Ich verstehe die Fourier-Transformation, die eine mathematische Operation ist, mit der Sie den Frequenzinhalt eines bestimmten Signals sehen können. Aber jetzt in meiner Kommunikation. Natürlich stellte der Professor die Hilbert-Transformation vor.

Ich verstehe, dass dies in gewisser Weise mit dem Frequenzinhalt zusammenhängt, da die Hilbert-Transformation eine FFT mit multipliziert oder die Zeitfunktion mit .$-j\operatorname{sign}(W(f))$$1/\pi t$

Was bedeutet die Hilbert-Transformation? Welche Informationen erhalten wir, wenn wir diese Transformation auf ein bestimmtes Signal anwenden?

Eine Anwendung der Hilbert-Transformation besteht darin, ein sogenanntes analytisches Signal zu erhalten. Für das Signal ist seine Hilbert-Transformation als Komposition definiert:$s(t)$$\hat{s}(t)$

Das analytische Signal, das wir erhalten, hat einen komplexen Wert, daher können wir es in Exponentialschreibweise ausdrücken:

woher:

$A(t)$ ist die momentane Amplitude (Hüllkurve)

$\psi(t)$ ist die momentane Phase.

Wie sind diese hilfreich?

Die momentane Amplitude kann in vielen Fällen nützlich sein (sie wird häufig zum Auffinden der Hüllkurve einfacher harmonischer Signale verwendet). Hier ist ein Beispiel für eine Impulsantwort:

Zweitens können wir basierend auf der Phase die momentane Frequenz berechnen:

Was wiederum in vielen Anwendungen hilfreich ist, z. B. bei der Frequenzerkennung eines Wobbeltons, bei rotierenden Motoren usw.

Andere Anwendungsbeispiele sind:

• Abtastung von Schmalbandsignalen in der Telekommunikation (meist mit Hilbert-Filtern).

• Medizinische Bildgebung.

• Array-Verarbeitung für die Ankunftsrichtung.

• Analyse der Systemantwort.

In Laienbegriffen liefert die Hilbert-Transformation, wenn sie für reale Daten verwendet wird, "eine wahre (augenblickliche) Amplitude" (und einige mehr) für stationäre Phänomene, indem sie sie in "spezifische" komplexe Daten umwandelt. Zum Beispiel hat ein Cosinus inhärent die Amplitude 1, die Sie nicht direkt sehen, da er visuell zwischen und wackelt und periodisch verschwindet. Die Hilbert-Transformation ergänzt den Kosinus auf "die beständigste Weise", so dass die resultierende komplexe Funktion alle Anfangsinformationen enthält, und ihre "Amplitude" ist direkt ein Modul von 1. Alle Das oben Genannte erfordert Sorgfalt, da der Begriff der Bandbegrenzung und der Lokalität ins Spiel kommt.$\cos(t)$$-1$$1$$\cos(t)+i\sin(t)$

Die Hilbert-Transformation (und die Riesz-Transformation in höheren Dimensionen) könnte ein grundlegenderes Werkzeug sein. Ich mag den Prolog von Kapitel 2 in Explorations in Harmonic Analysis mit Anwendungen auf die komplexe Funktionstheorie und die Heisenberg-Gruppe von Steven G. Krantz:

Prolog: Die Hilbert-Transformation ist ohne Frage der wichtigste Operator in der Analyse. Es entsteht in so vielen verschiedenen Kontexten, und all diese Kontexte sind auf tiefgreifende und einflussreiche Weise miteinander verflochten. Alles läuft darauf hinaus, dass es in Dimension 1 nur ein einziges singuläres Integral gibt, und es ist die Hilbert-Transformation. Die Philosophie ist, dass sich alle wichtigen analytischen Fragen auf ein singuläres Integral reduzieren; und in der ersten Dimension gibt es nur eine Wahl.

Die Anwendungen in der Signal- / Bildverarbeitung sind zahlreich, möglicherweise aufgrund ihrer grundlegenden Eigenschaften: Momentane Amplituden- / Frequenzschätzung, Konstruktion von Kausalfiltern nur für Amplituden (Kramers-Krönig-Beziehungen), 2D-Richtungswavelets mit geringer Redundanz, verschiebungsinvariante Kantenerkennung, etc.

Ich würde auch vorschlagen, die beiden Bände von F. King, 2009, Hilbert transformiert .

Eine Transformation (FT oder Hilbert usw.) erzeugt keine neuen Informationen aus dem Nichts. Somit ist die "Information, die Sie erhalten" oder die hinzugefügte Dimension in dem resultierenden analytischen komplexen Signal, das durch eine Hilbert-Transformation eines 1D / Real-Signals bereitgestellt wird, eine Form der Zusammenfassung der lokalen Umgebung jedes Punkts in diesem Signal, verbunden mit dieser Punkt.

Informationen wie lokale Phase und Hüllkurvenamplitude sind Informationen über eine bestimmte Breite oder Ausdehnung (bis zu einer unendlichen Ausdehnung) eines Signals, das jeden lokalen Punkt umgibt. Die Hilbert-Transformation komprimiert beim Erzeugen einer Komponente eines komplexen analytischen Signals aus einem 1D-Real-Signal einige Informationen aus einer umgebenden Ausdehnung des Signals auf jeden einzelnen Punkt eines Signals, so dass man mehr Entscheidungen treffen kann (z. B. ein Bit demodulieren) , Zeichnen einer Hüllkurvenamplitude usw.) an jedem lokalen (jetzt komplexen) Punkt oder Abtastwert, ohne dass ein neues (Wavelet, mit Fenstern versehenes Goertzel usw.) Fenster mit einer gewissen Breite auf dem Signal an jedem Punkt erneut abgetastet und / oder verarbeitet werden muss Punkt.

Das durch die Hilbert-Transformation erzeugte analytische Signal ist in vielen Signalanalyseanwendungen nützlich. Wenn Sie das Signal zuerst bandpassfiltern, erhalten Sie in der analytischen Signaldarstellung Informationen zur lokalen Struktur des Signals:

• Die Phase gibt die lokale Symmetrie an dem Punkt an, an dem 0 eine positive Symmetrie (Spitze), eine negative Symmetrie (Talsohle) und eine antisymmetrische (steigende / fallende Flanke) ist.$\pi$$\pm \pi/2$
• Die Amplitude gibt die Stärke der Struktur an dem Punkt an, unabhängig von der Symmetrie (Phase).

Diese Darstellung wurde verwendet für

• Merkmalserkennung über lokale Energie (Amplitude)
• Merkmalklassifizierung unter Verwendung der Phase
• Merkmalerkennung über Phasenkongruenz

Es wurde auch mit der Riesz-Transformation, zum Beispiel dem monogenen Signal, auf höhere Dimensionen ausgedehnt.

Durch die Implementierung einer Hilbert-Transformation können wir ein analytisches Signal erstellen, das auf einem Original-Realwertsignal basiert. In der Welt der Kommunikation können wir das analytische Signal verwenden, um die augenblickliche Größe des ursprünglichen realen Signals einfach und genau zu berechnen. Dieser Prozess wird bei der AM-Demodulation verwendet. Auch aus dem analytischen Signal können wir leicht und genau die augenblickliche Phase des ursprünglichen reellwertigen Signals berechnen. Dieser Prozess wird sowohl bei der Phasen- als auch bei der FM-Demodulation verwendet. Ihr Professor deckt die Hilbert-Transformation zu Recht ab, weil sie in Kommunikationssystemen so verdammt nützlich ist.

Gute Antworten schon, aber ich wollte hinzufügen, dass das Umwandeln eines Signals in seine analytische Version im digitalen Bereich einfach ist (der benötigte Halbbandfilter hat die Hälfte seiner Koeffizienten gleich Null), aber sobald er vorhanden ist, kann die Abtastrate verringert werden Hälfte, im Wesentlichen Aufteilung der Verarbeitung in reale und imaginäre Pfade. Hier fallen natürlich Kosten an, und es müssen einige Kreuzbegriffe behandelt werden, aber im Allgemeinen ist dies bei Hardwareimplementierungen hilfreich, wenn die Taktrate ein Faktor ist.

Wie bereits in anderen Antworten erläutert, wird diese Hilbert-Transformation verwendet, um ein anaytisches Signal zu erhalten, mit dem die Hüllkurve und die Phase des Signals ermittelt werden können.

Eine andere Sichtweise der Hilbert-Transformation liegt im Frequenzbereich. Da reale Signale identische positive und negative Frequenzkomponenten haben, ist diese Information in der Analyse redundant.

Hilbert-Transformation wird verwendet, um den negativen Frequenzteil zu eliminieren und die Größe des positiven Frequenzteils zu verdoppeln (um die Leistung gleich zu halten).

Hier ist das entworfene Hilbert-Transformationsfilter ein Bandpassfilter, der Frequenzen von 50 MHz bis 450 MHz durchlässt. Der Eingang ist die Summe zweier sinusförmiger Signale mit Frequenzen von 200 MHz und 500 MHz.

Aus dem PSD-Diagramm können wir ersehen, dass die negative Frequenzkomponente des 200-MHz-Signals gedämpft wird, während das 500-MHz-Signal als solches durchgelassen wird.

Diese Frage hat bereits viele ausgezeichnete Antworten, aber ich wollte dieses sehr einfache Beispiel und die Erklärung von dieser Seite aufnehmen , die das Konzept und die Nützlichkeit der Hilbert-Transformation massiv verdeutlicht haben:

Ein Signal, das keine negativen Frequenzkomponenten aufweist, wird als analytisches Signal bezeichnet. Daher kann in kontinuierlicher Zeit jedes analytische Signal als dargestellt werden$z(t)$

$$\displaystyle z(t) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{\infty}Z(\omega)e^{j\omega t}d\omega$$ wobei der komplexe Koeffizient ist (Einstellen der Amplitude und Phase) der komplexen Sinuskurve mit positiver Frequenz bei der Frequenz . Jede reale Sinuskurve kann in eine komplexe Sinuskurve mit positiver Frequenz indem einfach eine Phasenquadraturkomponente um als "imaginärer Teil" zu dienen:$Z(\omega)$$\exp(j\omega t)$$\omega$$A\cos(\omega t + \phi)$$A\exp[j(\omega t + \phi)]$$A\sin(\omega t + \phi)$

$$\displaystyle A e^{j(\omega t + \phi)} = A\cos(\omega t + \phi) + j A\sin(\omega t + \phi)$$ Die Phasenquadraturkomponente kann aus erzeugt werden die In-Phase-Komponente durch eine einfache Viertelzyklus-Zeitverschiebung. Für kompliziertere Signale, die als Summe vieler Sinuskurven ausgedrückt werden können, kann ein Filter konstruiert werden, das jede Sinuskomponente um einen Viertelzyklus verschiebt. Dies wird als Hilbert-Transformationsfilter bezeichnet. Es sei die Ausgabe zum Zeitpunkt des auf das Signal angewendeten Hilbert-Transformationsfilters . Idealerweise hat dieses Filter bei allen Frequenzen die Größe und führt bei jeder positiven Frequenz und bei eine Phasenverschiebung von${\cal H}_t\{x\}$$t$$x$$1$$-\pi/2$$+\pi/2$bei jeder negativen Frequenz. Wenn ein reales Signal und seine Hilbert-Transformation verwendet werden, um ein neues komplexes Signal ist das Signal das (komplexe) analytische Signal, das dem realen Signal . Mit anderen Worten, für jedes reale Signal hat das entsprechende analytische Signal die Eigenschaft, dass alle "negativen Frequenzen" von wurden '' herausgefiltert. ''$x(t)$$y(t) = {\cal H}_t\{x\}$z ( t ) x ( t ) x ( t ) z ( t ) = x ( t ) + j H t { x } x ( t $z(t) = x(t) + j y(t)$$z(t)$$x(t)$$x(t)$$z(t)=x(t) + j {\cal H}_t\{x\}$$x(t)$

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