Welche Beziehung besteht zwischen dem Sigma im Laplace von Gauß und den beiden Sigmas im Unterschied von Gauß?

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Ich verstehe, dass ein Laplace-of-Gauss-Filter durch ein Difference-of-Gauss-Filter angenähert werden kann und dass das Verhältnis der beiden Sigmas für letzteres 1: 1,6 sein sollte, um die beste Annäherung zu erzielen. Ich bin mir jedoch nicht sicher, in welcher Beziehung die beiden Sigmen im Unterschied der Gaußschen zum Sigma für den Laplace-Gaußschen stehen. Ist das kleinere Sigma im ersteren gleich dem Sigma des letzteren? Ist das größere Sigma? Oder ist die Beziehung etwas anderes?

image-processing gaussian

— visuell-kinetisch
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> Ich verstehe, dass ein Laplace-of-Gauss-Filter durch ein Difference-of-Gauss-Filter angenähert werden kann und dass das Verhältnis der beiden Sigmen für letzteres 1: 1,6 sein sollte, um die beste Annäherung zu erzielen. Entschuldigung, mit welchem Hinweis wussten Sie das?

Hallo, ich denke diese Frage würde hier passen - area51.stackexchange.com/proposals/86832/… Es würde auch die Community unterstützen. Danke.

— Royi

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Ich verstehe, dass ein Laplace-of-Gauss-Filter durch ein Difference-of-Gauss-Filter angenähert werden kann und dass das Verhältnis der beiden Sigmas für letzteres 1: 1,6 sein sollte, um die beste Annäherung zu erzielen

Theoretisch ist die Approximation umso besser, je kleiner das Verhältnis zwischen zwei Sigmen ist. In der Praxis wird es irgendwann zu numerischen Fehlern kommen. Wenn Sie jedoch Gleitkommazahlen verwenden, erhalten Sie eine bessere Annäherung, wenn die Werte kleiner als 1,6 sind.

Zur Veranschaulichung habe ich einen Querschnitt der LoG und der DoG für einige Werte von k in Mathematica gezeichnet:

Bildbeschreibung hier eingeben

Wie Sie sehen können, ist k = 1,6 keine ideale Näherung. Zum Beispiel würde k = 1,1 eine viel engere Annäherung ergeben.

Normalerweise möchten Sie jedoch die LoG-Näherungen für eine Reihe von Sigmas berechnen. (Warum sollte man sich sonst überhaupt mit der DoG-Näherung beschäftigen? Die Berechnung eines einzelnen LoG-gefilterten Bildes ist nicht teurer als die Berechnung eines einzelnen DoG-gefilterten Bildes.) Daher wird der Wert von k normalerweise so gewählt, dass Sie eine Reihe von Gauß-gefilterten Bildern berechnen können Bilder mit Sigmas s, s k, s k ^ 2, s * k ^ 3 ... und berechnen Sie dann die Differenzen zwischen benachbarten Gaußschen. Wenn Sie also ein kleineres k wählen, müssen Sie mehr "Schichten" von Gaußschen für den gleichen Sigma-Bereich berechnen. k = 1,6 ist ein Kompromiss zwischen dem Wunsch nach einer engen Annäherung und dem Wunsch, nicht zu viele verschiedene Gaußsche zu berechnen.

Ich bin mir jedoch nicht sicher, in welcher Beziehung die beiden Sigmen im Unterschied der Gaußschen zum Sigma für den Laplace-Gaußschen stehen. Ist das kleinere Sigma im ersteren gleich dem Sigma des letzteren?

$t=\sigma ^2$ $\sqrt{\sigma ^2+\text{$\Delta $t}}$ $\sqrt{\sigma ^2-\text{$\Delta $t}}$ $\text{$\Delta $t}\to 0$

$\sigma _{\text{Laplace}}=\sigma \sqrt{\frac{1+k^2}{2}}$

— Niki Estner
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Es tut mir leid , wenn ich falsch liege, aber ist es nicht , dass lügt Berechnung tatsächlich ist teurer als Hund. da Gauß in 2 1D-Filter unterteilt werden kann, ist die Komplexität linear O (2n) anstelle von Polynom O (n ^ 2)

— user1916182 13.06.14

@ user1916182: Richtig, ein LoG-Filter ist per se nicht trennbar. Aber auch kein DoG-Filter. Aber beide sind Summen zweier trennbarer Filter (zwei Gauß-Filter mit unterschiedlicher Skalierung für die DoG, zwei Gauß-Derivatfilter 2. Ordnung für die LoG). Sie tun mit Hund , Zeit zu sparen , wenn Sie die „größeren“ der beiden Gaußschen Kurven für die nächste Skalenstufe verwenden, so dass Sie n + 1 Gaußsche für n Waage berechnen müssen, im Gegensatz zu 2 * n Gaußsche Ableitungsfilter für nlog Skalen .

— Niki Estner

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Vielleicht können Ihnen die Formeln hier helfen.

Da die Skalenraumdarstellung die Diffusionsgleichung erfüllt, kann der LoG als Differenz zwischen zwei Schichten des Skalenraums berechnet werden.

Wenn wir die DoG-Formel ableiten, approximieren wir daher zuerst die LoG mit endlicher Differenzierung. Ich denke, das spezifische Verhältnis für Sigma ergibt sich aus der Tatsache, dass ein Maßstabsschritt vorgenommen wird, um sich an erster Stelle dem LoG anzunähern.

— Libor
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Danke, aber die habe ich mir schon angeschaut. Sie scheinen mir nicht zu sagen, ob Sigma oder k * Sigma der Wert ist, der dem t- Parameter entspricht (der dem Sigma- Wert für die Laplace-Gleichung von Gauß entspricht).

— visuelle Kinetik

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Es liegt irgendwo dazwischen: s <t <k * s. Da sich die Differenz (y (a) - y (b)) / (ba) (wenn b - a -> 0) der Ableitung bei (a + b) / 2 annähert. Da Sie jedoch die Grenze von k-> 1 nicht einhalten, ist dies nur eine Annäherung und Sie können das beste Sigma nicht wirklich lokalisieren (es sei denn, Sie definieren ein bestimmtes Optimierungskriterium).

— Nimrodm