzeugen gefahren, die Sie benötigen. Die Optimierung ist im Filterdesign weit verbreitet.

Nebenbei können Sie zusätzliche Felder berücksichtigen. Möglicherweise möchten Sie komplementäre Filter mit unterschiedlichen Raten entwerfen, und das Design von Mehrratenfiltern kann zu einer Matrixfaktorisierung führen, die auch bei Filterstrukturen (Gitter, Leiter) und Spektralfaktorisierung nützlich ist. Wenn Sie zur Implementierung eines realen Systems (FPGA, Mikrocontroller) wechseln, müssen Sie möglicherweise in die Festkomma- oder Ganzzahlarithmetik eintauchen. Natürlich ist die Abtasttheorie eine Anforderung erster Ordnung, insbesondere wenn Sie mehrdimensional arbeiten (Bildverarbeitung). Mit Polynomsystemen und Gröbner-Basen kann man sogar höhere Mahematiken berühren .

Ich mag sehr, für eine grundlegende mathematische und saubere Einführung in viele Themen, Gasquet & Witomski Fourier-Analyse und Anwendungen: Filtern, Numerische Berechnung, Wavelets .

Lassen Sie mich ein weniger erwähntes Problem hinzufügen: Eine große Frage ist häufig die Anzahl der Abgriffe und die Genauigkeit (Anzahl der Bits pro Koeffizient), die erforderlich ist, um ein bestimmtes Filterdesign zu erfüllen. Zwei Quellen:

• Ichige et al. Genaue Schätzung der minimalen Filterlänge für optimale {FIR} -Digitalfilter , IEEE-Transaktionen auf Schaltungen und Systemen II: Analoge und digitale Signalverarbeitung, 2000
• Bellanger, Über Rechenkomplexität in digitalen Filtern , 1981