Ist die Laplace-Transformation redundant?

Die Laplace - Transformation ist eine Verallgemeinerung der Fourier - Transformation , da die Fourier - Transformation ist die Laplace - Transformation für (dh ist eine reine imaginäre Zahl Null = Realteil von ). $s = j\omega$ $s$ $s$

Erinnerung:

Fouriertransformation: $X(\omega) = \int x(t) e^{-j\omega t} dt$

Laplace-Transformation: $X(s) = \int x(t) e^{-s t} dt$

Außerdem kann ein Signal sowohl aus seiner Fourier-Transformation als auch aus seiner Laplace-Transformation exakt rekonstruiert werden.

Da nur ein Teil der Laplace-Transformation für die Rekonstruktion benötigt wird (der Teil, für den ), scheint der Rest der Laplace-Transformation ( ) für die Rekonstruktion unbrauchbar zu sein ... $\Re(s) = 0$ $\Re(s) \neq 0$

Ist es wahr?

Kann das Signal auch für einen anderen Teil der Laplace-Transformation rekonstruiert werden (z. B. für oder )? $\Re(s)=5$ $\Im(s)=9$

Und was passiert, wenn wir eine Laplace-Transformation eines Signals berechnen, dann nur einen Punkt der Laplace-Transformation ändern und die inverse Transformation berechnen: Kommen wir zum ursprünglichen Signal zurück?

fourier-transform laplace-transform

— Vinz
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Warum die Gegenstimme? Auch wenn die Frage falsche Schlussfolgerungen enthält, können Sie sich in einem Kommentar oder einer Antwort sehr gut damit auseinandersetzen. Es ist nicht sehr konstruktiv, eine Frage stillschweigend abzustimmen, in die sich jemand anscheinend etwas Mühe gegeben hat.

— Jazzmaniac

Ich habe die Frage aufgeworfen. wenn i in Bezug auf die Kreisfrequenz denke

, dann mag ich sagen Fourier Transform :

und Laplace - Transformation:

. dann ist es ziemlich klar, dass sie dasselbe sind (sorta).

ω

$\omega$

X (j ω) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{- j ω t} d t

$X(j\omega) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j \omega t} \ dt$

X (s) = \int_{- \infty}^{\infty} x (t) e^{- s t} d t

$X(s) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-st} \ dt$

— robert bristow-johnson

Die Fourier- und die Laplace-Transformation haben offensichtlich viele Gemeinsamkeiten. Es gibt jedoch Fälle, in denen nur einer von ihnen verwendet werden kann, oder in denen es bequemer ist, den einen oder anderen zu verwenden.

$s$ $j\omega$ $X_L(s)$ $X_F(j\omega)$ $f(t)=e^{at}u(t)$ $a>0$ $u(t)$ $\Re\{s\}>a$

$X_F(j\omega)\neq X_L(j\omega)$ $f(t)=\sin(\omega_0t)u(t)$

$s=j\omega$ $s$ $s$ $-\infty<t<\infty$ $f(t)=\sin(\omega_0 t)$ $f(t)=\sin(\omega_ct)/\pi t$

$s$

Schauen Sie sich auch diese Antwort auf eine verwandte Frage an.

— Matt L.
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Die Fourier-Transformation ist ein nützliches Werkzeug zur Analyse idealer (nicht kausaler, instabiler) Systeme: Sie würden sagen, kausal und stabil?

— Vinz

@ user17604: Ich meinte, was ich geschrieben habe. Natürlich können Sie es auch für kausale und stabile (und nicht ideale) Systeme verwenden. Eine wichtige Anwendung ist jedoch die Analyse eines idealen Systems (z. B. idealer frequenzselektiver Filter), bei dem die Laplace-Transformation nicht verwendet werden kann.

— Matt L.

@MattL. Gute Antwort, aber ich fand die Analyse von LTI-Systemen mit Anfangsbedingungen ungleich Null verwirrend. Wie kann ein LTI-System Anfangsbedingungen ungleich Null haben?

@ 0MW: Ja, ich hätte wahrscheinlich sagen sollen "Systeme, die ansonsten LTI sind (wenn sie anfänglich in Ruhe sind)".

— Matt L.