Fourier-Transformation 4-mal = ursprüngliche Funktion (aus dem Bracewell-Buch)

Ich habe "The Fourier Transform & Its Applications" von Ronald Bracewell durchgesehen, ein gutes Intro-Buch über Fourier-Transformationen. Darin sagt er, dass Sie, wenn Sie die FT einer Funktion viermal nehmen, die ursprüngliche Funktion zurückerhalten, dh

F. (F. (F. (F. (G (x))))) = G (x) .

$F\left( F\left( F\left( F\left( g(x) \right) \right) \right) \right) = g(x)\,.$

Könnte mir bitte jemand zeigen, wie das möglich ist? Ich gehe davon aus, dass die obige Aussage für komplexes x gilt und dies etwas mit , , , , zu tun hat ? $i^0=1$ $i^1=i$ $i^2=-1$ $i^3 = -i$ $i^4=1$

Vielen Dank für Ihre Erleuchtung.

fourier-transform transform fourier

— Sambajetson
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"Entspricht der Zeitumkehrung" - das brachte mich zum Nachdenken. Wenn Sie die Fourier-Transformation der Wellenfunktion eines Teilchens haben, würde die inverse Fourier-Transformation Ihnen die Wellenfunktion des Antiteilchens geben?

— Bart Wisialowski

Ich werde die nicht-einheitliche Fourier-Transformation verwenden (aber das ist nicht wichtig, es ist nur eine Präferenz):

\begin{matrix} (1) & X. (ω) = \int_{- - \infty}^{\infty} x (t) e^{- - ich ω t} d t \end{matrix}

$X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-i\omega t}dt\tag{1}$

\begin{matrix} (2) & x (t) = \frac{1}{2 π} \int_{- - \infty}^{\infty} X. (ω) e^{ich ω t} d ω \end{matrix}

$x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)e^{i\omega t}d\omega\tag{2}$

wobei (1) die Fourier-Transformation ist und (2) die inverse Fourier-Transformation ist.

Wenn Sie nun formal die Fourier-Transformation von Sie $X(\omega)$

\begin{matrix} (3) & F. {X. (ω)}} = {F.}^{2} {x (t)}} = \int_{- - \infty}^{\infty} X. (ω) e^{- - ich ω t} d ω \end{matrix}

$\mathcal{F}\{X(\omega)\}=\mathcal{F}^2\{x(t)\}=\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)e^{-i\omega t}d\omega\tag{3}$

Wenn wir (3) mit (2) vergleichen, haben wir

\begin{matrix} (4) & {F.}^{2} {x (t)}} = 2 π x (- - t) \end{matrix}

$\mathcal{F}^2\{x(t)\}=2\pi x(-t)\tag{4}$

Die Fourier-Transformation entspricht also einer inversen Fourier-Transformation mit einem Vorzeichenwechsel der unabhängigen Variablen (abgesehen von einem Skalierungsfaktor aufgrund der Verwendung der nicht einheitlichen Fourier-Transformation).

Da die Fourier-Transformation von gleich , ist die Fourier-Transformation von (4) $x(-t)$ $X(-\omega)$

\begin{matrix} (5) & {F.}^{3} {x (t)}} = 2 π X. (- - ω) \end{matrix}

$\mathcal{F}^3\{x(t)\}=2\pi X(-\omega)\tag{5}$

Und durch ein Argument ähnlich dem in (3) und (4) verwendeten ist die Fourier-Transformation von gleich . Wir erhalten also für die Fourier-Transformation von (5) $X(-\omega)$ $2\pi x(t)$

\begin{matrix} (6) & {F.}^{4} {x (t)}} = 2 π F. {X. (- - ω)}} = (2 π)^{2} x (t) \end{matrix}

$\mathcal{F}^4\{x(t)\}=2\pi\mathcal{F}\{X(-\omega)\}=(2\pi)^2x(t)\tag{6}$

Welches ist das gewünschte Ergebnis. Es ist zu beachten, dass der Faktor in (6) eine Folge der Verwendung der nicht einheitlichen Fourier-Transformation ist. Wenn Sie die einheitliche Fourier-Transformation verwenden (wobei sowohl die Transformation als auch ihre Inverse einen Faktor ), verschwindet dieser Faktor. $(2\pi)^2$ $1/\sqrt{2\pi}$

In der Summe erhalten Sie, abgesehen von irrelevanten konstanten Faktoren

x (t) \overset{F.}{⟹} X. (ω) \overset{F.}{⟹} x (- - t) \overset{F.}{⟹} X. (- - ω) \overset{F.}{⟹} x (t)

$x(t)\overset{\mathcal{F}}{\Longrightarrow} X(\omega)\overset{\mathcal{F}}{\Longrightarrow} x(-t)\overset{\mathcal{F}}{\Longrightarrow} X(-\omega)\overset{\mathcal{F}}{\Longrightarrow} x(t)$

— Matt L.
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Tatsächlich schlägt eine fantastische Idee vor, wie man einen Verstärker entwerfen kann, der die Berechnung in Amplitudenverstärkung umwandelt: Nehmen Sie einfach die nicht einheitliche Fourier-Transformation von viermal, um das Signal um den Faktor 39 oder so zu verstärken (oder 31 dB Verstärkung)!

(6)

$(6)$

x (t)

$x(t)$

— Dilip Sarwate

@ DilipSarwate: Wie kann ich das verpasst haben! Ich würde einen Patentanwalt kontaktieren, bevor jemand hier diese brillante Idee stiehlt!

— Matt L.

Der Einheitsfaktor sollte , der im letzten Absatz falsch eingegeben wurde.

\frac{1}{\sqrt{2 π}}

$\frac{1}{\sqrt {2 \pi}}$

— Mbaitoff

Zu spät! Es wurde bereits ein Patent für ein noch besseres Verfahren erteilt (Verwendung von FFT zur Reduzierung der Gesamtberechnung von auf anstelle einer einfachen Vanille-Fourier-Transformation).

4 N^{2}

$4N^2$

4 N \log N

$4N\log N$

— Dilip Sarwate

Ich habe diese Frage oder Antwort noch nie gesehen. Ich würde sagen, dass "konstante Faktoren" nicht "irrelevant" sind . Aus diesem Grund würde ich die Einheits-Fourier-Transformation empfehlen.

— Robert Bristow-Johnson